Поведение конструкций из композитных материалов
..pdfОчевидно, что для данной пластины при заданном материале о располо жении слоев (задача поверочного расчета) существует только один из трех возможных случаев. Однако, если ставится задача выбора наилучше го материала и расположения слоев (задача проектирования), то необхо димо рассматривать несколько вариантов. В этом случае возникает необ ходимость определения не только четырех, но иногда восьми или даже двенадцати констант, удовлетворяющих краевым граничным условиям, соответствующим наилучшему проекту.
Обращаясь к частному решению, заметим, что если поперечная нагруз ка р(х, у) является постоянной или линейной функцией х, то согласно (3.40) величина gn (.х) также является постоянной или линейной функ цией х. Отсюда, с учетом выражения (3.43), получим частное решение
¥>яр(*) = А п8п( х ) 1 К ° 2 -
Вдругих условиях необходимо специально искать частное решение.
Влюбом случае далее следует добавить однородное решение упн к соот ветствующему частному решению уПр, чтобы удовлетворить заданным граничным условиям на краях х = const. В качестве примера рассмотрим край х = 0 шарнирно опертой пластины. С учетом (3.30) запишем гранич
ные условия
w(0, у) = 0, |
Мх(0, зО = 0 = » ^ ( 0 , y ) - Q |
(3.49) |
|
ОХ |
|
Если w(x, у) |
представить в виде (3.39), то |
|
Ф„(0 ) = Ф''(0 ) = 0 |
(3.50) |
|
Аналогично могут быть найдены соответствующие выражения для защемленных и свободных краев пластины. Затем для любого вида гра ничных условий при х = 0 и х = а находятся функции (х) =Фпн + Упр \
следовательно, прогиб w(x, у) определяется из выражения (3.39). Далее для слоистой пластины из композитного материала необходимо опреде лить кривизны:
kx = - 3 2 w/3x2, ку = - d 2w/dy2, кху = - d 2w/dxdy
Зная эти величины, можно определить напряжения в любом /:-том слое пластины:
Q u Q n 0 K x
|
= Q \ 1 |
Q l 2 |
0 |
° х у _ |
0 |
0 |
2 Q 66 |
к |
|
|
(3.51)
КУ
к_ К х у .
Напряжения, возникающие в отдельных слоях материала, должны быть сопоставлены с допускаемыми напряжениями в соответствии с некоторым критерием прочности (они обсуждаются в гл. 7). После этого
делается вывод о прочности материала (поверочный расчет) или соответ ствии материала и его структуры заданной нагрузке (задача проектиро вания) .
В итоге отметим, что решение Леви удобно для анализа пластины со срединной плоскостью симметрии и с двумя шарнирно опертыми краями. Если два края пластины не являются шарнирно опертыми, то возникают дополнительные трудности при определении функций, удовлет воряющих граничным условиям. Такие функции рассматриваются в гл. 6.
3.8. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ИЗГИБА КОМПОЗИТНОЙ ПЛАСТИНЫ СО СРЕДИННОЙ ПЛОСКОСТЬЮ СИММЕТРИИ
МЕТОДОМ ВОЗМУЩЕНИЯ
Как показано в двух предыдущих разделах, решение Навье эффек тивно для пластин, имеющих все четыре шарнирно опертых края. Реше ние Леви удобно для пластин с двумя противоположными шарнирно
опертыми |
краями при любых граничных условиях по двум другим. |
Но даже в |
этом случае метод Леви приводит к трем формам решения |
в зависимости от соотношения величин Dlf D2 и D3 = D 12 + 2D66. Поми мо указанных, существуют и другие многочисленные методы решения задачи для изотропной пластины. Обзор соответствующих работ пред ставлен в [1 , 2 ].
Учитывая все сказанное выше и основываясь на том, что решение Леви для второго случая (3.47) имеет такой же вид, как и для изотропной пластины, Винсон показал, что выражения (3.46) и (3.48) могут быть получены методом возмущения с использованием решения для пластин из изотропных материалов [4,5].
