Поведение конструкций из композитных материалов
..pdfсоответствующих механическому нагружению. Напряжения, вызванные дополнительным полем деформаций, могут быть определены по форму лам
(4.105)
В случае гидротермическрго воздействия на полимерные композиты может быть использована та же процедура вычислений, но с заменой тем пературы на влажность. Заметим, что при этом следует иметь в виду возможные изменения механических свойств под действием влажности и температуры.
4.7. ЗАДАЧИ
4.1. Дифференциальное уравнение изгиба композитной балки, у которой By = О и D X6 =D26 =0 имеет вид
bDx l (d*w/dx*) = q ( x ),
где b - ширина балки; Dx, - изгибная жесткость в направлении х, q(x) - попе речная нагрузка на единицу длины. Балка имеет длину L , шарнирно оперта на конце х = 0 и защемлена на конце х = L, поперечная нагрузка постоянная, т.е. q (х) = q 0. Записать явное выражение для w (х).
4.2. Та же балка выполнена из углепластика Т300/5208 со следующими механи
ческими свойствами при температуре 30,8 С: |
|||
Ех х = |
14,5 • 104 МПа; Е2 = |
1,17 |
104 МПа; |
Gl2 = |
0,45 • 104 МПа; vx2 = |
0,21; |
и2Х = 0,017; р= 10,7 • 103 г/м3 (массовая |
плотность); g= 9,8 м/с2; принять [а] = 700 МПа. |
|||
Рассмотреть балку, содержащую 30 слоев, каждый толщиной 0,15 мм, уложен
ных под углом 0° друг к другу, общей толщиной h |
=4,57 мм. Балка имеет ширину |
b = 25,4 мм и длину L = 304,8 мм. Определить: а) |
максимальный прогиб балки, |
если она шарнирно оперта по обоим концам и нагружена постоянной поперечной распределенной нагрузкой, равной 1784 Н/м; б) максимальное напряжение; в) ос новную частоту изгибных колебаний; г) какова величина критической силы, если на конец балки действует сжимающая нагрузка?
4.3. Рассмотрим балку длиной 508 мм, шириной 25,4 мм из материала, описанно го в задаче 4.2. Какова минимальная толщина балки h , при которой можно быть уверенным в том, что она выдержит постоянную поперечную нагрузку q 0 = 3568 Н/м, если балка шарнирно оперта по обоим концам?
4.4. Для балки, выполненной из материала, приведенного в задаче 4.3, с L =г = 381 мм, b = 25,4 мм и Л =5 MN^ определить основную частоту собственных колеба ний (в герцах), если балка шарнирно оперта по обоим концам. Поперечными дефор., мациями сдвига пренебречь.
4.5. Для балки из задачи 4.4 определить критическую нагрузку без учета попе* речной деформации сдвига.
нению с аналогичной алюминиевой конструкцией использование композитов даст 23 % снижения массы.
В работе [7] рассмотрено поведение цилиндрических оболочек из углепластика при усталости в условиях кручения. При этом была получена новая важная информа ция. Теоретически и экспериментально исследовалась [8J устойчивость при сложном нагружении композитных цилиндрических оболочек с начальными несовершенства ми. Сложное нагружение включало осевое сжатие, внешнее давление и кручение, при этом была использована теория Доннелла-Муштари. Несовершенства формы оказались более опасными при осевом сжатии, чем при внешнем давлении или кру чении, как это и ожидалось.
Распределение температур в композитных конических оболочках, находящих ся в условиях аэродинамического нагрева, изучено в работе [9)- В работе |10) иссле довано прощелкивание сферических композитных оболочек. Определено критичес кое внешнее давление в зависимости от геометрии оболочки и свойств ее материала.
В работе [111 изучалась асимметричная форма потери устойчивости оболочек из композитных материалов под действием поперечных нагрузок, а в работе [12] — поведение двухслойных композитных цилиндрических оболочек под действием внешнего давления. Экспериментальные исследования гидротермических воздейст вий на баллоны давления из композитных материалов, которые используются в качестве корпусов ракетных двигателей, приведены в работе [131 - Испытания пока зали, что композиты на основе кевлара подвержены этим воздействиям в меньшей степени, чем стеклопластики.
