- •СТАБИЛИЗАЦИЯ МАШИН
- •Предисловие
- •1.1. Основные понятия и определения
- •1.2. Математические основы теории линейных систем автоматического регулирования
- •1.2.2. Преобразования Лапласа и их свойства
- •1.4. Структурный анализ линейных САР
- •1.4.1. Структурная схема САР
- •1.4.3. Преобразование структурных схем
- •1.4.5. Обратные связи в САР
- •1.5.1. Типовые воздействия
- •1.5.2. Временные характеристики
- •1.5.3. Частотные характеристики
- •1.5.4. Временные и частотные характеристики типовых звеньев
- •1.6. Устойчивость САР. Критерии устойчивости
- •1.6.1. Условие устойчивости
- •1.6.2. Критерий Гурвица
- •1.6.3. Критерий Рауса
- •1.6.4. Критерий Михайлова
- •1.6.5. Критерий Найквиста
- •1.6.6. Определение устойчивости САР и запасов устойчивости
- •1.7. Оценка качества переходного процесса
- •1.7.1. Основные показатели качества
- •1.7.2. Оценка показателей качества переходного процесса по частотным характеристикам системы
- •1.7.3. Расчет установившихся ошибок САР
- •1.8. Коррекция динамических свойств САР
- •1.8.1. Метод последовательной коррекции
- •1.8.2. Метод параллельной коррекции
- •2.1. Эффективность стрельбы боевых машин
- •2.1.1. Особенности стрельбы с ходу
- •2.1.2. Анализ колебаний корпуса САО
- •2.1.3. Анализ колебаний корпуса морских кораблей
- •2.1.4. Способы повышения эффективности стрельбы
- •2.2. Анализ кинематических зависимостей при наведении и стабилизации
- •2.2.1. Кинематические схемы наведения и стабилизации установок
- •2.2.3. Слежение за неподвижной целью при трехосной схеме со стабилизацией осей цапф установки
- •2.2.5. Слежение за подвижной целью
- •2.2.6. Понятие «мертвой» зоны силовых приводов наведения
- •2.2.7. Влияние схемы заряжания установки на мощность силового привода наведения
- •2.3. Расчет и анализ процесса амортизации оружия при стрельбе очередью
- •2.3.2. Решение уравнения движения короба при П0=0
- •2.3.4. Решение уравнения движения короба при переменном темпе стрельбы
- •2.3.5. Расчет движения системы «оружие - установка» при стрельбе очередью
- •2.3.6. Анализ процесса амортизации оружия при стрельбе очередью
- •3.1. Классификация систем наведения и стабилизации установок
- •3.2. Система наведения артиллерийской установки
- •3.4. Принцип радиолокационной системы командного наведения зенитных комплексов
- •4.1. Свойства гироскопа
- •4.2. Учет сил трения в гироскопе
- •4.4. Двухстепенной гироскоп.
- •4.6. Скоростная характеристика наведения установки
- •5.1.1. Основные требования к приводам
- •5.1.2. Классификация силовых приводов
- •5.1.3. Принципиальные схемы некоторых приводов
- •5.2. Расчет электромашинного привода наведения
- •5.2.1. Способы регулирования скорости электродвигателей постоянного тока
- •5.2.2. Пуск электродвигателей постоянного тока
- •5.2.3. Торможение электромашинного привода
- •5.2.4. Выбор электродвигателя для неавтоматизированных приводов
- •5.2.5. Уравнение динамики электропривода
- •5.2.6. Расчет мощности электродвигателя для автоматизированных приводов
- •5.2.7. Усилительные устройства
- •5.3.1. Уравнения гидропривода с дроссельным регулированием
- •5.3.2. Структурная схема гидропривода
- •5.3.3. Устойчивость гидропривода
- •5.3.4. Способы повышения устойчивости гидропривода
- •5.4.1. Электромеханические преобразователи
- •5.4.2. Гидроусилители
- •6.1. Расчет механизмов вертикального наведения
- •6.2. Расчет механизмов горизонтального наведения
- •6.3. Выбор рациональной схемы установки коренных шестерен механизма поворота
1.2. Математические основы теории линейных систем автоматического регулирования
При исследовании и расчете САР математическое описание происходящих в них физических процессов обычно представляется системой дифференциальных уравнений, выражающих связи меж ду переменными величинами и их производными. Такой подход, когда уравнения описывают поведение исследуемой системы в це лом, является наиболее общим и применимым во всех случаях.
