Математическое моделирование в естественных науках

Для частот собственных колебаний получаем спектраль- но-амплитудную задачу, которая имеет комплексные решения, что приводит к затуханию свободных колебаний, которое вызвано диссипацией на линии контакта. Полученные уравнения решались численно с помощью метода двумерных секущих. Для примера зависимости частот и коэффициентов затухания первых осесимметричных мод Ω1, Ω2, Ω3 собственных колебаний от параметра Хокинга λ показаны на рис. 1 (b – геометрический параметр, равный отношению высоты пузырька к его равновесному радиусу, R – безразмерный радиус сосуда).

Рис. 1. Зависимость частоты Re(Ω) (а)

и коэффициента затухания Re(Ω) (б) от λ (b = 1, R = 5)

Частотамонотонноуменьшаетсясувеличениемλ (см. рис. 1, а). Наибольшее значение частоты имеет пузырек с закрепленной линией контакта (λ = 0), наименьшее – с фиксированным краевым углом (λ → ∞). Максимальное затухание достигается при конечных значениях параметра λ (см. рис. 1, б), а в предельных случаях λ → 0 и λ → ∞: Im(Ω) → 0 (см. рис. 1, б).

Зависимость амплитуды колебаний поверхности на подложке As, амплитуды Aq в плоскости z = 0,25 и краевого угла γ от частоты ω вынуждающей силы приведены на рис. 2 для четырех различных значений параметра смачивания при b = 1. Кривые имеют

191

резонансный вид, причем в предельных случаях λ → 0 и λ → ∞ амплитуда колебаний на резонансной частоте бесконечна (рис. 7). Явление линейного резонанса возникает при совпадении частоты вибраций с частотой собственных колебаний. При конечных значениях параметра смачивания λ за счет диссипации при движении контактной линии амплитуда колебаний остается ограниченной. Как уже было показано выше, с увеличением λ частоты собственных колебаний уменьшается (см. рис. 1). Это соответствует сдвигу резонансных пиков в сторону уменьшения значения частоты собственных колебанийпри увеличении значения λ.

Рис. 2. Зависимости амплитуды As колебаний капли на твердой поверхности (а), амплитуды Aq в плоскости z = 0,25 (б, в)

и краевого угла γ (г) от частоты внешнего воздействия ω (b = 1, R = 5)

192

Работа выполнена при финансовой поддержке проекта Российского фонда фундаментальных исследований № 14-07- 96017-р-урал-а.

Список литературы

1.де Жен П.Ж. Смачивание: статика и динамика // УФН. – 1987. – Т. 151, вып. 4. – С. 619–681.

2.Воинов О. В. Гидродинамика смачивания // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. – 1976. – № 5. – С. 76–84.

3.Hocking L.M. The damping of capillary-gravity waves at a rigid boundary // J. Fluid Mech. – 1987. – Vol. 179. – P. 253–266.

4.Borkar A., Tsamopoulus J. Boundary-layer analysis of dynamics of axisymmetric capillary bridges // Physics of Fluids A. – 1991. – Vol. 3, № 12. – P. 2866–2874.

5.Shklyaev S., Straube A.V. Linear oscillations of a hemispherical bubble on a solid substrate // Physics of Fluids. – 2008. – Vol. 20. – 052102.

6.Любимов Д. В., Любимова Т. П., Шкляев С. В. Неосесимметричные колебания полусферической капли // Известия РАН. Механика жидкости и газа. – 2004. – № 6. – С. 8–20.

7.Lyubimov D. V., Lyubimova T P., Shklyaev S. V. Behavior of a drop on an oscillating solid plate // Physics of Fluids. – 2006. – Vol. 18. – 012101.

8.Алабужев А.А., Любимов Д.В. Влияние динамики контактной линии на собственные колебания цилиндрической кап-

ли // Прикладная механика и техническая физика. – 2007. –

Т. 48, № 5. – С. 78–86.

9.Алабужев А. А., Любимов Д. В. Влияние динамики контактной линии на колебания сжатой капли // Прикладная механика и техническая физика. – 2012. – Т. 53, № 1. – С. 1–12.

10.Кашина М.А., Алабужев А.А. Вынужденные колебания цилиндрической капли в переменном неоднородном электрическом поле // XIХ Зимняя школа по механике сплошных сред: сб. статей / отв. ред. Н.А. Юрлова. – 2015. – С. 105–110.

193

11.Алабужев А.А. Поведение цилиндрического пузырька под действием вибраций // Вычислительная механика сплошных сред. – 2014. – Т. 7, № 2. – С. 151–161.

12.Алабужев А. А., Кайсина М. И. Трансляционная мода собственных колебаний цилиндрического пузырька // Вестник Перм. ун-та. Сер.: Физика. – 2015. – Вып. 1 (29). – С. 35–41.

13.Кайсина М.И. Азимутальные моды собственных колебаний цилиндрического пузырька // Вестник Перм. ун-та. Сер.: Математика. Механика. Информатика. – 2015. – № 2 (29). – С. 37–45.