Более поздние работы [14, 15] были в значительной мере посвящены вопросам теории оболочек из композитных материалов. В этих работах обсуждается, в частности, поведение композитов, имеющих разные свойства при растяжении и сжа тии (так называемых бимодульных композитов). Среди таких композитов можно отметить материалы армированных волокнами автомобильных шин, а также некото рые биологические материалы. В работе [161 рассмотрена концентрация напряже ний в многослойных цилиндрических оболочках.
53 . АНАЛИЗ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ИЗ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ ПРИ ОСЕСИММЕТРИЧНОМ
НАГРУЖЕНИИ
Простейшая геометрическая форма оболочки — цилиндрическая, показана на рис. 5.1. Там же показаны положительные направления пере мещений u, v, w и положительные направления координат х и £. Имеется также угловая координата в . Положительные направления усилий и мо ментов на рис. 5.2.
В рассматриваемой здесь классической теории оболочек приняты допущения, использованные в теории пластин (см. гл. 2 и 3) :
(5.1)
а { ~ € С ~ ( х { - |
~ О |
Рис. 5.1. Цилиндрическая оболочка
Рис. 5*2. Положительные направления усилий и моментов в цилиндрической оболоч ке
и(х, в, ?) = «о(*> 0 )+ ?&(*. в) |
(5Л) |
v(x, в, £) = v0{x, 0) + №в(х, в)
все входящие сюда члены были определены в предыдущих главах. Кроме того, существует еще одно допущение, известное как первое приближение Лява, которое связано с пренебрежением поперечной деформацией сдвига:
h/R <& 1. |
(5.2) |
На самом деле, точный анализ оболочек из композитных материалов должен включать поперечную деформацию сдвига, вследствие того, что модуль упругости в направлении волокна зависит от свойств волокна, в то время как поперечные модули сдвига определяются свойствами матрицы. Однако для предварительного расчета, с целью упрощения можно пренебречь поперечной деформацией сдвига.
Вывод дифференциальных уравнений для цилиндрических оболочек необходимо начать с формулировки задачи теории упругости в криволи нейных координатах.
Аналогичные соотношения, записанные в декартовой координатной системе, явились в гл. 3 отправной точкой для вывода уравнений теории пластин. После этого можно перейти к выводу уравнений для оболочки общей формы, а затем рассмотреть конкретную форму, например, цилинд рическую. В виду большого объема выкладок, уравнения даются ниже без выводов.
Уравнения равновесия имеют вид:
1 г |
1 1 |
' ’ а + Л + . Ш |
|
= T / ° e ~ Vexa** = R |
Э0 |
J R дв |
|
1
*2Схв°*в-
(5.11)
(5.12)
Мембранные и изгибные жесткости определяются выражениями:
|
Exh |
|
|
Е вИ |
|
|
|
О - ^ Л х ) ’ |
|
Кй = |
|
||
|
|
|
(1 - W e x ) |
(5.13) |
||
|
Exh3 |
|
|
ЕвИ> |
||
|
|
А ,= |
|
|||
D = |
W e * ) |
' |
12(1 - vxevtx) ‘ |
|||
|
12(1 - |
|
||||
Для ортотропного материала имеет место равенство |
||||||
|
|
|
|
|
|
(5.14) |
Теперь предположим, |
что |
нагружение |
является осесимметричным, |
|||
т.е. Э ( |
)/Э0 = 0. Проведем обычное интегрирование выражений (5.10) |
|||||
и (5.11) |
(т.е. умножим каждое на dz) в пределах от —h/2 до Л/2 и, ис |
|||||
пользуя определение усилий, получим |
|
|||||
Nx - |
vxeNe = |
Exh(du0/bx), |
Ne - vexNx = Egh (w/R). |
|||
Преобразуем эти выражения: |
|
|||||
|
Эм0 |
и> |
|
|
(5.15) |
|
N = K , |
|
|
|
|
||
Ne = Kt vxe |
Вм0 |
w |
|
|
(5.16) |
|
Эх + |
R |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
Аналогично, умножая (5.10) |
и (5.11) на |
и интегрируя от —Л/2 до |
||||
/*/2, получим |
|
|
|
|
|
|
Мх |
vxQ^6 |
Exh* |
Э2w |
|
||
12 |
|
“ |
>^0 ” vQy^X ~~ |
|||
|
|
|
Ъ х 2 |
|
|
|
Преобразуем эти выражения: |
|
|
||||
Мх |
|
|
|
|
|
(5.17) |
м о = *>ехМх. |
|
|
|
(5.18) |
||
Далее предположим, что касательные нагрузки на поверхностях отсут ствуют, отсюда qx = qQ=тх = тв =0.
