Поведение конструкций из композитных материалов

Аналогично шесть основных уравнений, включающих Мх, Му , Мху, Qx, Qy и w, получаются из (3.12), (3.14), (3.15), (3.65) - (3.67). Во всех случаях в связи с симметрией отсутствует связь между нагружением в плоскости пластины и в поперечном направлении. Хорошо известно и часто наблюдается на практике, что нагрузки, действующие в плоскости пластины, вызывают потерю устойчивости, т.е. поперечные прогибы, которые обычно приводят к разрушению. Для разъяснения этого пара­ докса отметим, что в данной главе рассматривается линейная теория упругости, а задача устойчивости, по-существу, является нелинейной. Для краткости изложения положения нелинейной теории упругости здесь не приводятся; с ними можно ознакомиться по работам [1 , 2 ].

После преобразования (3.83) с учетом нагрузок, действующих в плос­ кости пластины, получим

где видна связь между нагрузками в плоскости пластины и поперечным прогибом.

Критические нагрузки, подобно собственным частотам, независимы от поперечных нагрузок, которые в данном случае не учитываются. Однако на практике возможны случаи, когда совместное действие поперечных нагрузок и нагрузок, действующих в плоскости пластины, может привести к разрушению прежде, чем оно наступит в результате потери устойчивости. Но критическая нагрузка не зависит от поперечной нагрузки так же, как и частота собственных колебаний. Отметим, что при конструировании элементов, подверженных действию сжимающих нагрузок, которые могут вызвать потерю устойчивости, следует отдавать предпочтение пластинам, обладающим срединной плоскостью симметрии (Ву = 0). В противном случае возникает эффект продольного изгиба.

Обратившись теперь к уравнению (3.81), запишем дифференциаль­ ное уравнение устойчивости для композитной пластины под действием только осевой нагрузки (IVх). Отбрасьюая р(х, у ) , получим

Опять принимая, что форма потери устойчивости для слоистой пласти­ ны из композитного материала соответствует форме потери устойчивости изотропной пластины с такими же граничными условиями, для шарнир­ но опертой по всем четырем краям слоистой пластины зададим

Ат п , как уже отмечалось, не может быть определена. При определении нагрузки Nx сг существенным является только наименьшее ее значение. Однако мы не знаем, какая величина т или п соответствует наименьшему значению критической нагрузки. Все величины п стоят в числителе, поэто­ му наименьшему Nx сг соответствует п = 1. Величина т входит в различ­ ные члены, включающие изгибные жесткости (Dlt D2, D3) и отношение длины пластины к ее ширине а/Ь. Поэтому заранее не очевидно, какая величина т соответствует нижнему пределу Nx^ сг. Вместе с тем, для конкретной пластины, эта величина легко устанавливается.

Таким образом, в отличие от задач, рассмотренных в предыдущих разделах, в задачах на собственные значения определяются частоты соб­ ственных колебаний конструкции и критические нагрузки. Поскольку частоты собственных колебаний и величины критических нагрузок яв­ ляются собственными значениями, соответствующие формы колебаний и потери устойчивости являются собственными функциями. Следова­ тельно, при анализе любой конструкции необходимо определение четырех параметров: максимального прогиба, максимальных напряжений, частот собственных колебаний (если динамическое нагружение действует на изделие или передается ему) и критических нагрузок (если они являются сжимающими).

Что можно сказать о собственных колебаниях и критических нагруз­ ках для пластин из композитных материалов, граничные условия для которых иные, нежели шарнирное опирание? Для пластин, рассмотренных в данном разделе, двойные тригонометрические ряды были использованы для представления форм колебаний и потери устойчивости при условии, что края пластины шарнирно оперты.

Все комбинации форм колебаний для балок могут быть применены к пластинам с другими граничными условиями. Эти вопросы были рас­ смотрены в работе [7]. Все производные и интегралы для балочных функций сведены в таблицы для облегчения их использования и приведе­ ны в работах [8, 9]. Аналогичные выражения для форм колебаний и потери устойчивости можно найти во многих источниках, они также могут использоваться вместо (3.86) и (3.93).

Если поперечная нагрузка р(х, у) распределена по поверхности, то:

Для нагрузки, действующей на прямоугольный участок со сторонами

Для любого иного поперечного нагружения qmn определяется из урав­ нения (3.125).

Если необходимо найти собственные частоты слоистой композитной пластины со срединной плоскостью симметрии (Вц = 0) и при ( ) \ 6 =

динной поверхности пластины приведут к появлению в правых частях уравнений (3.113) и (3.114) членов /(Э2а/Э^2) и /(Э20/Эг2). Таким образом,

Рис. 3.4. Функции распределения нагрузки, действующей на элементарный участок пластины

Рис. 3.5. Различные функции распределения нагрузки:

где Q - L I \L2 2 - LI 2 , а также

шарнирно опертой пластины, рассмотренной в данном разделе, при дина­

где qmn — коэффициенты разложения поперечной нагрузки в ряд вида (3.119). Таким образом, если для заданной поперечной распределенной