Рассмотрим основное уравнение для изгиба пластины из композит
ного материала, |
имеющей срединную |
плоскость симметрии (Вц = 0), |
|||
при отсутствии изгибно-крутильных эффектов (Die = D26 = 0) |
и попе |
||||
речной сдвиговой деформации, т.е. справедливы соотношения |
(3.23). |
||||
Из уравнения (3.29) после деления обоих его частей на Dx получим |
|
||||
94W |
I D 3 |
a4w |
D1д> 9а4w _ р ( х , у) |
|
|
- |
+ т-ч |
Эх2а^2 |
^ 1 OV4 |
Вл |
(3,52) |
a*4 |
&\ |
оу |
|
|
|
Если преобразовать координату в виде
(3.53)
ТО В результате подстановки (3.53) в (3.52) имеем
|
- |
1 /2 |
D3 \ Э4н> |
Э4и> _ |
p(x, у) |
|
|
|
|
||||
|
Л. |
|
А |
) дх2ду2 |
3у 4 |
(3.54) |
|
|
&\ |
||||
Используя величину а: |
|
|
|
|||
|
*"S |
- 1 /2 |
|
|
|
|
: = 2 |
|
|
|
|
(3.55) |
|
после подстановки (3.55) в (3.54) получим |
|
|||||
Э4уу ^ 234w |
^ Э4уу |
a 3 4w _ р ( х , у) |
(3.56) |
|||
дх4 |
дх2ду 2 |
ду4 |
|
дх2ду 2 |
&\ |
|
|
|
|||||
Далее введем бигармонический оператор, соответствующий изотропной пластине и записанный в модифицированной системе координат:
4 |
34w |
234w |
З4w |
(3.57) |
||
V w = |
Эх4 Эх2Эу2 Эу4 |
|||||
|
|
|||||
Тогда (3.56) имеет вид |
|
|
||||
|
вЭ4и' |
р (х, |
у) |
(3.58) |
||
|
' |
2Эу2 |
D\ |
|
||
|
|
|
||||
Наконец, примем решение для w (х, у) в форме |
|
|||||
|
|
оо |
|
|
(3.59) |
|
" ' ( ■ * . Я |
“ |
Е |
у ) а " |
|||
|
||||||
п =О
соответствующей методу возмущений с малым параметром a . Подставляя (3.59) в (3.58) и приравнивая коэффициенты при степе
нях а к нулю, найдем, что
V 4 w0 = |
р(х, |
у) |
(3.60) |
|
D, |
|
|
v V ,= |
З4W. |
(3.61) |
|
- |
п> 1 |
||
|
|
3JC23v2 |
|
Выражение (3.60) является основным дифференциальным уравнением для изотропной пластины, обладающей жесткостью D ,, под действием поперечной нагрузки р(х, у) с модифицированной координатой у , опре деляемой согласно выражениям (3.53). Возможно, что независимо от
граничных условий можно получить его точное или приближенное реше ние. Далее, решая (3.61), найдем всю последовательность членов w, а именно wb w2, w3 для пластины под нагрузкой —D\ (b4wn _ i/Эх Эу ), где wn _ t известно, изгибная жесткость Dx и граничные условия соот ветствуют действительному закреплению.
Этот прием очень полезен, поскольку ’’малый” параметр возмущения может быть не всегда мал. Доказано, что если \а\ < 1,то (3.59) является формой точного решения, а случай |а| < 1 характерен для большинства композитных материалов. Кроме того, необходимо отметить, что с точки зрения вычислений редко приходится учитывать члены после п = 1. Поэто му (3.59) принимает вид
w(x, у) = w0 + w}a |
(3.62) |
Может оказаться полезным не только |
этот прием. Если |ос | > 1, то |
имеет место соотношение (D2/Di) < I |
и поведение пластины вдоль х |
является определяющим. Вдоль оси у пластина ведет себя как мембрана |
|
и описывается следующим упрощенным основным дифференциальным уравнением:
Э4н> + 2 £з Э4и> = р(х, у)
Эх4 дх2ду2
Решение его для шарнирно закрепленной по краям у = const пластины имеет вид
оо
Ч * , у ) = L |
ФЛх ) sin К У* |
(3.64) |
п = |
1 |
|
где
У*= (2D3/D i)“ 1/2, \* = пл/Ь*,Ь*= (2Dz/Di)~ ll2b
Наконец, если b/a = (D2/Dxy 1/4 (b/a) > 3, то пластина ведет себя в отношении максимального прогиба и напряжения как балка, независимо от граничных условий на краях. Балки будут рассмотрены в гл. 4 . Таким образом, решения для балок могут быть использованы для решения многих задач, относящихся к композитным пластинам. Изложенные выше два рриема решения подробно описаны в работах [4, 5 ]. Отметим, что здесь впервые использован метод возмущений с малым параметром, определяемым свойствами материала, тогда как традиционно исполь зуются геометрические параметры.