Написанные выше уравнения для оболочки могут быть упрощены следующим образом:
& + s = |
° |
|
А = о |
|
|
Гd Uo |
VnY |
|
Мх= к Ы |
+ 1 ? ” \ |
|
Г d м0 |
w |
|
|
j 7 |
+ j |
|
dx |
|
II * |
£ |
|
_ |
d3w |
|
Qx~ ~ |
* d x 3 ' |
|
Из выражений (5.19) и (524) имеем
<*2Цр |
увх dw |
d x 2 |
R dx U- |
(5.19)
(5.20)
(5.21)
(5.22)
(5.23)
(5.24)
(5.25)
(5.26)
(5.27)
(5.28)
(5.29)
Преобразуя выражения (5.28), (525) и (5.20), можно получить
- А |
d4w |
Ке |
dM0 |
w |
+Р (х) = 0. |
(5.30) |
г . - r 1 + — |
||||||
|
dx4 |
R |
хв dx |
R |
|
|
С учетом (5.29) и (530) окончательно получим основное уравнение
136
d4w |
12(1 ~ Р хвРвх) |
Р в = |
J _ |
, ^ |
N* |
(5.31) |
|
d x 4 |
h2R2 |
|
DXW |
Dx |
р у х ) - р вх- ^ |
||
Обозначив |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3 0 ~ Vx e Ve . x) D e |
|
|
|
|
(5.32) |
|
* |
h2R 2 |
Dx ’ |
|
|
|
||
|
|
|
|
||||
получим основные дифференциальные уравнения для поперечного проги ба w и осевого перемещения ы0 в виде
|
|
(5.33) |
|
d2u0 | |
увх dvt> |
(5.34) |
|
А х2 |
Л dx |
||
|
Форма уравнения (533) является удобной, поскольку оно не связано с уравнением (534). Величина Nx является постоянной, [см. уравнение (5.19) ] и определяется граничными условиями. Как следует из уравнения (533), действие осевого усилия в отношении поперечного перемещения w эквивалентно поперечному давлению.
После определения w и I/Q из (533) и (534) можно получить усилия и моменты из выражений (5.24) и (5.28). Напряжения могут быть опре-
делены из уравнений |
|
|
|||
|
Nx |
|
|
(5.35) |
|
°х |
Н |
h3/ \ 2 |
|
||
|
|
||||
|
Ne |
Met |
|
(5.36) |
|
O n = |
» + |
h3/ \ 2 |
|
||
|
h |
|
|
||
|
зе |
Л . . / f |
\ 2' |
(5.37) |
|
°x: |
2h |
1 + \ h/2 |
J |
||
|
|||||
Отметим, что дифференциальное уравнение (533) имеет такую же форму, что и для балки на упругом основании, где изгибная жесткость балки EI заменена на D^, а коэффициент жесткости основания к — да 4е4/)х . Таким образом, могут быть использованы формы решений для балки на упругом основании.