Вместе с тем для большого класса линейных САР широко применяется и другой способ, связанный с использованием опера торного метода. В этом случае исследуемая система разделяется на части - звенья направленного действия с передачей сигнала только в одном направлении: от входа к выходу. Совокупность этих звень ев совместно с линиями связи между ними, характеризующими их взаимодействие, образуют структурную схему САР. В практике структурные схемы САР, отражающие математическую модель элементов и системы в целом, составляются по передаточным функциям W(p), полученным в операторном виде, как отношение операторных изображений выходной величины звена к входной:
у
вых
Л р ) ' Между функциональными и структурными схемами есть опре
деленная общность - те и другие отражают процесс передачи и пе реработки информации в замкнутом контуре САР. Однако между ними существует и четкое различие: функциональные схемы ха рактеризуют систему по составу ее элементов, с точки зрения их назначения или выполняемых функций; структурные схемы, состо ящие из звеньев направленного действия, описывают математиче ски динамические свойства системы. Разделение САР на основные, достаточно простые функциональные элементы и составление по дробных функциональных схем способствует ясности в описаниях физических процессов системы, позволяет составлять структурные схемы для дальнейшего исследования и расчета основных режимов работы системы.
1.2.1. Уравнения САР и их элементов. Свойства линейных САР
Для составления уравнений динамики система разбивается на элементы (звенья). Для каждого из них составляется соответству
ющее уравнение (система уравнений) на основании физического закона, который определяет процесс, протекающий в данном звене. Стремление точнее описать процесс приводит к усложнению его уравнений. Поэтому необходим разумный компромисс между точ ностью описания процесса и возможностью исследования полу ченного уравнения.
Если для элемента справедлив принцип суперпозиции (влияния начальных условий и каждого из внешних воздействий независимы друг от друга), то дифференциальное уравнение элемента оказыва ется линейным. Однако многие элементы описываются нелиней ными уравнениями, которые часто не удается проинтегрировать; определение даже приближенного численного решения становится трудоемким. В этом случае в инженерных расчетах широко ис пользуют линеаризацию - замену нелинейных уравнений прибли женными линейными с известными методами интегрирования.
В линейном дифференциальном уравнении выходную величи ну элемента (искомую функцию времени) и ее производные приня то записывать в левой части, а входные величины (известные функции времени) и их производные - в правой части. Коэффици ент при выходной величине удобно иметь равным единице. Если уравнение не содержит выходной величины, то коэффициент при ее младшей производной равен единице.
Математическое описание системы представляет собой сово купность составленных независимо друг от друга уравнений эле ментов САР. Исключая промежуточные переменные в уравнениях, можно получить общее дифференциальное уравнение системы.
Дифференциальное уравнение линейной САР может быть за писано в следующем виде:
у |
л |
d 'X Bblx |
- 2 Л |
df* |
+ L |
cr |
|
( 1 . 1 ) |
|
' |
d /' |
d tJ |
|||||
|
|
|||||||
|
k=0 |
|
j = 0 |
|
|
|||
где ax,bk,c |
- |
постоянные коэффициенты, зависящие от конструк- |
||||||
3 |
|
тивных параметров элементов САР; |
|
|||||
п, ту1- порядок производных уравнений ( п>т>1). |
|
Левая часть уравнения описывает собственное движение си стемы; правая - приложенные к ней воздействия: задающие воз действия XnY(r) и внешние возмущения f ( t ) .
Нелинейные системы описываются нелинейными дифферен циальными уравнениями или кусочно-линейными статическими характеристиками (релейная характеристика, зона нечувствитель ности, ограничение координат, люфт и т. д.). Примером нелинейно го уравнения может служить уравнение второго порядка вида:
а2 X _ • Хю+ а, X шх+а0-а*-=Ь0ХК |
( 1.2) |
Л „V |
|
К нелинейным системам принцип суперпозиции неприменим. Если возмущение воздействия отсутствует, то уравнение (1.1)
можно записать в виде:
а,Двых(?) + ап- \ +••• + «! X “Ь1Х(?) + а0Х ВЬ|Х(?) =
= bmX ^ ( t ) + bm_lX ^ l\ t ) +... +bi Хвх(?) + &0Хвх(?). (1.3)
Уравнение (1.3) и его решение характеризуют процесс воспро изведения системой (элементом) задающего воздействия X BX(t) в
случае, когда не действуют возмущения / ( г ) .
Если отсутствует задающее воздействие, то уравнение (1.1) за
пишется в виде: |
|
|
а,Х:1 (0 + |
(0 + - |
+ а, * вь,х (0 + а0Х вых (0 = |
|
= с,/ |
('1(?) + с,_,/ <м>(t) + ... + c,f(t) + с0/(?). (1.4) |
Уравнение (1.4) характеризует процесс изменения выходной величины в случае, когда на систему действует только возмущение /(? ). При анализе САР часто представляет интерес определение
установившегося значения выходной величины Хвых^ при посто
янных значениях входного воздействия Хвх = const и возмущаю
щего воздействия f = const •
Приравняв нулю в уравнении (1.1) все производные, получим:
X |
= — X |
+ — f |
(1-5) |
ВЫХугт |
Л |
ВХ Т ЯпJ |
|
|
л0 |
“О |
|
Видно, что установившееся значение выходной величины при одновременном действии на систему (элемент) задающего Хвх и возмущающего / воздействий представляет собой алгебраическую сумму установившихся значений только при задающем воздей ствии и только при возмущающем. Это положение остается спра ведливым и в динамике. Таким образом, принцип суперпозиции за ключается в том, что если к системе приложено одновременно не сколько внешних воздействий, то их совместный эффект равен сумме эффектов, вызванных каждым воздействием в отдельности.
