Математическое моделирование в естественных науках

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГОРЕНИЯ АЛЮМИНИЕВОВОЗДУШНОЙ СМЕСИ ПРИ НИЗКИХ КОЭФФИЦИЕНТАХ ИЗБЫТКА ВОЗДУХА

А.Ю. Крюков1, В.И. Малинин2

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, 1alexkryukov@list.ru, 2malininvi@mail.ru)

Представлена математическая модель горения полифракционной аэровзвеси порошка алюминия, предназначенная для описания процессов воспламенения и сгорания смесей металла и воздуха в прямоточных камерах технологических и энергетических установок. Модель включает описание взаимодействия алюминия и воздуха с образованием оксида металла и предназначена для численных исследований и анализа процессов горения аэровзвесей алюминия.

Ключевые слова: математическое моделирование, горение, течение, аэровзвесь, алюминий, реакция окисления, кинетика, неравновесная термодинамика, ультрадисперсная фракция.

Построение адекватных математических моделей воспламенения и сгорания аэровзвесей металлических порошков является актуальным направлением современной теории горения, имеющим большое прикладное значение для управления внутрикамерными процессами в технологических установках получения ультрадисперсных материалов и в энергоустановках на порошковом металлическом горючем [1].

В настоящей работе выполнено моделирование горения алюминиевовоздушной смеси при низких коэффициентах избытка воздуха по модели, представленной в работе [2]. Целью исследований является изучение границ адекватности модели в зависимости от коэффициента избытка воздуха α и влияния реакции азотирования на параметры реагирующей смеси.

Рассматривается течение реагирующей смеси частиц и газа. Поток характеризуется следующими переменными параметрами: скоростью, температурой, плотностью частиц и газа, давлением, концентрацией кислорода, продуктов испарения и химических

231

реакций, количеством крупно- и ультрадисперсной конденсированной фазы. Крупнодисперсная фаза состоит из алюминия и оксида, накопившегося на поверхности частиц в процессе горения. Ультрадисперсная фаза – из оксида, образующегося в объеме потока в результате газофазных реакций. Продукты испарения – из газообразного алюминия и субоксидов Al2O и AlO. Учитывается скоростная, температурная и химическая неравновесность между крупнодисперсной фазой и газом.

Задача решается при следующих основных допущениях:

1.Рассматривается одномерный, квазистационарный процесс.

2.Потери тепла в стенку как путем теплообмена, так и радиационным путем не учитываются.

3.Диффузионный перенос массы, кондуктивный и радиационный перенос тепловой энергии между разными поперечными сечениями потока аэровзвеси не учитывается.

4.Не учитывается механическое взаимодействие частиц друг с другом.

5.Предполагается, что частицы оксида алюминия, образующиеся в объеме газового потока в результате газофазных реакций, малы и поэтому находятся в тепловом и скоростном равновесии с газовым потоком.

6.Вязкость учитывается только при взаимодействии между газом и частицами алюминия.

На поверхности частиц алюминия протекают процессы [2]: испарение (конденсация) алюминия на свободной от оксида поверхности (далее по тексту – свободной поверхности); реакция окисления алюминия на свободной поверхности; испарение (конденсация) на внешней поверхности оксида, покрывающего частицу (далее по тексту – окисленной поверхности); реакция окисления паров алюминия (разложения оксида) на окисленной поверхности.

Вобъеме потока на поверхности частиц ультрадисперсного оксида протекают процессы: реакция окисления паров алюминия (разложения) оксида; испарение(конденсация) оксида.

232

В соответствии с указанными процессами, принятым подходом, допущениями и законами сохранения массы, энергии и импульса составлена система уравнений и начальных условий, описывающая воспламенение и горение потока аэровзвеси частиц полифракционного алюминия [2]. Система состоит из дифференциальных уравнений баланса масс алюминия, продукта реакции − оксида, числа частиц, энтальпии и импульса, записанных для каждой фракции частиц. Для газового потока записаны уравнения баланса масс газа, газовых компонент, ультрадисперсного оксида, баланса энергии и импульса. Система дополнена уравнениями состоянияидеальногогазадлякаждойкомпонентыизакономДальтона.

Характеристики процессов горения и параметры смеси алюминия и воздуха, полученные в результате данного моделирования, были сопоставлены с результатами термодинамических расчетов. Основныерезультатымоделирования следующие:

1. Получены зависимости отношений кинетических параметров (т.е. параметров, рассчитанных по математической модели [2] с учетом кинетики процессов) к термодинамическим при низком значении коэффициента избытка воздуха α от времени (α = 0,1). Рассчитываемые параметры: газовая постоянная смеси, температура газовой смеси, доля конденсированной фазы, показатель адиабаты смеси.

