Математическое моделирование в естественных науках

2012. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политех. ун-та, 2012. –

С. 32–34.

2. Воронин С.В., Юшин В.Д., Бунова Г.З., Лысевич Д.Ю. Программа-приложение автоматизированного построения условных диаграмм растяжения конечно-элементных моделей плоских образцов // Современные проблемы математики и механики: матер. III Всерос. молодеж. науч. конф., Томск, 23–25 апр. 2012. – Томск: Изд-во Томск. ун-та, 2012. – С. 262–265.

К ИССЛЕДОВАНИЮ УПРУГИХ ХАРАКТЕРИСТИК МОНОКРИСТАЛЛОВ

Ю.Ю. Гладкова

Научный руководитель – д-р физ.-мат. наук, проф. П.В.Трусов (Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, UlechkaKont@mail.com)

Рассматривается простая стержневая модель, ориентированная на качественное изучение упругих характеристик монокристаллов при произвольных нагружениях. Для большей ясности изложение модели проведено на примере монокристалла с простой кубической кристаллической решёткой, в каждой ячейке которой взаимодействия между атомами принимаются центральными. Для описания последних использована простая стержневая модель с линейными и нелинейными жесткостными характеристиками. Предлагается вариант обобщения модели на случай нецентральных взаимодействий. Для численной реализации модели предлагается использовать метод конечных элементов.

Ключевые слова: монокристалл, упругая деформация, статически неопределимая система, метод конечных элементов.

Теория упругости в течение многих десятилетий была и остается главным «рабочим инструментов» проектировщиков различных машин и конструкций в части прочностных расчетов, оценок устойчивости, деформационных характеристик сооружений. В последние годы в практике работы аэрокосмической

92

техники внедряются детали и конструкции из монокристаллических металлов и сплавов (например, лопатки газотурбинных двигателей), обладающих уникальными эксплуатационными характеристиками. Однако в отличие от поликристаллических материалов для расчетов подобных деталей требуется использование анизотропных законов упругости. При этом встает проблема не только расчета готовых изделий, но и выбора материала, а в идеальном варианте – проектирование вместе с конструкцией и материала, из которого она будет изготовлена. В связи с этим задача априорного определения упругих характеристик монокристаллических сплавов, для которых известны только фундаментальные характеристики на уровне взаимодействия атомов и молекул, становится весьма актуальной.

Целью данной работы является разработка простого варианта модели, позволяющей осуществлять качественное исследование упругих характеристик монокристаллических тел.

Монокристалл имеет непрерывную кристаллическую рёшетку, которая представляет собой сложное периодическое пространственное расположение материальных частиц: атомов, ионов или молекул [1]. Из этого следует, что для изучения упругих характеристик монокристалла можно рассмотреть одну периодически повторяющуюся структуру – ячейку кристаллической решётки.

Таким образом, на первом этапе представляется целесообразным создание математической модели, которая по известным входным данным (кристаллогеометрии исследуемой ячейки кристаллической решётки, законов взаимодействия микрочастиц (атомов, молекул) между собой) позволит определять компоненты тензора упругих характеристик.

В первом приближении упругое кристаллическое тело предлагается описывать дискретной стержневой моделью: атомы – математическими точками (узлами), межузловые связи – тонкими прямолинейными невесомыми упругими стержнями, упругие характеристики которых воспроизводят законы межатомных взаимодействий. Взаимодействия узлов считаются централь-

93

ными, а во внеузловых местах геометрического пересечения стержни не взаимодействуют. Описание узловых взаимодействий в первом варианте модели осуществляется с использованием простых структурных элементов – линейных и нелинейных пружин.

При построении модели вводятся кристаллографическая и лабораторная системы координат (далее – КСК и ЛСК соответственно). В отсчётной конфигурации КСК и ЛСК совпадают. Ячейка простой кубической решетки содержит 8 узлов, обозна-

чаемых как А1, А2, А3, А4, А5, А6, А7, А8. Начало координат введенных систем координат полагаются совпадающими с одним

из узлов, а координатные оси направлены в отсчетной конфигурации по трём рёбрам ячейки кристаллической решётки. Для устранения возможности движения ячейки как жёсткого целого вводятся следующие ограничения: узел А1 находится в начале координат и закреплён неподвижно, смежный с А1 узел А2 совершает одномерное движение вдоль координатной оси X1, уз-

лу А4 разрешено движение в плоскости X1OX2.

Для решения поставленной задачи в качестве континуального аналога стержневой модели используется анизотропный закон Гука ( σ = Π : ε), упругая энергии тела определяется соот-

ношением W = 12 ε: Π: ε.

Полагая нагружение чисто кинематическим, записаны связи между приращениями перемещений узлов и силами, действующими в стержнях, после чего записаны условия равновесия для отдельных узлов и стержневой системы в целом.

Полученная система является статически неопределимой, т.е. данная система не может быть рассчитана с помощью одних только уравнений статики. Иными словами, если в данной системе число неизвестных усилий в опорных стержнях (опорных реакциях) и число неизвестных усилий в элементах системы (продольных и поперечных сил, моментов) превышает число уравнений равновесия статики, то система статически неопределима [2].

