Поведение конструкций из композитных материалов

'Nx '

,ал '

К°У

тов, определяемых равенством (2.46).

Для слоистой пластины компоненты напряжений могут быть проинтег­ рированы по толщине каждого слоя, затем просуммированы с учетом соотношений (2.38), (2.42) — (2.44). Используя соответствующие компо­ ненты матрицы [G]fc, получим

Рис. 2.11. Положительные направления усилия и моментов для пластины

Отсюда следует, что [А] является матрицей мембранных жесткостей, связывающей усилия N и деформации е0 срединной поверхности. Мат­ рица [D] является матрицей изгибных жесткостей, связывающей из­ гибающие моменты М и кривизны к. Поскольку матрица [5] связывает М и е0, а также N и к, она называется матрицей смешанных жесткостей. Следует отметить, что в слоистых системах эффект связанности изгиба с растяжением может проявляться даже когда все слои изотропные. Например, если один слой выполнен из стали, а другой из полимера. Только в том случае, если стенка строго симметрична по структуре, свойствам и расположнию относительно срединной поверхности, все компоненты Вху равны нулю.

Можно заключить, что связь между растяжением и сдвигом имеет место в случае, если А 16 иА 26 не равны нулю. Связь кручения с растяже­ нием, а также изгиба со сдвигом имеет место при нулевых В\ 6 и 5 26)а связь изгиба с кручением характеризуется отличными от нуля величинами А 6 и Д>6. Обычно члены с индексами 16 и 26 при правильной после­ довательности укладки слоев отсутствуют, однако существуют прикладные задачи (например, аэроупругости), при решении которых соответствующие эффекты могут быть использованы.

Примеры учета обсуждавшихся особенностей для ортогонально арми­ рованных материалов, образованных слоями с углами 0 и 90°, а также

в совокупности с соответствующими уравнениями равновесия для напря­ жений и соотношениями, связывающими деформации с перемещения­ ми, образуют соответствующую теорию балок, пластин и оболочек, учиты­ вающую температурные и гидротермические эффекты, а также попереч­ ные сдвиговые деформации. Подробное обсуждение этих вопросов содер­ жится в работе [6]. Ему будут посвящены также главы 3,4 и 5.з

з

содержание 40 %. Приняв, что модуль упругости борного волокна 2,3 *105 МПа,

аэпоксидной матрицы 2,3 *Ю3 МПа, найти:

а.Модуль упругости композита в направлениях 7 и 2.

б. Дополнительно введен второй такой же слой с волокнами параллельными направлению 2. Приняв, что толщина каждого слоя 2,5 мм, определить новые мо­ дули упругости в направлениях 7 и 2, без учета коэффициентов Пуассона-

2.15. Свойства углеродных волокон и полиимидной матрицы следующие: Е = = 2,756 • 105 МПа, у = 0,2 и Е = 2,756 *103 МПа, у = 0,33.

а. Найти модуль упругости Ех х в направлении волокон для композита с обыч­ ным содержанием волокон 70 %.

б. Найти коэффициент Пуассона vx 2.

в.Найти модель упругости в направлении, перпендикулярном волокнам Е22.

г.Чему равен коэффициент Пуассона v2, ?

2.16. Для заданного композита коэффициенты термического расширения эпоксидной матрицы и углеродного волокна соответственно составляют 30 *10_6 и -15 10-6 Для космической системы, где не допускается термическое расшире­ ние, определить объемное содержание каждого компонента, обеспечивающее ну­ левое расширение и сокращение материала в направлении волокон (указание: ис­ пользовать правило смесей).

2.17. Найти элементы матриц А, В и 7) для следующего композита: 50% -во л о к ­ на бора, 50 % - эпоксидная матрица, Ех х = 2,067 • 105 МПа, Е22 = 2,067 ■104 МПа,

из пластин имеет максимальный прогиб и какая минимальный?