С течением времени указанные отношения для процесса, термодинамические параметры которого рассчитаны без учета реакции азотирования, сходятся к 1. Однако если в термодинамических расчетах учесть реакцию азотирования, то данная сходимость нарушается и рассчитанные по модели параметры смеси будут существенно отличаться от термодинамических. Таким образом, для получения адекватных результатов моделирования при низких значениях α необходимо принимать в расчет реакцию азотирования, расширить математическую модель [2] путем добавления соответствующих объектов, описывающих взаимодействия алюминия с азотом [3].

2. Получены результаты моделирования процесса горения алюминия с более высоким значением α = 0,5, при котором учет

233

реакции азотирования теряет актуальность. С течением времени отношения кинетических и термодинамических параметров сходятсяк1, чтоподтверждает адекватностьматематическоймодели [2].

3. Получена зависимость полноты сгорания η частиц отдельных фракций и суммарной полноты сгорания металла от времени. Также получены значения относительного времени нахождения фракций в потоке как функции абсолютного времени τg движения газа. С течением времени указанные параметры стремятся к 1, причем тем медленнее, чем больше начальный размер частиц металла. Равновесные значения характеристик процесса для средних и крупных фракций исходных частиц не устанавливаются даже при длительном нахождении в потоке, иучет кинетики физико-химических превращений в металовоздушной смеси является необходимым условиемпостроенияадекватныхмоделейеегоренияитечения.

4. Получены отношения давлений алюминия и субоксида Al2O в потоке, давлений у поверхности частиц и равновесных давлений у поверхности частиц к термодинамическим значениям как функции времени движения газовой фазы τg. Сходимость данных параметров к термодинамическим наступает лишь при времени τg = 100 мс, что соответствует длине камеры сгорания 5 м. Имеет место существенная неравновесность рабочих процессов в камере, которую необходимо учитывать при проектировании двигательных и технологических установок, использующих процессы горения металлов в воздухе.

5. Представлены зависимости отношения мгновенного равновесного давления газообразного алюминия и субоксида Al2O у поверхности частиц к термодинамическому значению от времени движения газовой фазы τg. Также получены зависимости отношения мгновенного давления газообразного субоксида Al2O у поверхности частиц к термодинамическому значению от времени движения газовой фазы τg. Результаты расчетов позволяют сделать вывод, что на поверхности (вблизи поверхности) частиц локальное равновесие не существует, что подтверждает гипотезы, выдвинутые при построении модели [2].

234

Список литературы

1.Малинин В.И. Внутрикамерные процессы в установках на порошкообразных металлических горючих. – Екатеринбург; Пермь: Изд-во УрО РАН, 2006. – 262 с.

2.Малинин В.И., Коломин Е.И., Антипин И.С. Модель горения высокоскоростного потока аэровзвеси частиц алюминия, учитывающая кинетику процессов и особенности накопления окисла // Химическая физика. – 1998. – Т. 17, № 10. – С. 80–92.

3.Крюков А.Ю., Малинин В.И. Математическая модель горения полифракционной аэровзвеси алюминия с учетом реакции азотирования // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Аэрокосмическая техника. – 2014. – № 36 (1). – С. 95–118.

ИССЛЕДОВАНИЕ РАВНОВЕСНЫХ СВОЙСТВ КОНЦЕНТРИРОВАННЫХ ДИПОЛЬНЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ДИНАМИКИ

А.А. Кузнецов, А.Ф. Пшеничников

(Институт механики сплошных сред УрО РАН,

Пермь, Россия, akuzyay@gmail.com)

Метод молекулярной динамики используется для изучения равновесных свойств ансамбля дипольных сфер в широком диапазоне концентраций частиц и энергий диполь-дипольного взаимодействия. Особое внимание уделено расчету коэффициента градиентной диффузии и начальной магнитной восприимчивости системы. Также исследован процесс спонтанного упорядочения моментов частиц и влияние различных типов граничных условий на характер такого упорядочения.

Ключевые слова: магнитная жидкость, молекулярная динамика, диполь-дипольное взаимодействие, градиентная диффузия, ориентационное упорядочение диполей.