14.Кайсина М.И. Динамика цилиндрического пузырька

впеременном поле давления // Математическое моделирование

вестественных науках. – 2014. – Т. 1. – С. 107–110.

МОДЕЛИРОВАНИЕ МОТОРНОЙ И СЕКРЕТОРНОЙ ФУНКЦИЙ АНТРОДУОДЕНАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ ПИЩЕВАРИТЕЛЬНОГО ТРАКТА

М.Р. Камалтдинов1, П.В. Трусов1,2

(1Федеральный научный центр медико-профилактических технологий управления рисками здоровью населения, Пермь, Россия, kmr@fcrisk.ru, 2Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, Россия)

В рамках многоуровневой модели накопления функциональных нарушений в человеческом организме разрабатывается подмодель «мезоуровня» пищеварительной системы. В статье детально описываются основные подходы, использованные при построении подмодели желудка. Приводятся некоторые результаты расчета течения однофазной многокомпонентной смеси в антродуоденальной области желудочно-кишечного тракта с учетом распространения перистальтических волн, секреции солянойкислоты ибикарбонатанатрия, реакциинейтрализации.

Ключевые слова: пищеварительная система, функциональные нарушения, перистальтические волны, течение в желудке.

Коллективом авторов разрабатывается многоуровневая модель накопления нарушений функций органов и систем организ-

194

ма человека [1]. На «макроуровне» модели описываются механизмы формирования нарушений органов и систем человеческого организма, в том числе под воздействием факторов различной природы – физических, химических, социальных, биологических и т.д. В данной статье описывается фрагмент одной из моделей «мезоуровня» – пищеварительной системы, которая получила активное развитие ввиду необходимости учета перорального пути поступления химических веществ в организм человека. Структура подмодели всей системы пищеварения на «мезоуровне» включает в себя подмодели органов – ротовой полости, желудка, кишечника, а также связи между подмоделями и «макроуровнем». Выполнена концептуальная постановка задачи, учитывающая основные функции системы пищеварения – секреторную, моторную и всасывательную, а также управление процессами через нервную и эндокринную системы [2].

Подмодель желудка, по сути, является ядром модели «мезоуровня» пищеварительной системы, кроме того, с точки зрения механики процессов представляет интерес для исследователей даже в отдельности от других подмоделей. В существующих моделях течения в желудочно-кишечном тракте [3–5], как правило, не учитываются процесс эвакуации в кишечник, моторика пилорического сфинктера, секреторная функция тракта, нарушения функций органов, рассматривается течение однофазной ньютоновской жидкости. Будем рассматривать движение однофазной многокомпонентной среды в канале сложной формы, компоненты – соляная кислота, бикарбонат натрия, вода, продукт реакции. Согласно закону действующих масс скорость реакции пропорциональна концентрациям реагирующих веществ. В силу малых концентраций взаимодействующих веществ тепловой эффект реакции не учитывается. Диффузия компонент обусловлена только градиентом концентрации (без учета градиента температур). Для получения трехмерной формы антродуоденальной области желудочно-кишечного тракта разработан алгоритм реконструкции по результатам двумерных снимков

195

ультразвукового исследования. Секреция моделируется заданием источников масс на границах области (выделены затемнением на рисунке) в соответствии с таблицей (при отсутствии функциональных нарушений). Скорость секреции линейно связана с секреторной функциональностью, при полном невыполнении функции массовый источник равен 0.

Рис. Форма антродуоденальной области желудочно-кишечного тракта с зонами секреции

Источники массы на границах

Для определения смещения узлов расчетной сетки при распространении перистальтической волны в антральном отделе желудка и моторной активности пилорического отверстия разработан алгоритм, который базируется на использовании синусоидальной функции. Параметры моторики заданы на основе известных литературных данных и результатов ультразвукового исследования: периодичность 18 с, ширина волны 0,02 м, амплитуда 0,009 м, волна инициируется в теле желудка и распро-

196

страняется к пилорическому отверстию со скоростью 0,0022 м/с в течение 38 с. Параметры волн в двенадцатиперстной кишке: периодичность 9 с, ширина волны 0,04 м, амплитуда 0,0035 м, волна инициируется вблизи пилорического отверстия и распространяется со скоростью 0,005 м/с в течение 36 с. Открытие и закрытие пилорического отверстия осуществляются в течение 2 с каждые 18 с. Таким образом, при заданных параметрах моторика антрального отдела, пилорического отверстия и двенадцатиперстной кишки синхронизирована, геометрия расчетной области меняется периодически. Функциональные нарушения в моторике учитываются при задании параметра амплитуды волны антрального сокращения. Динамическое перепостроение расчетной сетки осуществляется с помощью инструментов Dynamic Mesh в решателе Fluent с использованием скрипта (UserDefined Function), написанного на языке C. На правой и левой границах расчетной области задано условие выходящего потока – нулевое относительное давление. На всех остальных границах расчетной области задаются условие непроницания и отсутствие трения, кинематические граничные условия.