Из принципа суперпозиции вытекают следствия:
1) Если входному сигналу Х пх соответствует выходной сигнал Хвых, то при увеличении входного сигнала в К раз ему будет соот ветствовать выходной сигнал, также увеличенный в К раз.
2) Если входному сигналу Хвх соответствует Хвых, то произ-
•
водной от входного сигнала Х ъх соответствует выходной сигнал
•
X вых . то есть если известна реакция на входной сигнал, то реакция на производную входного сигнала находится простым дифферен цированием выходного сигнала.
3) Свойства линейных САР не зависят от начальных условий, а полностью определяются внутренними свойствами системы, то есть левой частью уравнения (1.1).
Принцип суперпозиции является основным свойством линей ных систем, он облегчает анализ систем, так как позволяет раз дельно изучать действие на систему задающих (режим управления) и возмущающих воздействий (режим стабилизации), отыскивать реакцию системы на производную от воздействия путем диффе ренцирования реакции системы на само воздействие. Принцип су перпозиции позволяет входной сигнал любой сложности предста вить в виде суммы типовых и определить реакцию системы как сумму реакций на типовые воздействия.
1.2.2. Преобразования Лапласа и их свойства
При исследовании замкнутой системы неизбежно приходят к уравнениям вида (1.3) или (1.4). Для получения информации о па раметрах системы необходимо производить сложные операции ин тегрирования и дифференцирования. Задача исследования упроща ется, если использовать аппарат операционного исчисления при переходе от линейных уравнений к передаточным функциям - опе раторным выражениям дифференциальных уравнений. Передаточ ные функции позволяют представить математическую модель си стемы в виде структурной схемы, состоящей из типовых динамиче ских звеньев.
Суть операторного метода и его использование при исследова нии САР заключается в том, что вместо функции времени X (t) исследуется функция комплексного переменного р - Х(р), причем между функциями X(t) и Х(р) устанавливается взаимно одно значное соответствие. Это соответствие устанавливается преобра зованием Лапласа, которое записывается выражением:
|
X ( p ) = le - p‘ X(t)dt |
(1.6) |
|
О |
|
В общем виде преобразование Лапласа функции |
X (г) записывают |
|
в виде: |
X (p) = L [x (f)] . |
|
Функцию |
Х(р) называют оператором или операторным изоб |
ражением функции X( t ), а X (г) - оригиналом. Ниже приведены
примеры применения преобразования Лапласа к наиболее часто встречающимся функциям.
Пример 1. Дана единичная ступенчатая функция X(f) = l(f),
|
. . |
ГОпригсО |
|
|
|
1(0 = 1 |
|
|
|
|
|
[l при t> 0. |
|
|
Тогда ее изображение по Лапласу: |
|
|
||
|
|
-pi |
|
(1.7) |
|
X ( P ) = L [i( o ] = J « - " i( t) d < = - : |
P |
||
|
о |
P |
|
|
Таким образом, изображение единичной ступеньки равно 1/ р |
||||
Пример 2. Дана единичная импульсная функция |
X (г) = 8(f), |
|||
, |
[ О приг^о |
dl(r) |
|
|
w |
[°° при t = 0 |
d(t) |
|
|
Ее изображение по Лапласу: |
|
|
||
|
X(p) = L[6(0]= Je-"-5(r)df = l. |
|
(1.8) |
|
|
|
о |
|
|
Изображение 8 -функции равно 1 на основании фильтрующего |
||||
свойства 8 -функции, заключающегося в том, что если |
8 -функция |
входит сомножителем в подинтегральное выражение, то интеграл равен значению подинтегральной функции при t = 0.
Пример 3. Пусть X (г) = е~х' . Изображение по Лапласу:
X(р) = Т [У х' ] = V |
х' • е~р' ■d t = V |
(р+М' • d t = —— . (1.9) |
|
о |
|
о |
Р + ^ |
Аналогично |
|
|
|
X (p) = i [ / ' ] |
= - L - ; |
( 1.10) |
|
L |
J |
р - К |
|
X { p ) = L[e~**]= |
\ ; |
(1.11) |
|
L |
J |
Р + усо |
|
X( p ) = L[eJ<a,] = — ^— . |
(1.12) |
||
L |
J P - yco |
|
Следует заметить, что применение преобразования Лапласа здесь рассматривается при нулевых начальных условиях. Учет начальных условий накладывает определенные трудности и здесь не рассматривается.
Перечислим без выводов свойства преобразования Лапласа.
Линейность оператора.
Если Х ,(г)— »Х ,(р) и X 2(t)— >Х2(р),то |
|
X{t) = X l(t) + X 2(t)—^ > X l(p) + X 2(p) |
и |
aX(t) = aX( p) , |
(1.13) |
где а = const. |
|
Свойство линейности позволяет просто находить изображение сложной функции, если удается представить ее в виде суммы эле ментарных составляющих.