Стандартными методами можно получить корни характеристического
1$7
уравнения четвертого порядка, соответствующего уравнению |
(533): |
± е(1 ± 0 , где /= V - 1 • Общее решение можно записать в виде |
|
w(x) = A e"<jrcos сх + В е"<дг sin сх + С e<Jrcos ex |
|
+ Е е<дг sin ex + и^(х) |
(5.38) |
где A, Bt С и Е —постоянные интегрирования,определяемые граничными
условиями, a vv^(x) |
является частным |
решением. Осевое перемещение |
||
и0 (х) можно получить, интегрируя (5.24), т.е. |
||||
t |
ч |
Nxx рйх |
г |
(5.39) |
»о(х) = |
J wdx + F |
|||
где Nx |
- |
постоянная величина; F - |
постоянная интегрирования. Для |
|
цилиндрических оболочек, находящихся под действием осесимметрич ных нагрузок, можно записать шесть граничных условий, по три для каж дого края. Естественные граничные условия имеют вид их = 0 или Nx =0, dw/dx =0 ипиМх =0, w = 0 или Qx =0.
В приведенных выше выражениях содержатся условия для шарнирно
опертых, защемленных и свободных краев. |
|
|||
При решении уравнения (533) |
может быть использована отличная |
|||
от (538) |
форма, так называемое решение в форме краевого эффекта. |
|||
В этом случае получим выражение: |
|
|
||
w (x )= |
^f°— e~<jr(sin ex —cos c x )---- e_<*cos ex |
|
||
V } |
2c2DX |
V |
2e3Dx |
|
|
+ - ^ - - e ~ €lL~x)[s\n |
x) - cos e(L - |
x)] |
|
|
2e2Dx |
|
|
|
|
+ - % --e~ €(Z<~x) cos e(L —x) + w (x) |
(5.40) |
||
|
2c3£> |
|
|
|
где вместо А, В, С и Еъ выражении (538) роль постоянных интегриро вания играют величины М0, Q0t ML и QL.
Преимущество выражения (5.40) по сравнению с (538) вполне оче видно. Можно видеть, что каждый член однородного решения содер жит тригонометрические функции, которые изменяются от —1 до 1 и умножены на степенную функцию с отрицательным показателем степе ни. Предположим, что величина соответствующего члена будет пренеб
режимо малой, если |
еГ€Х < 0,006 или е "е^ “ х* <0,006. Это имеет |
место при ex =e(L - |
х) >5.15. Если vQxvxQ =0,09,то это условие будет |
иметь место при |
|
х > Rh( Dx/D e)
(5.41)
оболочки на расстояние большее, чем 4\/Rh(Dx/De) i r i , общее однород ное решение (5.40) стремится к нулю и является пренебрежимо малым. В случае воздействия поверхностных нагрузок р(х) частное решение сводится только к мембранным напряжениям и перемещениям. В связи
с этим область 0 < 4 y/Rh(Dx/De) 1/2 и 0 - х < 4 yjRh(Dx/De) l/2
называется зоной изгибного краевого эффекта. Ясно, что длина этой зоны является функцией изгибных жесткостей Dx и DQ.
Для оболочки, длина которой больше длины зоны краевого эффекта, L > 4\/Rh(Dx/De) i/i в диапазоне 0 < х < 4\/Rh(JDx/DQ) 1/2, членами, содержащими М^ и можно пренебречь. В интервале 0 < (L - х) <
< 4\jRh (Dx/Dg) 1/2 пренебрегают членами, содержащими М0 и Q0, а
в иЯтервале 4y/Rh(Dx/De) 1/2 < 1 - 4\/(^A /l) (Dx/De) 1/2 - членами, содержащими М0, Q0, ML, QL . Также, когда длина оболочки превышает длину зоны краевого эффекта и d2p(x)/dx2 = d3p(x)ld3x 3 = 0, можно считать
м0= Mx(0)t ML= MX(L),Q0= Q*(0), QL =QX(L).
Все полученные выводы справедливы для однослойного ортотропного материала, но могут быть распространены на ортотропную слоистую ком позитную оболочку с симметричной структурой пакета. В этом случае общее решение может быть записано в форме, представленной ниже.
5.4. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ИЗ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
- t ( L - x )
C O S £ ( L — X ) +
где |
(5.42) |
|
|
|
t 4 _ 3(1 *Ууvox) Dn |
R2h2 Du