Перистальтическое движение способствует перемещению кислоты с потоками жидкости к пилорическому отверстию и перемешиванию в полости желудка. Перистальтика кишечника способствует перемешиванию содержимого кишечника, распространению бикарбоната натрия в полости двенадцатиперстной кишки. Результаты показывают, что области с содержанием кислоты ищелочи не пересекаются, так как при заданных условиях и временных масштабах реакция осуществляется практически мгновенно, в результате реакции остается один из реагентов, находящийся

визбытке. При заданных параметрах кислота обнаруживается

вкишечнике. Вероятно, следует учесть секрецию бикарбонатов

впилорическом отделе желудка, которые будет способствовать ее частичной нейтрализации. Одно из возможных применений подмодели заключается в выделении областей повышенной кислотности, в выявлении механизмов их формирования. Дальнейшее раз-

197

витие модели «мезоуровня» пищеварительной системы предполагает учет многофазности течения (частицы пищи/жидкость), иэлементов нейроэндокринной регуляции. Одной из приоритетных задач является учет процесса всасывания химических веществ в кровеносную систему, так как определение концентраций веществ в полости желудочно-кишечного тракта и крови необходимо для прогнозирования функциональных нарушений органов и систем человека на «макроуровне» при пероральном поступлении химическихвеществ спищей и питьевойводой.

Список литературы

1. Математическая модель эволюции функциональных нарушений в организме человека с учетом внешнесредовых факторов / П.В. Трусов, Н.В. Зайцева, Д.А. Кирьянов, М.Р. Камалтдинов, М.Ю. Цинкер, В.М. Чигвинцев, Д.В. Ланин // Математическая биология и биоинформатика [Электронный ре-

сурс]. – 2012. – № 2. – С. 589–610. – URL: http: //www.matbio.org/2012/Trusov_7_589.pdf (дата обращения: 05.12.2012).

2.Трусов П.В., Зайцева Н.В., Камалтдинов М.Р. Моделирование пищеварительных процессов с учетом функциональных нарушений в организме человека: концептуальная и математическая постановки, структура модели // Российский журнал биомеханики. – 2013. – № 4. – С. 67–83.

3.Dillard S., Krishnan S., Udaykumar H.S. Mechanics of flow and mixing at antroduodenal junction // World J Gastroenterol. – 2007. – Vol. 13. – P. 1365–1371.

4.Pal A., Brasseur J. G, Abrahamsson B. A stomach road or “Magenstrasse” for gastric emptying // Journal of Biomechanics. – 2007. – Vol. 40. – P. 1202–1210.

5.Singh S., Singh R.P. Gastric Digestion of Foods: Mathematical Modeling of Flow Field in a Human Stomach // Food Engineering Interfaces. – 2011. – P. 99–117.

198

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗВУКОПОГЛОЩАЮЩИХ КОНСТРУКЦИЙ. МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНВЕКТИВНОГО ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОГО МАГНИЯ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ

Т.О. Карасев1, А.С. Теймуразов2, П.Г. Фрик3

(1Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, amdtron111@gmail.com,

2,3 Институт механики сплошных сред УрО РАН,

Пермь, Россия, tas@icmm.ru)

Описана математическая модель конвективного течения жидкого магния в цилиндрической полости в двумерной осесимметричной и трехмерной постановках. Алгоритм численного решения системы, описывающей термогравитационную конвекцию несжимаемой жидкости в приближении Буссинеска, был реализован в платформе OpenFOAM Extend 3.1 с использованием сетки, построенной в программе Salome. Было рассмотрено несколько вариантов граничных условий и проведено их сравнение, проведены расчеты, позволяющие определить адекватность полученных данных.

Ключевые слова: конвекция, теплоперенос, математическая модель.

Данная работа выполнена в связи с исследованием процесса восстановления титана в металлотермическом реакторе. Контроль реакции в течение этого сложного многостадийного физико-хими- ческого процесса является одной из насущных проблем металлургического производства. Большая масса и размеры технологической установки, а также высокая рабочая температура делают прямые измерениявреакторевосстановлениятитаназатруднительными, что обусловливаетинтерескчисленномуисследованиюпроцесса.

Реторта для восстановления титана представляет собой цилиндрический сосуд, в котором находится слой жидкого магния при температуре 850°С. Считается, что конвективное движение вызвано градиентом температуры в верхней части реторты, возникающим в результате протекания экзотермической химической реакции на поверхности жидкости и при одновременном охлаждении боковой стенки реторты.

199

Предыдущие известные исследования конвекции в реакторе [1, 2] ограничивались осесимметричной постановкой задачи, что представляется слишком грубым допущением, принимая во внимание, что характерные числа Грасгофа при протекании этого процесса достигают величины 1012.

В данной работе математическая модель основана на уравнениях тепловой конвекции в приближении Буссинеска (1) для однофазной среды в трехмерной постановке [3]:

Безразмерными управляющими параметрами задачи яв-

Граничные условия для скорости (условия прилипания на всех границах):

U Г = 0.

Граничные условия теплообмена рассмотрены для двух случаев распределения потока тепла наверхней границе цилиндра:

тепловой поток распределён равномерно на всей верхней облас-

ти ΓTXT ;

тепловой поток распределен по параболическому закону (максимум находится на оси z, что соответствует геометрическому

200