Поведение конструкций из композитных материалов

сохраняют свои свойства до определенной температуры, которая извест­ на под названием температура стеклования полимеров. Выше этой темпе­ ратуры прочность и жесткость падают. Для увлажненных полимеров снижаются не только механические характеристики, но и значительно падает температура стеклования.

Таким образом, для современных методов конструирования изделий из композитов с полимерной матрицей необходим учет не только терми­ ческих, но и гидротермических воздействий. В противном случае конст­ рукция может быть спроектирована неверно. Следовательно, уравнение (2.9) для полимерных композитов, находящихся в реальных условиях,

Здесь даны уравнения двух видов, поскольку и термические, и гидро­ термические воздействия вызывают только объемные деформации и приводят к расширению или сжатию, но не вызывают появления касатель­ ных напряжений и деформаций. Об этом необходимо помнить.

2.5. СЛОИ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ

Практически почти все конструкциииз композитных материалов являются тонкостенными, так как в этом случае свойства материала проявляются наилучшим образом. Большинство композитов с полимер­ ной матрицей изготавливаются в форме ленты шириной в несколько дюймов, содержащей параллельные волокна, находящиеся в полимерной матрице, и называемой ’’препрегом” . Основной элемент в большинстве композитных изделий, армированных длинными волокнами, это слой из волокон и матрицы. Причем все волокна ориентированы в одном направ­ лении, что осуществляется послойным выкладыванием препрега опреде­ ленной длины. Следующий раздел посвящен анализу материалов, образо­ ванных из различных слоев и называемых поэтому слоистыми.

Для анализа рассмотрим не­ большой элемент слоя с постоян­ ной толщиной h . Главные оси материала помечены цифрами 1 и 2, так что 1 соответствует нап­

Рис. 2.8. Координатные системы слоя

перпендикулярному им. Будем считать, что осями, в которых задается геометрия балки, пластины или оболочки, являются оси X и У, как это показано на рис. 2.8.

Все действующие на данный элемент напряжения имеют положитель­ ные направления в соответствии с известными правилами [2, 5, 6] .Усло­ вия равновесия, связывающие напряжения ох, оу, оху и а ь о2, о12 и ана­ логичные соотношениям, используемым в сопротивлении материалов при анализе круга Мора, позволяют получить следующую зависимость, записанную в матричной форме:

Здесь т = cos0, п = sin0, а отсчет угла 0 производится в положительном направлении (см.рис. 2.8). Индексы CL соответствуют классическому двухмерному случаю, т.е. плоскости 1 - 2 или плоскости X - У.

Аналогично определяются и соотношения между деформациями, так­ же приведенные для классического изотермического процесса:

Однако эти традиционные решения двухмерной задачи должны быть видоизменены по отношению к композитным материалам с целью учета температурного и гидротемпературного воздействий, а также поперечных сдвиговых деформаций, что,в частности, рассмотрено в работах [6, IS­ IS]. Учет влияния поперечной сдвиговой деформации приводит к появ­ лению в приведенных ниже уравнениях (2.28) и (230) соотношений оч - е4 и а5 —е5. Это обстоятельство должно учитываться при анализе композитных материалов, так как в направлении волокон механические свойства композита определяются свойствами волокна (его прочностью и жесткостью) , в то время как в направлении толщины свойства волокон не проявляются. Преобладающее влияние в поперечном направлении оказывают более низкие свойства материала матрицы. Поскольку мате­ риал матрицы очень часто имеет более высокие значения коэффициен­ тов термического и гидротермического расширения (а и 0 соответствен­ но) , в некоторых случаях нельзя игнорировать возможное утолщение

слоя. Отсюда без дополнительных выкладок выражения (2.25) — (2.27) могут быть представлены в виде:

' Матрица [Т]-1 может быть получена заменой в на - в в [Т].

Если воспользоваться свойством симметрии в этих выражениях, а также зыражвиием закона Гука, связывающего напряжения и деформа­ ции, прение того, учесть в них влияние термических и гидротермических воздействий, то получим следующую общую зависимость для описания поведений композитного материала, армированного волокнами, в глав­ ных осях материала (7, 2, 3) ; см. выражения (2.5) — (2.8):

(2.32)

Приведенные в выражении (232) величины Qy используются для построения матрицы жесткости. Это понятие используется в современ­ ной литературе, посвященной вопросам технологии композитных мате­ риалов. Следует отметить, что они идентичны параметрам С^, использу­ емым в классической теории упругости, и описывались в предыдущих разделахЭти величины могут быть получены непосредственно из равен­

ства (2.5) - (2.17) . Необходимо также иметь в виду,что е2з = (1/2G23)X Ха4>е3 1 = (l/2G31)as и е12 = (l/2G12)a6, отсюда следуют сомножители ”2”, появившиеся в матрице Q. Воспользовавшись обозначениями, при­ веденными в [15], получим

4 = 1 ~ РП Р21“ "23"32 “ "3 1"13 ~ 2"21"32"13

Между прочим, для трансверсально изотропного слоя, имеющего одинаковые свойства в направлениях 2 и J, vi2 = ^ I 3,G 12 = G13, Е22 = = Т^зз, и результат упрощается.