3.9. АНАЛИЗ ИЗГИБА КОМПОЗИТНОЙ ПЛАСТИНЫ С УЧЕТОМ ИЗГИБНО-КРУТИЛЬНЫХ ЭФФЕКТОВ МЕТОДОМ ВОЗМУЩЕНИЯ
В работе [4] метод возмущения был распространен на композитные пластины, обладающие изгибно-крутильной связанностью (т.е. при1 >1 б ^ Ф 0, 0). Это было сделано на основании решений для пластин, не обладающих этими эффектами, как описано в предыдущем разделе для уравнения (3.29).
С учетом (2.62) запишем выражения для моментов в прямоугольной пластине, обладающей изгибно-крутильной связанностью:
Мх — DX\kx + D\2^y + 2Di gкху,
Му = D \ 2.kx + D2 2ку + 20 2 6^хдм
Мху = Dl6kx +D26ky + 2D6Jcxyi
где как и прежде не учитываются поперечные сдвиговые деформации, т.е.
кх = - Э^/Эх2, ку - — d2w/dy2, кху = - Ъ^/ЬхЪу
Поэтому выражения для моментов запишем в виде |
|
||||||
М = —ZX Э2уу - D |
12 1д |
|
0 2и> |
(3.65) |
|||
|
Эх2 |
|
9у 2 |
2Г>хьЬхЬу |
|
||
|
d2w |
|
а 2 |
|
— |
(3.66) |
|
М у — |
D \2 „ 2 |
|
W- - 2 D |
||||
^22 „ , |
^ |
26 ЭхЭ.у |
|
||||
|
Эх |
|
эУ2 |
|
|||
.. |
„ -Э2’ vv- |
|
^ Э2w |
_ _ dэ 2- |
(3.67) |
||
ху~ |
16 э7 |
" |
26э7 |
" |
66 |
||
|
|||||||
Сравните эти выражения с равенствами (3.24) — (3.26). Подставив выражения (3.65) - (3.67) в уравнение равновесия (3.19), справедли вое для любой прямоугольной пластины, получим
Э4уу |
|
Э4 |
+ 2(Dn + 2D66) |
94W |
|
Эх4 + |
|
0x 20y 2 |
|||
16 Зх3ЭУ |
|
||||
. гл |
|
94w |
04w |
. |
, йч |
+ 4 D26 |
—— т + |
0 22— |
= р(х, у) |
(3 .68) |
|
|
|
0 Х 0 у |
0 у |
|
|
Сравнивая последнее с (3.27), отметим, что в связи с присутствием D]6 и £>26 в определяющем дифференциальном уравнении появляются нечетные производные. Это, конечно, исключает использование решения Навье, изложенного в разд. 3.5, и решения Леви (разд. 3.7).
В работе [4] рассматривается однослойная пластина, для которой /г0 = _/*/2, hl = hi2 (см. гл. 2), где h - толщина пластины (см. рис. 3.3, в) .
Поэтому Dy * Qijh3/12.
Восгюльзодавшись уравнениями гл. 2, запишем |
|
|||
Q |
+ Z)2H4 + 2D3m2n2 |
|
|
|
£>22 ^ |
+ ^V ” 4 + 2D3m 2n2 |
|
|
|
D i6 *= тп { ~ D 2n 2 + Dytrt2 - D 3{ m 2 |
- |
и2)} |
(3.69) |
|
D lb |
тп{ - D 2m 2 + Dyti2 + D 3( m 2 |
- |
и2)} |
|
D u = (£>,+ D 2 - 2 D bb) m 2n2 + D n ( m 4 + и4)
2 , n 1 —м2\2
Dbb = ( £ , + D2 - 2Dn )m2n2+ D66(m2 - n2)
где m = cos 0 и п = sin в (см. рис. 2.8). Эти выражения согласуются с (2.62), если для однослойной пластины определить жесткости, приведен ные в разд. 2 .6 , следующим образом:
D y — |
12(1 - |
, D 2 — |
12(1 - |
, D 3 — D y i + 20^6. |
|
|
v, , v 2l) |
|
v, ,i>21) |
||
D\2 |
DyV2\ —D2vi2f D66 - |
G\2h31\2. |
|||
Полагая, что |
угол в |
достаточно мал, мы можем представить sin в и |
|||
cos в в |
виде степенных |
рядов |
по в |
и взять в качестве аппроксимации |
|
несколько первых членов. В этом случае
Dyy = Dy + 2аув2+ PyO^ +
D 22 = D 2 + 2 a 26 2 + P 26 4 +
D y 6= ~(Х у в - Р у в 2+ Уу65+
(3.70)
о 2ь = а 2в + р2е3 - |
Y2«5 + |
D y 2 — D i 2 + OLTB 2 + |
+ |
A* ~ A>6 + <*J2 + № 4+
где
OL2 = D3 - D 2\ 02 = - ( < * i + -<*2 ); 72 = - ( < * 1 + <*2 + — |
a 2). |
||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
15 |
|
|
a 3 = - (<*1 + « 2); |
|
4 |
+ a2). |
|
|||||
Р з= |
-(<*i |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
Подставляя |
(3.70) |
в (3.69) и оставляя члены, ряда, включающие в 4, |
|||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L(w) + 0Л/(w) + 02N ( W ) 4-03P(w) 4-04Q(w) = p (x, y) |
(3.71) |
||||||||
где дифференциальные операторы имеют вид |