Изображение производной.
Пусть X (г)—'r~>X ( р ) . Тогда изображения производных равны:
L ■»*(<) |
d*(0 d t = pX{p)-, |
|
dr |
dr |
|
L |
= P2X ( p ); |
|
d r |
|
|
d"X (r) |
= p"X( p) . |
(1.14) |
L |
dr"
Таким образом, при операторном изображении процессов опе рация дифференцирования (в области времени) заменяется опера цией умножения (в области комплексного переменного р).
Изображение интеграла.
Пусть X (г)—\—> X ( р ) . Тогда изображение интеграла
jx (r)d r =]<ГР' Jx(r)dr dr = х (р ) |
(1.15) |
Очевидно, что
Таким образом, изображение интеграла равно изображению функции, деленному на р, то есть операция интегрирования (в об ласти времени) заменяется операцией деления (в области ком плексного переменного р).
В табл. 1.1. даны изображения некоторых функций времени при применении к ним преобразований Лапласа.
Таблица 1.1. Изображение функции времени в преобразованиях Лапласа
Функция
времени
X(t)
Х( 0
Х( 0
1
paodr
0
Х(°о)
Х (0)
Изображение по Лапласу
~\e-p,X m t = X {p )
0
рХ (р )
Р'Х ( р )
Х(Р)
р
lim рХ (р )
Х->0
lim р Х (р )
Функция |
Изображение |
|
времени |
по Лапласу |
|
МО |
1 |
|
Р |
||
|
||
5(0 |
1 |
|
e±Xt |
1 |
|
р ± X |
||
sin со/ |
со |
|
р 2 +ш 2 |
||
|
||
cos со/ |
Р |
|
р 2 + со2 |
||
|
||
t |
1 |
|
р 1 |
||
|
||
t n |
п\ |
|
р л+1 |
||
|
1.3. Передаточные функции. Основные элементарные звенья САР
Передаточные функции являются основными характеристика ми САР и их элементов. Они упрощают составление математиче ских моделей систем, их последующий анализ и синтез. Для
нахождения передаточной функции необходимо: записать уравне ние системы (элемента) в форме Лапласа при нулевых начальных условиях и найти отношение изображения выходной величины к изображению входной.
Так, в форме Лапласа дифференциальное уравнение (1.2) САР можно записать в виде:
(а„Р" + +... +a,p +a0JXBuf(p) =
=(Ь. Р ' +Ь.-Р '~ ‘ Р + & .)*.,(/>)• О Н )
а передаточную функцию, согласно определению, в виде дробно рациональной функции от переменной р :
_ ^ вых( р ) = К р т+К-\Рт~х+ - + Ь р +ь0 _ в ( р )
Х М апр" +an_lPn-' +... + alP + a0 А (р )’
где А(р) и В(р) - полиномы от р.
Любая САР состоит из отдельных элементов: объекта регули рования, датчиков информации, усилительных и исполнительных устройств и т. д., отдельное описание которых не представляет особых трудностей. По этой причине всю систему разбивают на элементарные звенья таким образом, чтобы выходной сигнал одно го звена являлся входным сигналом другого, последовательно со единенного с ним.
Характерными для элементарного звена считаются следующие признаки:
- связь между выходным и входным сигналами описывается
дифференциальным уравнением не выше второго: |
|
||
•• |
• |
• |
•• |
X ВЫХ+ |
X вых + Я()ХвыХ “ ^О^вх |
^1 X вх + ^2 X вх » |
-звено - элемент системы управления;
-однонаправленность действия сигнала в звене.
Типовые звенья САР подразделяются на усилительные, инте грирующие, инерционные (апериодические и колебательные), дифференцирующие и форсирующие.
Втабл. 1.2 даны основные элементарные звенья, их уравнения
ипередаточные функции.
Ниже приведены примеры по составлению математического описания и определению передаточной функции типовых звеньев САР.
