Рис. 1.48. Расположение корней характеристического уравнения

сти не только определяется устойчивость системы, но и оценивает­ ся влияние тех или иных параметров и структурных изменений в системе на устойчивость. При исследовании устойчивости вначале необходимо убедиться, что выполняется необходимое (но недоста­ точное) условие устойчивости, чтобы все коэффициенты я, харак­ теристического уравнения были положительные. Если хотя бы один из коэффициентов отрицателен или равен нулю, система за­ ведомо неустойчива или находится на границе устойчивости, явля­ ется неработоспособной.

Для системы первого и второго порядка необходимое условие устойчивости одновременно является и достаточным.

Известно, несколько критериев устойчивости. Наиболее упот­ ребительными из них являются алгебраические критерии Гурвица и Рауса, основанные на рассмотрении системы неравенств, обра­ зуемых из коэффициентов характеристического уравнения, а также связанные с частотными представлениями (критерий Найквиста и Михайлова).

1.6.2. Критерий Гурвица

Проверка устойчивости по Гурвицу сводится к вычислению по коэффициентам характеристического уравнения

а„р" + а л_,/7"-1 +ап_2р п~2+ ... + а1р + а0 =0

определителей Гурвица, которые для устойчивой системы управ­ ления должны быть положительными. Для получения определите­ лей Гурвица составляется матрица из коэффициентов характери­ стического уравнения п-й степени, которую называют главным оп­ ределителем Гурвица ( Ап):

ап-За„-2

ап-5ап-4ап-3 Правила составления матрицы просты: по главной диагонали

выписываются все коэффициенты, начиная от ап_х до а0 в порядке убывания индексов; все горизонтальные строки правее диагонали заполняются коэффициентами с возрастающими индексами, а ле­ вее - с убывающими индексами; оставшиеся места (индексы коэф­ фициентов больше п или меньше нуля) заполняются нулями. Столбцы с нечетными и четными индексами чередуются.

Из главного определителя Ап составляются еще п -1 опреде­ лителей путем отчеркивания соответствующего количества строк и столбцов, то есть Дь Д2, Аз и т. д. Для устойчивости линейной САР необходимо и достаточно, чтобы при ах> 0 все определители Гурвица были положительны: Д, > 0, Д2 > 0, Д3 > 0.

Поскольку последнее условие легко проверяется по виду урав­ нения, записанного с конкретными числовыми коэффициентами, то целесообразно проанализировать критерий Гурвица с учетом этого необходимого условия. В результате анализа можно получить сис­ тему неравенств, соблюдение которых эквивалентно выполнению условий устойчивости, а именно: для системы первого и второго порядка необходимое условие устойчивости ах> 0, а2 >0, аъ> О одновременно является и достаточным.

Для систем более высокого порядка, кроме выполнения требо­ вания положительности всех коэффициентов характеристического уравнения, необходимо и достаточно соблюдение следующих не­ равенств:

для системы третьего порядка - а2ах> а3а0

для системы четвертого порядка - ах(а3а2 - а4а !) - а]а0 > 0;