|
||||||||
г / |
\ |
г-ч 34w |
+ |
94w |
94w |
(3.72) |
|||
L(w) = Z) 1 |
|
2 Z)3 |
|
+ Z)2 |
|||||
v |
' |
1 Эх4 |
|
Зэх 2ду2 |
2 а / |
|
|||
|
Ч |
„ |
З4»*' |
„ |
34w |
|
(3.73) |
||
М М ш *‘ ' ^ г , - 4 в ‘ »хЬу1 |
|||||||||
|
|||||||||
xrt |
\ |
л |
34w |
|
94w |
94w |
(3.74) |
||
Л' ( " ') ’ 2“ 1 а*4 + 6 “ 1 9 Л / + 2“ 1 9, 4 |
|||||||||
|
|||||||||
J»(w)-4JS, |
84* |
4 ft |
34“’ |
|
(3.75) |
||||
|
|
|
Эх3Э^ |
|
ЭхЭу3 |
|
|||
|
ч |
п d4w |
|
d4w |
Э4И> |
(3.76) |
|||
C M - f t ^ + % Э Л / + А 8 / |
|||||||||
|
|||||||||
Очевидно, что удержание членов ряда, включающих 0 4, не является обязательным и зависит от величины в , т.е. на практике можно сокра тить члены с большими или меньшими степенями в . Поскольку в при нимаются малым, можно воспользоваться решением уравнения (3.71) методом возмущения в виде
N |
|
w = WQ4- w}0 + w202+ w303 4- w404 = 52 wn0n |
(3.77) |
л =0 |
|
Подставляя (3.77) в (3.71) и приравнивая коэффициенты при одина ковых степенях в к нулю, получим
L ( wo ) = р ( х , у ) |
(3.78) |
L(w ,)= - M ( w 0) |
(3.79) |
L |
( W 2 ) = |
— M ( W { ) |
— N ( W 0 ) |
|
|
|
|||
L |
( |
w |
3 ) = |
- M ( w 2 ) - |
N ( w } ) |
- |
P ( w 0 ) |
|
|
L ( |
w |
4 ) = |
- M ( w 3 ) |
- |
N ( w 2 ) - |
P ( w j ) |
- Q ( w n ) |
||
(3.80)
(3.81)
(3.82)
Таким образом, значения wn находятся в результате последовательного решения уравнений теории пластины в виде, соответствующем (3.72), которое идентично уравнению (3.29). Далее, в зависимости от граничных условий, используют решение: Навье, Леви или изложенное в разд. 3.8. Первое из записанных выше уравнений включает действую щую нагрузку р(х, у ) . В дальнейшем находят ww, используя то же самое дифференциальное уравнение, в котором функция нагрузки включает производные от предварительно найденных wn, причем,т < п .
В решении по методу возмущения неоднородные граничные условия
могут удовлетворяться для функции vv0 так, что при л = 1 , 2 |
все |
граничные условия являются однородными. |
|
ЗЛО. ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ПЛАСТИН ИЗ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ: СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ И УПРУГАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
Основной задачей данной главы до этого раздела являлось определе ние максимального прогиба балок и пластин из композитных материа лов, необходимое для того, чтобы убедиться в том, что прогибы не пре вышают предельно допустимых, ограниченных условиями жесткости конструкции. Определялись также максимальные напряжения балки и пластины, спроектированных по условиям прочности. Вместе с тем су ществуют и два других важных обстоятельства, которые необходимо учитывать при оценке работоспособности конструкции. Первое —это ее поведение при динамическом нагружении, приводящем к значительным прогибам и напряжениям, а второе —потеря устойчивости.
Прежде всего отметим, что динамическое нагружение может изменять ся от некоторого стационарного циклического воздействия, что имеет место, например, в опоре несбалансированного двигателя, совершающе го, для примера 10 0 оборотов в минуту, до импульсных единичных нагру зок, возникающих в течение коротких промежутков времени, таких как воздействие при соударении птицы с летящим самолетом. В промежутке между гармоническими колебаниями и импульсным нагружением сущест вует непрерывный спектр динамических нагрузок.
