Поведение конструкций из композитных материалов
..pdf
Члены DX 2 и D22 опущены для краткости, а £>16 - Г>26 =0. Напряже ния в каждом слое вычисляются в двух осевых сечениях для того, чтобы оценить распределение напряжений в зоне краевого эффекта.
Напряжения вычисляются в сечении, где w = w0/2 и при х = //2 (/ - расстояние по оси от точки, где w = 0, до конца оболочки). Результаты анализа показаны на рис. 5.3. Видно, что ц общем, случае напряжения ох являются растягивающими для внешних слоев и сжимающими для внутренних. Кроме того, окружные напряжения, оу имеют максимальное значение в слоях с 0 = 90°, что является логичным, поскольку окружная жесткость этих слоев больше. Поэтому окружная нагрузка восприни мается в основном этими слоями,, также как в системе параллельно соединенных пружин основную нагрузку воспринимает наиболее жесткая пружина.
5.6. УСТОЙЧИВОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ИЗ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ ПРИ РАЗНЫХ НАГРУЖЕНИЯХ
Виды нагрузок
Рассмотрим круговую цилиндрическую оболочку (рис. 5.4) , имеющую средний радиус R , толщину стенки h , длину L , под действием сжимающей нагрузки Р, изгибающего момента М, крутящего момента Т и внешнего давления р. В задачах устойчивости, в отличие от других задач, сжимающие усилия считаются положительными, т.е.
АТ |
Р |
(5.48) |
|
2TTR |
|||
|
|
|
м |
i Nx ^ m ax |
(5.49) |
|
ITR 2 |
Рис. 5.4. Цилиндрическая оболочка под действием различных нагрузок
где Nx — осевая нагрузка, приходящаяся на единицу длины окружности. В каждом из этих выражений присутствует приложенная нагрузка.
Если эти нагрузки, внешнее давление р или крутящий момент Г, равны или больше критических значений, то произойдет потеря устойчивости оболочки, которая для большинства практических конструкций соответствует разрушению и потере несущей способности. Последующее изложение базируется на работе [18].
Устойчивость при осевом сжатии
Допущения: |
|
- Частный случай анизотропии, т.е.( |
) i 6 = ( ) 2 6 = О- |
-Докритические деформации не учитываются.
-Торцы цилиндрической оболочки опираются на кольца жесткие
всвоей плоскости, но не имеющие жесткости при кручении и изгибе. Общий случай — отсутствие симметрии относительно срединной плос
кости и п > 4:
^ 11 |
С12 |
С]з |
|
|
С21 |
С22 |
Он |
|
|
С31 |
с32 |
С33 |
(5.50) |
|
N. г- (\ -тттЧ I |
си |
-12 |
||
|
||||
|
^21 |
^22 |
|
где NXcf — критическая сжимающая нагрузка на единицу длины окруж
ности; |
L - |
длина цилиндра; R - |
радиус цилиндра; m - число полуволн |
|||||||
в осевом направлении; п —число волн в окружном направлении. |
||||||||||
|
|
( |
ттт \ 2 |
|
, |
1 " \ 2 |
|
|
|
(5.51) |
|
|
4-г) |
+ Лбб(Л) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
»(*Г |
|
|
|
|
|
|
(5.52) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
( ттт \4 |
i_ п |
( Ш7П |
|
|
|
||
|
|
Ч т ) |
+ Ч |
- г ) |
|
|
|
|
||
|
|
Аг1 |
|
( п \ г |
|
2By, I m-n \2 |
(5.53) |
|||
|
|
|
+ |
R |
\ R J |
|
|
|
||
|
|
R 2 |
|
|
|
|
||||
с 12 = |
с21 = ( л 12 + л 66) ( ^ |
) ( ^ ) |
|
(5.54) |
||||||
C23 = C32 = (B 12 + 2B66)(? |
|
) ^ |
) + t ( |
i ) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.55) |
^ |
= ^ |
= t ( |
T |
) |
+ ^ |
( |
^ ) |
3+ ( ^ |
+ 2 , 66) ( ^ ) ( ^ ) 2 (5 ,6 ) |
|
A,j= I |
[<?/>]*(**-*»_,) |
(5.57) |
||
к |
= 1 |
|
|
|
fi,v = i |
L |
[&>]*( * * - * * -•) |
(5-58) |
|
|
A: = |
l |
|
|
= i |
I |
[ ё „ ] Д ^ - ^ - . ) |
(5-59) |
|
|
k = \ |
|
|
|
Очевидно, что |
представляет собой матрицу мембранных жесткостей |
|||
композитной |
оболочки, Btj — матрицу |
смешанных жесткостей, a Dtj - |
||
матрицу изгибных жесткостей. Все они обсуждались в гл. 2.