Пример 1. Делитель напряжения (рис. 1.7). |
|
||||
п |
j |
|
Напряжение, снимаемое с делителя, |
||
1 |
определяется соотношением |
||||
&— |
----4 |
^вых |
R, |
|
|
"н=>“1 |
Л, + Л 2^ их |
И Л И t / BbIX Ш Вх ■ |
|||
иа |
||/2ивых |
|
|
|
|
|
----0 |
где к = - R, < 1 - коэффициент уси |
|||
Рис. 1.7. Делитель напряжения |
|
|
+ R- |
|
|
ления. |
|
|
|||
|
|
|
|
||
Т абли ца |
1.2. Элементарные звенья, их уравнения и передаточные |
||||
функции |
|
|
|
|
|
Наименование звена |
Уравнение звена |
Передаточная функция |
|||
Усилительное |
у |
— кУ |
|
||
(пропорциональное, |
|
||||
л вых |
— |
нх |
|
||
безинерциональное) |
|
|
|
^ в х ( р ) |
|
|
|
|
|
||
Интегрирующее |
Т Х ю |
= Х п |
|
||
|
|
|
|||
|
|
|
J |
t |
m p ) = - V |
Тр
и л и * „ ы х = - J X x d '
1 0
Дифференцирующее
Инерционное I порядка
(апериодическое)
Инерционное II порядка
(колебательное)
Форсирующее
дифференцирующее I порядка
Форсирующее
дифференцирующее II порядка
Звено с чистым з апаздыванием
У |
—Т |
У |
л вых |
1 |
вх |
^ X в ы х + ^ вых = ^ в х
Т2Х вых + 2 ^ Т Х вш +
^вых — ^ в х
Хяых= к ( Т Х вх + Х ш )
Хшх=к(Т: Х ш+2!;ТХ,х+ Х т)
Х « . * ( 0 = И Г „ ( / - Т )
W(p) = Tp
W('p) = T Ln
7 / 7 -h 1
W ( p ) = , , * |
, |
T~ p~ +2£>Тр + |
1 |
W ( p ) = * ( 7 > + 1)
W ( p ) = * ( 7 V + 2 |
$ 7 > + l ) |
W(p) = ke~Tp
Передаточная функция делителя в операторном виде опреде лится из операторного уравнения
и аых(р) = к и вх(р ), то есть W(p) = |
= К > |
|
^вх(р) |
следовательно, делитель напряжения является усилительным зве ном со всеми его свойствами.
Пример 2. Механический редуктор (рис. 1.8). |
|
|
||||||
Пренебрегая деформацией |
|
|
|
|
|
|||
валов и люфтом в зацеплени- |
|
|
|
|
совых |
|||
ях, можно составить соотно |
W |
l |
’ |
\ |
|
|||
шение для угловых скоростей |
|
|||||||
|
■ |
& . .' з |
■ |
|||||
со |
= —— |
|
|
‘ h |
■ w |
|||
|
С 0 ВХ |
|
|
|
|
|
|
|
швых |
. |
|
’ |
|
^ |
J |
я |
1 |
где ip = fj • /2 */3 • /4 |
—общее пе- |
|
Рис. 1.8. Механический редуктор |
редаточное число редуктора.
Передаточная функция редуктора определяется из операторно
го уравнения: |
|
|
|
|
соп Др) = —швх(р ), то есть W(p) = ^ - <( р ) = 1 = К |
||
|
L |
<В|*(Р)' г ' |
~р |
|
Р |
ВХ |
|
|
Как видно, редуктор является усилительным звеном с коэффи |
||
циентом усиления (передачи). |
|
|
|
|
Пример 3. Гидравлический цилиндр (рис. 1.9). |
|
|
|
Пренебрегая силой инерции, пози |
И |
Р\ Р2 |
ционной нагрузкой (ненагруженный гид |
|||
роцилиндр), можно составить уравнение |
И/ |
\ ч |
|
движения выходного звена (штока): |
г |
^ 1 |
|
|
’ Ар “ Кт, X ВЬ1Х, или Т X вых = Ар, |
|
Г и |
|
|
-------- 1 Х ю |
|
|
j I |
(при р\ >р2) |
|
|
|
|
|
|
откуда XBUX= - jA p df, |
Рис. 1.9. Гидравлический |
|
|
|
|
цилиндр |
где |
- приведенный коэффициент вязкого трения; |
F- эффективная площадь гидроцилиндра;
Т= / Fn - постоянная времени гидроцилиндра;
Ар = р, - р2 - перепад давлений в полостях гидроцилиндра.
Передаточная функция гидроцилиндра определяется из опера торного уравнения;
Х*ых(р) = - ~ - Д р ( р ) , т о е с т ь W(p) = X™xip^ =-j-. |
|
|||||||
р |
Т |
|
|
Ар(р) |
Тр |
|
||
Таким образом, ненагруженный гидроцилиндр можно считать |
||||||||
интегрирующим звеном со всеми его свойствами. |
|
|
|
|||||
Пример 4. Пассивный RC-контур (рис. 1.10). |
|
|
|
|||||
R |
|
Основное |
уравнение электри |
|||||
|
ческой цепи контура запишется: |
|||||||
|
и„ |
|
^ в ы х = С /в х “ h R • |
|
||||
Ж |
С другой стороны, при проте |
|||||||
|
||||||||
0 - |
|
кании тока через конденсатор ем |
||||||
|
|
костью С на его пластинах накап |
||||||
я |
|
ливается заряд q, определяемый ин- |
||||||
4 |
|
тегральным выражением q = J/Cdr. |
||||||
|
|
|||||||
■U- |
|
Так как |
q |
\ l cdt |
, |
dU |
||
Рис. 1.10. Пассивный RC-контур |
||||||||
U |
l |
U |
с |
dt |
||||
Таким образом, уравнение электрической цепи контура можно |
||||||||
записать в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.d Ua |
"’ Или Т U в.1Х+ U |
U |
n |
|
|||
^ВЫХ —^ВХ |
RC- df |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
где T=RC - постоянная времени контура.