Целый том может быть написан о поведении конструкций из компо зитных материалов в условиях динамического нагружения, что, однако, выходит за рамки настоящей книги. Имеется множество работ, посвя щенных поведению конструкций из изотропных материалов в условиях
динамического нагружения. Однако существует одна общая динамичес кая характеристика для всех конструкций, а именно —частота собствен ных колебаний, которая и будет рассмотрена для композитных балок, пластин и оболочек.
Математически любая континуальная система обладает бесконечным множеством частот и форм свободных колебаний. Если конструкция подвергается динамическому воздействию, частота которого совпадает с собственной частотой, то это приводит к быстрому росту амплитуды, требующему незначительной добавочной энергии. В результате возникают значительные напряжения и конструкция разрушается или амплитуды колебаний становятся слишком большими и возникающие нелинейные эффекты оказываются недопустимыми по условиям накопления уста лостных повреждений.
Таким образом, для любой конструкции при прогнозировании ее работоспособности необходимо определять частоты собственных коле баний. Это необходимо, чтобы убедиться в том, что частоты наложенных колебаний существенно отличаются от частот собственных колебаний. И наоборот, при проектировании конструкции по условиям прочности и жесткости необходимо избегать резонансных режимов, т.е. случаев, когда действующие нагрузки имеют такие же частоты колебаний, как одна или несколько частот собственных колебаний.
Простейшим примером, иллюстрирующим сказанное, может служить рассмотренная ранее пластина из композитного материала, обладающая срединной плоскостью симметрии (В^ = 0), в случае отсутствия смешан ных жесткостей ( ) i 6 = ( )ie = 0 , т.е. поперечных сдвиговых деформа ций (exz = eyz =0). В этом случае основное уравнение имеет форму (3.29):
(3.83)
Если затем воспользоваться принципом Даламбера и ввести в (3.83) добавочный член, равный произведению массы единицы площади и уско рения, то правая часть уравнения (3.83) примет вид
р(х, у, |
phd2w(x, |
у, t) |
|
/ ) - |
(3.84) |
||
|
|
ЭТ2 |
|
где |
w и р - |
функции времени и координат; р - плотность материала; |
|
И - |
толщина пластины. В |
полученном выражении р(х, у, t) является |
|
функцией, зависящей от времени и координат и вызывающей динами ческое нагружение в диапазоне от гармонического до ударного воздейст вия.
Если композитная пластина является гибридной, т.е. собранной из разных материалов но толщине, то в (3.84) необходимо ввести следую щее выражение:
Р = |
Т £ Ра(Л* - Л * _ , ) , |
|
п к- 1 |
При |
исследовании собственных колебаний конструкции функция |
р(х, У, 0 приравнивается к нулю. Как и ранее предположим, что собст венные формы колебаний пластины из композитного материала шарнир но опертой по всем четырем краям аналогичны формам колебаний изо тропных пластин при одинаковых граничных условиях. Зависящая от времени функция, приведенная ниже, представляет собой прогиб при линейных гармонических колебаниях пластины:
w(*, y , t ) |
= £ £ |
Amn sin—— Sin— cos a„r |
(3.86) |
|
m = 1 /1= 1 |
|
|
Подставляя |
(3.86) в |
(3.83) и (3.84) при р(х, у, t) |
= 0, получим выра |
жение для соответствующей частоты собственных колебаний:
->(?)( т )+< ) (3.87)
Основная частота имеет место при m = п = 1 и соответствует прогибу в форме половины длины волны синусоиды в каждом направлении. Отметим также, что амплитуда колебаний А тп не может быть определе на из задачи на собственные значения, так как уравнения (3.83) и (3.84) по своей форме являются однородными, если р(х, у, t) = 0 .
При анализе конструкции, помимо определения максимальных проги бов, максимальных напряжений и частот собственных колебаний, необхо димо оценить нагрузку, при которой система может потерять устойчи вость. Для пластины существует пять уравнений, связывающих нагрузки, действующие в плоскости пластины Nx, Ny и Nxyi с перемещениями Wo, v0, которые они вызывают. Эти уравнения получаются из (3.9), (3.10) и (2.62). Последние для пластины, обладающей срединной плоскостью симметрии {Вц = 0), имеют вид
Nx — ^Л\ех + ^ 12 Сv + 2А}6€°у |
(3.88) |
"у = ^ 12C.v + ^ 22С^ + 2 / 1 26е.*.»' |
(3.89) |
^ху ~ ^\6€х + Л26*у + 2А64€ху |
(3.90) |
79