Для определения критической нагрузки NXcr для цилиндрической оболочки заданных размеров и при заданном материале следует выбрать такие целые значения т и п , при которых NXcr минимальна. Если имеется возможность изменять ориентацию и число слоев, то последующая опти мизация решения позволит выбрать конструкцию, обладающую наимень шим отношением критической нагрузки к массе.
После определения критической нагрузки, необходимо убедиться
втом, что в рассчитанной конструкции напряжения не превысят допускае мых при нагрузках меньших критической. В противном случае несущая способность цилиндра ограничивается допускаемым напряжением. Для слоистой цилиндрической композитной оболочки соотношения упругости
вобщем случае имеют вид
К |
А п |
Ап |
2А16 ! |
5 „ |
Bn |
2 5 ,6 |
|
|
К |
А п |
А 22 |
2^26 | |
5,2 |
В2 |
25 26 |
|
|
К в |
_ Аи |
^26 |
2^66 | |
5,6 |
5 26 |
2566 |
(5.60) |
|
мх |
|
|
|
! |
|
|
|
|
5 „ |
5,2 |
2 5 ,6 |
|
D\2 |
2 5 16 |
к* |
||
Мв |
5 ,2 |
5 22 |
2526 |
! |
К г |
*>22 |
2Кь |
“в |
Мхв |
5 ,6 |
5 2в |
2566 |
| |
Кв |
К 6 |
2DM |
2Кхв |
случае осевого сжатия Nx = К сг, К =Кв =мх =м
и [к\ . Теперь, используя эти матрицы, можно вычислить все компоненты напряжений ох ,о в ,охв в каждом слое:
° х |
|
II |
O I |
° е |
J |
н о 4J 1 |
----------1 |
К |
х |
< 2 |
+ z [ Q ] k |
К |
в |
(5.61)
_ а х в . к |
. 1 К Х 0 _ |
Эти напряжения следует затем сопоставить с допускаемыми или с пре дельными для каждого слоя (см. гл. 7) .
Частный случай - |
наличие срединной плоскости симметрии (т.е.Я17 = |
|||
= 0 ) . |
|
|
|
7 |
В этом случае используют уравнение |
||||
Nx L2 |
|
I |
£>,, , |
£>„ |
------ж2 |
1 + 2 - = ^ Р 2 + |
|
||
1T2DU |
|
\ |
° п |
|
|
+ |
У 2L 4 |
AUA 22 АП |
|
|
тт4m2Du R2 |
Аи + •^11-^22 А \2 - 2 А п \ р 2 + А 22р 4 |
||
|
|
|||
где |
|
|
|
(5.62) |
|
|
|
|
|
|
nL |
|
|
(5.63) |
/? = тгЯт |
|
|
||
|
|
|
||
у = 1 .0 - 0.901(1 - е - *) |
(5.64) |
|||
|
|
|
1 /2 |
|
ф = |
1 |
|
R |
(5.65) |
|
|
|
||
29.8 |
п ш |
|
||
|
|
VА |
п А . |
|
Здесь у является эмпирическим коэффициентом, который обеспечивает соответствие с имеющимися экспериментальными результатами.
При |
определении критической нагрузки варьируют целые значения |
т и п |
для получения минимальной величины Nx , которая будет дейст |
вительной нагрузкой. Как и ранее, используя выражения (5.60) и (5.61), необходимо убедиться в том, что допускаемые напряжения в некотором слое или слоях не будут превышены и при нагрузках меньших критичес кой.
Потеря устойчивости при изгибе цилиндрической оболочки
(случай симметрии, |
=0) |
В данном случае используют уравнения |
(5.62), (5.63) и (5.65), в ко |
торых эмпирический коэффициент у имеет вид |
|
7 = 1 -0 .731 ( 1 - е " ф) |
(5.66) |
Процедуры нахождения критической нагрузки Nx для данной конст рукции, а также процедуры ее оптимизации и проверки по допускаемым напряжениям идентичны выше изложенным.