Если, например, подобрать Т U ВЬ1Х» £/вых, то справедливо со-
1 V
отношение TUBUX =Uax, или t/Bblx = - Jt/BXdr •
* о
В операторном виде последнее выражение запишется
^вых(р)- rj, UBX(p) ,
Тр
Пример 5. RC-контур (рис. 1.11). Для него справедливы зависимости
|
f /cdr |
|
|
и„ |
с |
№ |
U., |
|
WUВХ =±- |
+ IR и и вых = IR |
|||||||
|
|
|
|
|
0~ |
|
|
|
или |
^ в х |
|
+ ^вы х |
|
Рис. 1.11. RC-контур |
|
||
Поскольку /с = / = и и |
, то получим уравнение контура |
|
||||||
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
TU |
+U |
=ти |
|
|
|
|
|
|
|
вых ^ и вых |
1 и ВХ » |
|
|
|
где Г = RC - постоянная времени контура. |
|
|
|
|||||
Подбирая |
Т так, |
чтобы выполнялось Т U ВЬ1Х« |
и шх , можно |
|||||
записать |
t/Bblx = T U вх |
В |
операторном виде |
Uвых(р) = TpUвх(р) , |
||||
откуда W(p) = ^ вых^ |
= Т р , а сам контур является дифференци |
|||||||
|
|
и ш ( Р ) |
|
|
|
|
|
рующим звеном.
Пример 6. Тахогенератор постоянного тока (рис. 1.12). Входным сигналом тахогенера-
тора будем считать угол вращения а; выходным - напряжение UBых, кото рое определяется по формуле
^вых=сФ.® = 7’^ , at
где с - конструктивная постоянная; Ф в - магнитный поток (независимо
го) возбуждения; ш = |
“ угловая |
Рис. 1.12. Тахогенератор
постоянного тока
скорость вращения якоря тахогенератора; Т = сФв - постоянная
времени тахогенератора.
В операторном виде можно записать
и вых(р) = Тра(р), откуда W(p) =-^ в ы х ( Р ) .= Тр, а (р)
то есть тахогенератор является дифференцирующим звеном.
Пример 7. Гидравлический цилиндр с позиционной нагрузкой (рис. 1.13).
Пренебрегая силой инерции, со-
”" ставляем уравнение движения выход
/ |
\ 1 |
ного звена (штока) |
|
|
|
|||
S-rK ^V \| |
|
|
|
|
|
|
||
| _ |
|
■Ар — ^ |
% вых+ спР^в |
|||||
|
или |
T X t |
|
|
|
|
||
(при/; >Рг) |
^ В Ы Х |
К |
*А |
р |
||||
|
ВЫХ + |
|
|
|||||
где спр - жесткость условной пружины |
||||||||
Рис. 1.13. Гидравлический ци- |
||||||||
эквивалентной позиционной нагрузки. |
||||||||
линдр с позиционной нагрузкой |
||||||||
|
|
Пружина работает на сжатие и растяже |
||||||
ние; Т = Ктр/сЩ) - постоянная времени гидроцилиндра; |
К = Fn/cTXp - |
коэффициент передачи гидроцилиндра.
Записав уравнение движения в операторной форме, получим
Ар(р) Тр +1
Как видно, гидроцилиндр, нагруженный позиционной нагруз кой, является инерционным звеном I порядка (апериодическим звеном) со всеми его свойствами.
Пример 8. Генератор постоянного тока с независимым возбуж дением (рис. 1.14.)
Входной сигнал генератора - напряжение на обмотке возбуждения (уп-равления) Uy\ выходной - напря жение, снимаемое с якорной обмотки
и Г.
Уравнение электрической цепи воз-буждения генератора запишется в виде формулы
d Уу
ГДе Ly И Ry ~ индуктивность и омическое сопротивление цепи возбуждения, Учитывая, что ток возбуждения / у
и выходное напряжение Ur связаны на линейном участке характе ристики генератора соотношением Uv = сг / у, получим
u’= 7;it+^ u- ил"
где сг- угловой коэффициент характеристики генератора.