Г л а в а 3. ПЛАСТИНЫ И ПАНЕЛИ ИЗ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ

3.1.ВВЕДЕНИЕ

Вгл. 2 были подробно рассмотрены определяющие уравнения, описывающие соотношения между внутренними силовыми факторами - усилиями (Nx , Ny, NXy ) ;

связи между деформациями и перемещениями (2.40), (2.42) и уравнениями равно­ весия, которые будут получены в разд. 3.2, они будут использованы для построе-

Коэффициенты вычислены для температур по Фаренгейту.

ния теорий тонкостенных конструкций, т.е. конструкций, в которых композитные материалы используются наиболее часто. В этой главе будут рассмотрены пластины и панели, а в гл. 4 - балки, стержни и стойки. Оболочки будут предметом обсужде­ ния гл. 5, и, использование энергетических методов решения задач посвящена гл. 6. Однако вывод уравнений, описывающих любую конструкцию, должен начинаться с вывода уравнений равновесия.

3.2. УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ПЛАСТИНЫ

Внутренние силовые факторы - нормальные (N), касательные (Q) усилия и моменты (М) , определяются соотношениями (2.46). Для пря­ моугольной пластины длиной а в направлении х , шириной b в направле­ нии у и толщиной h в направлении z (так, чтоh<b, h < а, т.е. пластина тонкая) положительные направления этих силовых факторов показаны на рис. 2.11. Таким образом, необходимо вывести связывающие их урав­ нения равновесия.

При математическом моделировании твердых тел, включая слоистые, описанные в гл. 2, обычно используется теория континиума. При этом внутри упругого твердого тела или слоя рассматривается некоторая представительная материальная точка, типичная для данного тела или слоя. Материальная точка считается бесконечно малой по сравнению с любым размером тела, в котором она находится, но бесконечно большой по сравнению с размером кристаллической решетки. Кроме того, матери­ альной точке придается удобная для рассмотрения форма. В декарто­ вой системе координат она представляется в виде элементарного паралле­ лепипеда со сторонами dx, dy и dz, как показано на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Система координат и принятые обозначения

Этот элементарный параллелепипед с размерами dx, dy и dz называется выделенным элементом. Положительные направления всех напряжений, действующих на поверхностях выделенного элемента, берутся в соот­ ветствии с направлениями, указанными на рис. 3.1. Там же показано, как они изменяются при переходе от одной поверхности к другой. При этом положительные направления напряжений соответствуют общепри­ нятым в научной литературе, показаны также на рис. 2.1. Более подроб­ ное изложение этого вопроса можно найти в литературе по механике твердого тела, например, [1,2]. Кроме поверхностных напряжений, действующих на выделенный объем, на него действуют также объемные силы, компонентами которых являются Fx, Fy и Fz. Компоненты этих сил пропорциональны объему выделенного элемента (поэтому они назы­ ваются объемными). Ими, например, могут быть гравитационные, маг­ нитные и центробежные силы.

Действующие силы можно спроектировать на оси х, у, z и получить три уравнения равновесия. Например, сумма проекций всех сил на ось х может быть записана в виде

Эти уравнения представляют собой уравнения равновесия трехмер­ ного упругого тела. При использовании существующей теории балок, пластин и оболочек применительно к композитным или другим материа­ лам для получения решения необходимо проинтегрировать напряжения, по толщине тонкостенной .конструкции.

Перепишем установленные в гл. 2 выражения для усилий и момен­ тов:

Первое выражение применяется для однослойной пластины, в то время как второе может быть использовано для многослойной. В последнем напряжения не являются непрерывными из-за наличия слоев из разных материалов и возможной их разной ориентации.

Обратимся теперь к выражению (3.1), где с целью упрощения пренеб­ режем объемными силами Fs и проинтегрируем его почленно по каждо­ му слою,суммируя интегралы по толщине пластины:

В первых двух членах операции интегрирования и дифференцирования взиимно перестановочны, т.е.

Первые два члена выражения соответствуют Nx и Nxy . Третий член относится к сдвиговым напряжениям. Очевидно, что между слоями сдвиговые напряжения взаимно уравновешиваются, и если действуют сдвиговые напряжения на верхней (z = hN) и нижней (z = h Q) поверх­ ностях (см. рис. 2.1):