Магнитная жидкость (МЖ) представляет собой коллоидный раствор однодоменных магнитных наночастиц в немагнит-

235

ной жидкости-носителе [1]. Известно, что диполь-дипольное взаимодействие между коллоидными частицами оказывает существенное влияние на свойства МЖ. Например, на сегодняшний день удалось синтезировать высококонцентрированные ферроколлоиды, начальная магнитная восприимчивость которых достигает χ ~ 100 при температуре около 250 К, однако простейшая теоретическая модель, не учитывающая межчастичные взаимодействия, предсказывает при прочих равных условиях значение χ ~ 40 [2]. Взаимодействия играют существенную роль в процессах массопереноса в МЖ, понижая эффективный коэффициент градиентной диффузии частиц [3]. Также дипольдипольное взаимодействие ведет к формированию цепочечных агрегатов, присутствие которых заметно влияет на гидродинамические, реологические и магнитооптические характеристики МЖ [4]. До сих пор остаются дискуссионными вопросы о том, способны ли диполь-дипольные взаимодействия привести к фазовому расслоению системы или к возникновению в ней спонтанного ориентационного упорядочения.

Одной из простейших моделей, позволяющих изучать влияние межчастичных взаимодействий на свойства МЖ, является модель твердых дипольных сфер, в рамках которой система рассматривается как газ однородно намагниченных непроницаемых сферических частиц. Все частицы обладают одинаковым по величине магнитным моментом µ и диаметром d, т.е. система монодисперсна. Полная энергия взаимодействия между двумя частицами i и j складывается из энергии дипольдипольного взаимодействия

uijdd = (μ0 / 4π) (μi μj ) / rij3 − 3(μi rij )(μj rij ) / rij5

и энергии стерического отталкивания

236

Предполагается, что вандерваальсовым притяжением можно пренебречь за счет того, что частицы покрыты защитным адсорбционным слоем. Традиционно для характеристики интенсивности магнитодипольного взаимодействия в системе используется безразмерный параметр λ = (μ0/4π) μ2/d3kbT. Для большинства реальных МЖ в рабочем диапазоне температур λ ≤ 3. Учет межчастичных взаимодействий при построении аналитических моделей полярных жидкостей с λ > 1 представляет собой трудоемкую задачу, поэтому одним из основных методов изучения МЖ остается численное моделирование методами МонтеКарло и молекулярной динамики. В данной работе для проведения расчетов был выбран именно метод молекулярной динамики, так как он довольно просто и эффективно может быть распараллелен с помощью графических процессоров. Для того чтобы исследовать свойства системы при постоянной температуре, была использована техника ланжевеновского термостата, в рамках которой уравнения движения частиц имеют вид [5]

mvi = −∂Ui / ∂ri − γT vi + ζTi ,

Jωi = −μi × ∂Ui / ∂μi − γRωi + ζiR ,

где U – полная потенциальная энергия частицы; v(ω) – линейная (угловая) скорость частицы; m(J) – ее масса (момент инерции); γT(γR) – коэффициент поступательного (вращательного) трения; ζT(ζR) – гауссовская случайная сила (случайный момент), компоненты которой связаны с коэффициентом трения через стандартные флуктуационно-диссипационные соотношения.

В первую очередь в рамках данной работы была исследована седиментация твердых дипольных сфер в гравитационном поле. Моделируемая система представляла собой цилиндр с жесткими стенками, наполненный большим (до десяти тысяч) числом частиц. Средняя объемная доля частиц в цилиндре составляла 15 %, гравитационное поле было направлено вдоль оси ци-

237

линдра. Путем интегрирования уравнений движения было получено равновесное распределение частиц в цилиндре для различных значений параметра λ. Используя равновесные профили концентрации, мы восстановили значения приведенного коэффициента градиентной диффузии частиц. Удалось подобрать аппроксимационную формулу, достаточно точно описывающую расчетные значения коэффициента диффузии при λ ≤ 4 и локальной объемной доле частиц φ ≤ 40 %:

,

где D0 = b0kBT – эйнштейновский коэффициент диффузии броуновской частицы; K (φ) = b (φ) / b0, b (φ) и b0 – подвижности частиц в магнитной жидкости и в жидкости-носителе соответственно. Интегрированием приведенной формулы можно также получить выражения для давления и свободной энергии твердых дипольных сфер, которые хорошо согласуются с известными численными данными других авторов. При 4 < λ ≤ 8 поведение системы становится весьма сложным. Хотя нам и не удалось наблюдать в этой области расслоения системы с образованием выраженной межфазной границы, стратификация частиц была тем не менее высока. При этом вблизи верхней границы цилиндра (при φ < 0,1) происходит активное формирование цепочечных агрегатов, а вблизи дна (при φ ≥ 0,4) можно наблюдать устойчивое азимутальное упорядочение моментов частиц. Последнее явление было исследовано более детально. Было смоделировано поведение высококонцентрированных систем дипольных сфер в отсутствии внешних магнитных и гравитационных полей. Рассматривались случаи цилиндрического и сферического сосуда. Было обнаружено, что во всех случаях по мере увеличения λ происходит переход от состояния с хаотической ориентацией диполей к состоянию с устойчивым замкнутым циркуляционным упорядочением. Было также обнаружено, что критические параметры

238

такого перехода близки к известным параметрам перехода парамагнетик – ферромагнетик, который наблюдается в системе дипольных сфер при наложении на нее периодических граничных условий и сопровождается появлением спонтанной намагниченности [6]. При использовании периодических граничных условий, как правило, применяют вариант техники суммирования по Эвальду, при котором размагничивающие поля в системе отсутствуют. В моделируемой нами системе с жесткими стенками размагничивающие поля неизбежно возникают, что и объясняет изменение характера упорядочения.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты №13-02-00076; 14-01-96007) и УрО РАН (проект №15-10-1-16). Расчеты проводились на суперкомпьютере «Уран» ИММ УрОРАН.

Список литературы

1.Shliomis M.I. Magnetic fluids // Sov. Phys. Uspekhi. – 1974. – Vol. 17, № 2. – P. 153.

2.Ivanov A.O., Elfimova E.A. Low-temperature magnetic susceptibility of concentrated ferrofluids: The influence of polydispersity // J. Magn. Magn. Mater. – 2015. – Vol. 374. – P. 327–332.

3.Pshenichnikov A.F., Elfimova E.A., Ivanov A.O. Magnetophoresis, sedimentation, and diffusion of particles in concentrated magnetic fluids // J. Chem. Phys. – 2011. – Vol. 134, № 18. – P. 184508.

4.Ivanov A.O., Kantorovich S.S. Chain aggregate structure and magnetic birefringence in polydisperse ferrofluids // Phys. Rev. E. – 2004. – Vol. 70, № 2. – P. 021401.

5.Wang Z., Holm C., Müller H.W. A molecular dynamics study on the equilibrium magnetization properties and structure of ferrofluids // Phys. Rev. E. – 2002. – Vol. 66, № 2. – P. 021405.

6.Weis J.J. The ferroelectric transition of dipolar hard spheres // J. Chem. Phys. – 2005. – Vol. 123, № 4. – P. 044503.

239

ГИСТЕРЕЗИС ЗВУКОВОЙ ЛИНИИ В МОДЕЛИ ЛИНЯ–РЕЙССНЕРА–ТЗЯНЯ

К.В. Курмаева1, С.С. Титов2

(Уральский государственный университет путей сообщения,

Екатеринбург, Россия, 1kurmaevakv@yandex.ru, 2stitov@usaaa.ru)

Аналитически изучено решение уравнения Линя–Рейсснера– Тзяня с точки зрения наличия гистерезиса в нестационарных трансзвуковых течениях газа. Анализ гистерезиса проведен на основе исследования свойств звуковой линии перехода. Наличие гистерезиса в течении подтверждается на основе того, что при возврате условий обтекания в начальное состояние не наблюдается возврат линии перехода через скорость звука в первоначальное положение.

Ключевые слова: гистерезис, газовая динамика, околозвуковые течения, звуковая линия, ряды.

Анализ работ в области газовой динамики и аэрофизики показал, что изучение гистерезиса является актуальным вопросом современных научных исследований [1–7]. В перечисленных работах в качестве инструментария исследования гистерезиса применяются либо натурные эксперименты, либо численное или аналитическое моделирование.

В настоящей работе аналитически проанализировано наличие гистерезиса в плоском случае модели Линя–Рейсснера– Тзяня [8]

uyy = uxuxx + 2uxt ,

где u = u (x, y,t ) – потенциал скорости нестационарного около-

звукового течения газа.

Применение логарифмических рядов позволило построить решение уравнения в стационарном [9] и нестационарном [10] случаях. В двумерном случае для этого уравнения построен класс решений с помощью метода специальных рядов по степеням базисных функций [11].

240