В операторном виде уравнение цепи возбуждения генератора запишется
crU J p ) = {Lyp + Ry)Ur(p) |
_ U r ( р ) _ |
сг |
К |
откуда W(р) = |
Lyp + Ry |
Тр + 1 |
|
|
Uy(p) |
|
В данном случае генератор постоянного тока является инерци |
|||||||
онным звеном I порядка. |
|
|
|
|
||||
|
Пример 9. Гидравлический цилиндр с позиционной нагрузкой |
|||||||
и приведенной массой т пр (рис. 1.15). |
|
|
|
|
||||
|
Уравнение движения выходно |
|
|
|
|
|||
го звена (штока) запишется в виде |
1 Р\ |
Pi 1 |
т, |
с |
||||
формулы: |
|
|
1 / _ ___ \ | |
пр |
||||
|
|
|
|
|
\ |
Г |
|
|
|
|
|
|
— |
- |
|
||
m np X ВЫХ "*■ ^ т р X |
ВЫХ |
'-’п р а в ы х |
- |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
= *п-4р . |
|
|
|
|
|
Т 2Х шх + 2 ^ Т Х вш + Х вых=К-Ар, |
(при Р \ |
> р2) |
вых |
|
||||
|
|
|
|
|||||
|
m |
|
|
Рис. 1.15. Гидравлический цилиндр |
||||
где |
постоянная време- |
с позиционной нагрузкой и при |
||||||
Т = 41—— - |
||||||||
|
с„ |
|
|
веденной массой |
|
|||
|
пр |
|
|
|
|
|
|
|
ни; |
К |
- |
относительный коэффициент затухания (декре- |
|||||
§ = |
W „pCnp
мент затухания); К =— - коэффициент передачи гидроцилиндра.
пр
Записав уравнение движения в операторной форме, получается
Г У |
Хвых(р) + 2$ТрХвых(р) + Х вых(р) = К • Ар(р) , |
|
откуда |
Х выХ(Р )_ |
к |
1У ( р ) = - |
Т'р~ +2£,Тр + 1 |
|
|
Ар(р) |
Таким образом, с учетом позиционной, скоростной и инер ционной нагрузки гидроцилиндр является инерционным звеном II порядка (колебательным звеном). Скоростной нагрузкой в данном
случае считается трение (Кw X вых).
Пример 10. Датчик давления (рис. 1.16).
Входным сигналом является давление Р;
^выходным - перемещение штока (прогиб мем браны) Хвых.
Уравнение движения подвижных частей датчика запишется формулой:
•••
т пр ^ВЫХ * т р X вых + СПр^ВЫ Х “ И Л И
Т 2 X вых + 2^Т X ВЪ]Х+ X ВЬ1Х= Кр,
где т = |
К |
Iпгпр- - постоянная времени; ^ = |
|
Рис. 1.16. Датчик |
m c „ n |
пр пр
давления
- относительный коэффициент затухания;
5
К =— - коэффициент передачи датчика; S - эффективная пло-
Спр
щадь мембраны; т пр - приведенная масса подвижных частей дат чика; спр - приведенная жесткость упругих частей датчика (пру жина, мембрана); Kw - приведенный коэффициент вязкого трения.
Операторное уравнение и передаточная функция датчика име ют следующий вид:
Т 2Р2Х вых (Р) + 2ф р Х шх (р ) + Хвых (р) = Кр(р) ;
_ Х щЛ р ) _ |
X |
W(p) = |
Т 2р 2 + 2^Тр +1 |
р(р) |
Как видно, в данном случае датчик является инерционным зве ном II порядка (колебательным звеном).
Вводя соответствующие допущения, например, вначале прене бречь инерционной составляющей т пп = 0, а затем и трением Ктп = О, можно представить датчик соответственно апериодическим и усилительным звеньями.
Пример 11. Двигатель постоянного тока с независимым воз буждением (рис. 1.17).
Входной сигнал - напряжение на якорной обмотке и я; выход ной - скорость вращения вала (якоря) двигателя со„.
Основное уравнение и передаточная функция двигателя опре деляются из системы уравнений: электрической цепи якоря двига теля ((/я) и моментов нагрузки (Мдв):
- электрическая цепь якоря нагрузки
U, =Lk— + RtI ,+ E t ,
я |
* ( \ t |
Я Я |
я ’ |
двигателя; Яя и Ья - омическое сопротивление и индуктивность якорной цепи; Ея = сесод - э.д.с. якоря двигателя; се - конструк тивный коэффициент (при по стоянном возбуждении);
- моменты нагрузки Мдв = Мсопр, Мдв = см/„, где Мдв и М сот) - момент двигателя и момент сопротивления
нагрузки; См - конструктивный коэффициент по моменту, а
= =м + м пнн.
согш ст дин
Для примера можно считать, что двигатель нагружен только ди намическим моментом
М„„„ = / |
dco„ |
д |
|
|
dt |
где /с - приведенный к валу двигателя момент инерции всех вра щающихся звеньев.
После подстановки и решения системы можно записать:
|
L I |
d2co„ |
R I |
dco„ |
_ |
я с________Д_ |
а |
п- +£?(0П,е д ’ |
|
|
|
d r |
|
dr |
U |
|
d‘ co„ |
|
dor |
— |
= Т Т ----- + Т — |
2 - и » л , |
||
с |
3 |
д d r |
“ |
dr |
где Тэ = —— электромагнитная постоянная времени двигателя;
R„
т =■R I - электромеханическая постоянная времени двигателя.
Операторное уравнение и передаточная функция двигателя имеют следующий вид:
и А р ) =т3тлр2сод(р)+ тяр®Ар)+ид(р ) ;
1
Щ р ) =
U,(p) т}тдр2+тар+\
гд е ------коэффициент передачи двигателя (К).