Для приближенных расчетов, не требующих большой точности, могут быть использованы более простые соотношения [6], так что некоторые из выражений (2.33) мбгут быть приняты в виде:

Необходимо отметить, что хотя термическое и гидротермическое расширение не вызывает деформаций сдвига в координатах материала 7-2, поворот к координатной системе Х - У , связанной с конструкцией, приводит к появлению величин аху и (1ху. Для предварительного анали­ за или приближенных вычислений' можно воспользоваться упрощенной записью:

где Отданы в обозначениях к равенству (2.36) и для корректного опре­ деления Qij необходимо пользоваться выражением (234), вместо (233).

Интересный вариант выражения для величин, приведенных в (237), получен путем преобразований указанных выше величин к форме, кото­ рая очень полезна при сравнении различных материалов, в частности, при создании композитной структуры.

QU = UX+ U2COS(20) + l/3 cos(40)

Qn = Ux — U2cos(20) + U2cos(40)

Qu = U4~ U2cos(4d)

(2.37a)

066 = Us — U2cos(40)

£)16 = + {U2 sin(20) + U3 sin(40)

Q26= + \ U 2 sin(2в ) - и 3 sin(40)

где

l/,-= H 3 6 n + 3G22+2G,2 + 4G66)

U i ^ K Q u - Q n )

(2.376)

Приведенные выше величины Ц- являются инвариантными при пово­ роте осей, и поэтому являются истинными свойствами слоя композита.

Таким образом, если однонаправленный слой композита с известны­ ми упругими свойствами содержится в пластине или панели и его глав­ ные оси 1-2, связанные с направлением армирования, составляют угол в с осями Х-У, то все коэффициенты жесткости £?// и <2// могут быть определены, и может быть установлена связь между напряжениями и деформациями в обеих координатных системах.

2.6.АНАЛИЗ СЛОИСТЫХ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ

Впредыдущем разделе были получены общие соотношения упругос­ ти для одного слоя композитного материала. На практике любая кон­ струкция из композитного материала образуется многочисленными сло­ ями, соединенными между собой и (или) совместно отвержденными. Действительно, одним из важнейших преимуществ композитов по срав­

нению с металлами и пластиками является не только высокая прочность и жесткость композитов, но и возможность широко изменять их струк­ турные параметры, располагая слои так, что достигаются оптимальные для заданной конструкции и условий ее нагружения свойства материала.

Рассмотрим слоистый материал, образованный N слоями. Для fc-того слоя равенство (2.36) может быть записано в виде

(2.38)

где все члены матриц должны иметь индекс к и соответствовать распо­ ложению данного слоя пластины или оболочки в координатах Х - У , а также его значениям Q, а,- и /3,-.

Для упругого тела уравнения, связывающие деформации и переме­ щения, т.е. кинематические соотношения, определяющие функциональ­ ные зависимости между упругими деформациями и перемещениями

Здесь для декартовой координатной системы /, / = х, у, z, а запятая означает частное дифференцирование по той координате, которая обоз­ начена индексом после запятой. Тогда в развернутом виде получим

где и, v и w —перемещения в направлениях х,у и z соответственно.

В линейной теории упругих пластин [2] предполагается, что линейный элемент, ограниченный поверхностями пластины и перпендикулярный ее срединной поверхности (т.е. плоскости Х - У на рис. 2.9) до нагружения, в процессе нагружения смещается и поворачивается относительно исход­ ной координатной системы. Основываясь на этом предположении, запи­ шем выражения для перемещений пластины в следующем функциональ­ ном виде

Рис. 2.9. Типичная прямоугольная плас­ тина

Заметим, что без введения параметров, отражающих гидротермические воздействия, матрица деформаций и кривизн не зависит от ориентации слоев, так как перемещения и деформации непрерывны по толщине пакета. В этом случае индекс к для элементов матрицы не является необ­ ходимым. Однако при непрерывности деформаций и кривизн по толщи­ не пластины, напряжения по толщине слоистого материала ввиду различ­ ной ориентации слоев оказываются разрывными функциями. В этом смыс­ ле и приводится индекс к в матрице напряжений.

Из выражений (2.45) видно, что если все величины, входящие в его правую часть известны, то можно вычислить все напряжения в любом слое материала.

Рассмотрим слоистую пластину или панель толщиной h (рис. 2.10). Здесь hk является векторным расстоянием от срединной плоскости (z = = 0) до верхней поверхности Аг-того слоя, т.е. для слоев, лежащих ниже срединной плоскости, эта величина является отрицательной, а для слоев, лежащих выше срединной плоскости, — положительной. Для примера рассмотрим пакет, толщина которого 0,52 мм, образованный четырь­ мя слоями одинаковой толщины, равной 0,13 мм. Тогда h0 = —0,25 мм, hi = 0,13 мм,Л2 = 0, h3 = 0,13 мм иЛ4 = 0,25 мм.

Так же как и в клиссической теории пластин и оболочек [1—6] введем нормальные усилия (АО, изгибающие моменты (М) и поперечные уси­ лия ( 0 для всей пластины независимо от числа и ориентации слоев.

Рис. 2.10. Обозначение последовательности укладки слоев