Потеря устойчивости под действием внешнего и гидростатического давлений
При действии внешнего давления его критическая величина, вызываю щая потерю устойчивости, определяется равенством
С\\ |
С\ 2 |
С]3 |
Си |
С1 2 |
Q3 |
R с3, |
^32 |
С33 |
(5.67)
Qi C*i2
Qi c22
Вэтом случае m = 1, и необходимо определить целое значение п(п >
>2), обеспечивающее минимальную величину рст, для данной конструк ции. Для длинных цилиндрических оболочек под действием бокового давления его критическое значение имеет вид
|
з А22 |
В\г |
|
|
|
|
*22 |
|
|
|
|
Рст |
|
|
|
(5.68) |
|
R 3 |
|
|
|||
|
|
|
|
||
В случае, к о г д а t = £ 2 2 |
~В \г =В 66 -О, |
|
|||
Рст |
5.513 |
^22 ( А ц ^ 22 |
-^п) 1/4 |
(5.69) |
|
LR?/2 |
|
*22 |
|
||
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
которое справедливо, если |
|
|
|||
|
3/2 |
|
А2 |
|
|
|
^11^22 ' |
12 |
>500 |
(5.70) |
|
|
|
12^22^11 |
|||
|
|
|
|
||
Когда внешнее давление является гидростатическим, можно использовать равенство (5.67), где вместо п2 следует принять
п2 |
(5-71) |
При этом необходимо варьировать оба целых числа (т и п) до полу чения такого сочетания, при котором критическое давление будет мини мальным1
Если число и ориентация слоев в конструкции могут быть изменены, то можно провести оптимизацию с целью получения наибольшего крити ческого давления при заданной массе.
Для выявления возможного повышения допускаемых напряжений при давлении, меньшем,чем критическое, необходимо принять:
для внешнего бокового давления
Ne = pR, Nx = Nxt) = Mx = Me = Mxe = 0 |
(5.72) |
для гидростатического давления |
|
N = PR, Nx - р у , Nxe = Мх = Мв = Мхв = 0 |
(5.73) |
Учитывая эти величины в уравнении (5.60) , следует получить матрицы [е°] и [к] , подставить их в (5.61) , вычислить напряжения в каждом слое и сопоставить их с допускаемыми и предельными напряжениями. Эти вы кладки будут рассмотрены в гл. 7.
|
|
Потеря устойчивости при кручении |
|
|
При [Ву «0] |
величина критического крутящего момента |
|
||
Гсг= 21.75(Р22)5/8И |
п ^ 2~ ^ | |
(5.74) |
||
При этом должно выполняться условие |
|
|||
( £ 2 2 |
5/6 |
Ли Л22 |
/*12 |
(5.75) |
\ » и |
|
12^22^11 |
||
|
|
|||
Для использования в расчетах при конструировании рекомендуется величину Тсг, определенную по уравнению (5.74), умножить на 0,67. Величина Тсг получается непосредственно из (5.74). Оптимальная конст рукция может быть получена в результате варьирования углов ориента ции слоев в и их числа с целью достижения минимальной массы при за данном Тсг. Для оценки докритических напряжений в уравнении (5.60) следует принять Nxe = Tcrl2nR, Nx =Ne =MX =Мд =Мхв =0.
1 Для последующего использования при расчете конструкции во всех описанных случаях рекомендуется умножать вычисленное критическое давление на 0,75.
Далее определяют матрицы [е°] и [к] , которые по очереди подстав ляют в выражение (5.61) с целью получения напряжений в каждом слое. Они должны быть сопоставлены с допускаемыми или разрушающими напряжениями,которые рассматриваются в гл. 7.
Потеря устойчивости при осевом сжатии и изгибе
Уравнения, описывающие совместное действие нагрузок, имеют вид
Дс + Я в =1
где |
R . . = |
N.* c o m p |
N. b e n d |
(5.76) |
ж ~ ~ |
|
|
||
|
|
|
|
Для приложенных нагрузок, стоящих в числителе уравнения (5.76), используется равенство (5.48) - для осевого сжатия, и (5.49) — для изгиба. Критические значения были определены выше.