Се
В данном случае двигатель является инерционным звеном II по рядка. В двигателях особенно малой и средней мощности (< 5кВт) электромагнитные переходные процессы обычно затухают значи
тельно быстрее механических, то есть Т3 « |
Гд . Поэтому в практике |
|||
часто |
пренебрегают величиной Гэ(Гэ = 0 ), |
а передаточную функ |
||
цию двигателя принимают как для инерционного звена I порядка: |
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
TRP + 1 |
|
Пример 12. Форсирующее звено I порядка (рис. 1.18). |
||||
|
|
|
Уравнение и передаточная функ- |
|
|
Q |
|
ция идеального форсирующего звена |
|
|
----- II--- |
|
I порядка (см. табл. 1.2) имеет вид |
|
|
|
|
|
|
0----- — EZH —I----- 0 |
* ВЫХ= К ( Г * ВХ + * ВХ); |
|||
U, |
Я, |
j j T } . |
W{p) = K{Tp + \). |
|
|
||||
|
|
|
Однако получить эти зависимо |
|
Рис. 1.18. Форсирующее звено |
сти техническими средствами весь |
|||
|
первого порядка |
ма затруднительно. На практике по |
||
|
|
|
лучают реальное форсирующее зве |
но I порядка электрическим контуром (рис. 1.18), который описыва ется уравнением
|
^ и вых + ишх=к(ивх+ т и вх), |
где Т = cR{ - |
постоянная времени форсирующей части звена; |
7^ = КТ - |
постоянная времени апериодической части звена; |
Л |
коэффициент передачи звена. |
К = ------------ |
|
R \ + R 2 |
|
Операторное уравнение и передаточная функция при этом име ют следующий вид:
(TlP + 1)ивых(р) = К( 1 + Тр)ивх(р)-
]V(p)- U*», ( Р ) _ К(1 +Тр)
UBX(p) |
TlP + 1 ' |
Подбором сопротивлений можно выполнить условие Тх« Т и
Ту U ВЬ|Х« Uя, добиваясь приблизительного равенства:
Х вых= К ( Т Х вх + Х вх),
где W(p) = K(Tp + l).
Пример 13. Форсирующее звено II порядка (рис. 1.19). Для идеального звена (табл. 1.2):
Х шх = К(Т2Х вх + 2 { Т Х вх + Х вх)-
W(p) = К(Т2 р 2 +2<^Тр + 1).
Реальное форсирующее звено П порядка получают электрическим контуром с уравнением
Ту2и вых + 2Ту^ивых +и шх =
=K(UBX+ 2-n,UBX + T2U BX)
ипередаточной функцией
Рис. 1.19. Форсирующее звено второго порядка
) ^вых(Р) |
К(Т2р |
2 + 2фр + \) |
UBX(P) |
Т 2р 2 |
+2$уТуР + 1 ' |
Форсирующие звенья часто используют для фазовой коррек ции систем, подбирая условие Т{« Т .
Пример 14. Стабилизированное самоходное орудие (рис. 1.20). Если рассматривать стабилизированное самоходное артилле рийское орудие, то сложный закон его движения в пространстве
Рис. 1.20. Стабилизированное самоходное орудие
будет описываться двумя дифференциальными уравнениями: урав нением движения орудия относительно оси цапф в плоскости вер тикального наведения и уравнением движения орудия (вместе с башней) в плоскости горизонтального наведения.
Вывод уравнений и методы исследований движения САО в рассматриваемых плоскостях принципиально одинаковы и анало гичны. В связи с этим можно ограничиться лишь рассмотрением движения орудия в плоскости вертикального наведения. При раци ональной компоновке агрегатов САО иногда удается полностью уравновесить орудие, тогда ось цапф и центр тяжести качающейся части совпадают.
Уравнение движения орудия в этом случае можно записать в виде
|
/ОФ+/оФ = /о 0 - ^ е ,. . |
0.19) |
где /0 - |
приведенный к оси цапф момент инерции |
качающейся |
|
части орудия; |
|
/ 0 - |
приведенный коэффициент трения; |
|
ср и 0 - углы поворота качающейся части орудия и корпуса (баш ни) САО в вертикальной плоскости;
М- стабилизирующий момент со стороны привода верти
кального наведения, стремящийся удерживать (привести) орудие к заданному углу возвышения ф .
•
Следует отметить, что параметр / 0 0 является моментом
внешних возмущений ( М в = / 0 0), который формируется за счет
трения в осях цапф орудия и колебаний корпуса САО. Обозначив правую часть уравнения (1.19)
M a = Jf aQ-M„ = м - м „
U U ст в ст
и переходя к операторной форме записи, получается
Л>Р2ф(Р) + / 0РФ(Р) = м о(р).
или |
Т’оР2ф(Р) + РФ(Р) = к ом о(Р)’ |
(1-20) |
где Т0 =— - постоянная времени орудия;
/о
К0 = —— статический передаточный коэффициент орудия.
/о