1.6.Устойчивость САР. Критерии устойчивости

1.6.1.Условие устойчивости

Для того, чтобы система автоматического управления могла нормально функционировать, она должна прежде всего удовлетво­ рять требованию устойчивости [5]. Система является устойчивой, если она возвращается к установившемуся состоянию после пре­ кращения действия возмущения, которое вывело ее из этого состо­ яния. Если система неустойчива, то достаточно любого толчка, чтобы в ней начался колебательный процесс незатухающих движе­ ний и уход от исходного установившегося состояния. Таким обра­ зом, устойчивую систему можно определить как систему, переход­ ные процессы в которой являются затухающими.

Устойчивость линейных систем зависит только от их структу­ ры и параметров и не зависит от внешних воздействий. Условие устойчивости можно найти из решения общего дифференциального уравнения САР, которое, как известно, записывается в виде:

яДвь’х(0 + an_ ,X ^ {t ) +... + а, X вы* (?) + а0Хвых(?) =

= ЪЯХ Г (?) + bm. t X (t) + ... +b ,X BX(?) + fo0XBX(?). (1.57)

Решение этого уравнения складывается из общего решения од­ нородного уравнения (с нулевой правой частью) X c(t) и частного решения X B(t), зависящего от правой части уравнения (от внешне­

го воздействия): Хвых (?) = Хс(?) + Хв(?).

Общее решение Хс(?) определяет собственное движение систе­

мы, зависящее от ее внутренних свойств. Собственное движение - это движение под влиянием начальных условий или толчка (импуль­ са), под влиянием 5(?) -функции. Следовательно, собственное дви­

жение - это функция веса (весовая функция) системы Хс(?) = со(?).

Частное решение характеризует вынужденное движение си­ стемы и зависит в первую очередь от внешнего воздействия. Оче­ видно, чтобы судить об устойчивости системы, достаточно иссле­ довать собственное движение (переходный процесс), которое должно быть затухающим. Математическая форма записи условия устойчивости представляет собой требование обращения в нуль Хс (?) при неограниченном возрастании времени с момента начала

переходного процесса: lim Хс(?) = 0.

При отсутствии кратных корней общее решение имеет сле­ дующий вид:

где А* - корни характеристического уравнения системы, соответст­ вующего уравнению с нулевой правой частью типа

Ci,C2,...C„- постоянные интегрирования.

Характеристическое уравнение системы может быть получено и из передаточной функции системы (знаменатель передаточной функции замкнутой системы, приравненный к нулю, дает характе­ ристическое уравнение). Если известна передаточная функция ра-

В(р)

зомкнутой системы W (р) = — — , то характеристическое уравне-

М р)

ние системы определится приравниванием нулю суммы числитель плюс знаменатель, то есть А(р) + В(р) = 0 -.характеристическое уравнение. Это объясняется существующей связью (п. 1.4.4)

Wp(p)

Щ р ) = l +Wp(p) где 1 + W (р) = 0 - есть характеристическое урав­

нение системы.

Из выражения (1.58) следует, что lim Х г (!) —» 0 в том случае,

f—>оо

если все Aj - отрицательные вещественные или комплексные с от­ рицательной вещественной частью. САР в этом случае устойчива. Таким образом, для суждения об устойчивости САР нет необходи­ мости вычислять корни характеристического уравнения. Достаточ­ но лишь выяснить, все ли они имеют отрицательные вещественные части.

В общем случае А,- = а, ± усо, - корни комплексные. Расположив

корни характеристического уравнения на комплексной плоскости (рис. 1.48), можно определить их влияние на устойчивость и сфор­ мулировать прямой критерий исследования устойчивости. Если корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоско­ сти, то система устойчива (рис. 1.48, а); если хотя бы одна пара корней лежит на мнимой оси, система находится на границе устой­ чивости (рис. 1.48, б)\ если хотя бы один корень лежит в правой полуплоскости, система неустойчива (рис. 1.48, в).

Правила, позволяющие судить об устойчивости системы без вычисления корней характеристического уравнения, получили на­ звание критериев устойчивости. С помощью критериев устойчиво-