Если Rc + RB < 1, то конструкция не теряет устойчивость.
Для данной конструкции целые т и п должны варьироваться одновре менно для обоих нагрузок так, чтобы левая часть выражения (5.76) была максимальна при заданном виде нагружения. Оптимизация с целью достижения минимальной массы конструкции также должна вестись с учетом обоих видов нагрузок. Для определения докритических напряже ний, как и раннее, используются уравнения (5.60) и (5.61), где Nx =
= pappl2nR + MapplnR2 (рарр и Марр - |
приложенные внешнее давление |
и изгибающий момент). Все остальные |
силовые факторы равны нулю. |
Потеря устойчивости при осевом сжатии и внешнем давлении
Приближенное уравнение, описывающее совместное действие нагру
зок , имеет вид |
|
* С+ Л , = 1 |
(5-77) |
где Rp = Рарр/Рсг |
“ задано уравнение (5.76), рсг - определяется |
из уравнении (5.72), (5.73) для внешнего бокового или гидростатичес кого давления.
Аналогично предыдущим разделам для оптимизации оболочки при данных нагрузках й для определения докритических напряжений исполь
зуются выражения (5.60) и (5.61), где для осевого сжатия и внешнего бокового давления Nx = Pappl2nRt NQ = pappR , все другие нагрузки рав
ны нулю. Для осевого сжатия и гидростатического давления Nx = = Pappl2l,R + PappRl2’ N6 = pappR, все другие нагрузки равны нулю.
Потеря устойчивости при осевом сжатии и кручении
Приближенное уравнение, описывающее совместное действие нагру зок, имеет вид
R C+ R T= 1 |
(5.78) |
где R T = Тарр/Тсг |
Тарп — приложенный крутящий момент; Тсг - бе |
рется из уравнения |
(57/4). Порядок расчетов аналогичен изложенному |
выше. При определении докритических напряжений на нулевые нагруз ки, входящие в выражения (5.60) и (5.6i ) , определяются выражениями
N x = Pappl2ljR• N x6 = Тарр1Ъ К -
5.7. КОЛЕБАНИЯ КОМПОЗИТНЫХ ОБОЛОЧЕК
Свободные колебания слоистых ортотропных цилиндрических обо лочек с использованием классической теории рассмотрены в работах [19—24]. Поперечные деформации сдвига и нормальные поперечные де формации в ортотропных однородных цилиндрических оболочках учте ны в работах [25, 26]. Авторы работы [27] анализируют колебания сло истых ортотропных цилиндров с учетом поперечной деформации сдвига. В работе [28] рассмотрены осесимметричные колебания слоистой ком позитной цилиндрической оболочки с учетом поперечной деформации сдвига, поперечных нормальных напряжений и деформаций, энергии вра щения и других неклассических эффектов. Здесь следует упомянуть так же работу [15].
Аналитическое и экспериментальное исследование динамического поведения оболочек с описанием разных экспериментальных методов и моделей можно найти в работе [29].
5-8. ЗАДАЧИ
5.Г. Цилиндрическая оболочка, образованная однонаправленными слоями угле пластика Т300/5208, со свойствами: Е х = 147 ГПа; Ег = 12,3 ГПа; С12 =4,55 ГПа; vl2 =0,21; v2l =0,017; р = 10,7 Ю3 кг/м3; g = 9,8 м/с2; [а] =0,7 МПа; толщина слоев 0,14 мм, угол ориентации слоев в = 0°, т.е. однонаправленные; радиус обо лочки 0,3 м. Определить: а) / ) , , ; б) D22\ в) какова длина зоны краевого эффекта
укаждого конца?
5.2.Определить длину зоны краевого эффекта для круговой цилиндрической
оболочки длиной L = 1,27 м, радиусом R = 254 мм и с толщиной стенки Л =0,5 мм, образованной однонаправленными композитными слоями, со свойствами: Dx =
=£>,,= 3,23 нм; De =D22 =0,7 нм.
5.3.Для круговой цилиндрической оболочки, образованной однонаправленными
слоями углепластика, согласно данным задачи 5.1, при радиусе оболочки 0,3 м, толщине стенки 3,8 мм и длине 0,8 м, определить длину зоны краевого эффекта, если: а) волокна расположены в осевом направлении; б) волокна ^ч,1;оЛижсны в окружном направлений.