94

Для решения данной системы применяется метод конечных элементов метод (МКЭ). МКЭ удобен при работе с дискретными моделями, достаточно хорошо описан в литературе. Приведены описание алгоритма реализации модели и предварительные результаты, полученные с ее помощью.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (№ 13-01-96006

р_урал_а, 14-01-00069-а).

Список литературы

1.Новиков И.И., Розин К.М. Кристаллография и дефекты кристаллической решётки. – М.: Металлургия, 1990. – 335 с.

2.Муханмедина К.Т. Анализ методов расчёта статики неопределимых систем // Молодой ученый. – Чита, 2015. – № 11. –

С. 397–400.

МЕТОД БЫСТРЫХ СУММ ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ТЕРМОУПРУГИХ СВОЙСТВ МОНОСЛОЯ ГРАФЕНА

Р.С. Городилов, В.И. Кочуров, И.Ю. Зубко

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, zoubko@list.ru)

Предложены точные выражения в виде конечных сумм для ускорения расчетов при оценке упругих свойств гиперупругих материалов с кристаллической микроструктурой в рамках подхода атомарной статики. Выражения получены в общем виде из определения упругих модулей через производные плотности упругой энергии при малых деформациях. Полученные суммы также применимы для исследования зависимости упругих модулей от температуры для кристаллов конечных размеров. Рассматривается несимметричная форма упругого закона при малых деформациях. Считается, что наличие ковалентной связи между атомами графена гарантирует сохранение структуры материала, и для определения упругих модулей атомам образца графена предпи-

95

сываются смещения, соответствующие однородному аффинору – кинематика деформирования контролируется жестко, реакция материала определяется с помощью варианта потенциала Ми.

Ключевые слова: графен, метод атомарной статики, термоупругость кристаллов, внутренние смещения, несимметричная упругость, кристаллы конечных размеров.

Монослои графена, как и другие кристаллические наночастицы, содержащие относительно малое число атомов, являются удобным объектом для теоретического изучения в рамках дискретных подходов, позволяющих получать теоретические оценки их механических свойств. Параметры используемых при этом потенциалов межатомного взаимодействия требуют идентификации по экспериментальным данным, которые проводятся с помощью методов атомно-силовой микроскопии. Полученные результаты идентифицируются по точным решениям для упругих стержней или мембран. Другим способом экспериментального определения некоторых механических характеристик графена являются опыты с тонкими образцами графита, представляющими собой набор слоев графена. Согласно строению группы симметрии линейно-упругих свойств лист графена как двумерный объект с осью симметрии третьего порядка в рамках классической симметричной теории упругости [1] описывается только двумя независимыми ненулевыми компонентами тензора упругих свойств. В качестве основных упругих модулей обычно выбирают модуль Юнга и коэффициент Пуассона. Несмотря на множество потенциалов, используемых для описания ковалентных связей атомов углерода в графене или графите [2], существует значительное расхождение экспериментальных значений упругих модулей графена и значений, предсказанных в расчетах. Как отмечается в [2], это связано с тем, что идентификация (зачастую значительного числа) параметров потенциалов далеко не всегда основана на учете механических свойств графена. В данной работе показано, как при использовании потенциалов существенно более простого вида, чем применяемые обычно для графена, но содержащие безразмерные параметры, можно полу-

96

чать расчетные значения упругих модулей графена, с высокой точностью соответствующие экспериментам.

В работе, как и в [3], для описания взаимодействия атомов углерода в графене, находящихся в состоянии sp2-гибридизации, используется структура потенциала межатомного взаимодействия Ми – отталкиваются все атомы, притягиваются один к другому только атомы, связанные ковалентной связью:

где α – равновесное расстояние для изолированной пары атомов, β – энергия, соответствующая глубине потенциальной ямы при взаимодействии двух таких атомов, R(ij) – расстояние между

атомами i и j, R(ij) = R j − Ri ; Ri – радиус-вектор i-го атома, Si –

множество номеров атомов, составляющих ближайшую окрестность i-го атома и связанных с ним ковалентными связями. Параметры потенциала считаются произвольными. В работе рассматривается слой материала с решеткой графена в форме правильного шестиугольника с различным числом атомов на грани. Такая форма образца позволяет избежать влияния формы на изотропию упругих свойств графена.

Принято, что отсчетная конфигурация монослоя графена находится в равновесном состоянии и соответствует минимуму полной потенциальной энергии (1). Это позволяет получить точные выражения для равновесных значений межатомного расстояния и полной потенциальной энергии в естественной конфигурации для произвольных параметров потенциала в виде «быстрых сумм». При использовании нормированного межатомного расстояния b(ij) = b(ij) , где b(ij) ≡ R(ij) / a , R(ij) = R j − Ri , получим равновесные значения межатомного расстояния a и потенциальной энергии:

97

Для перевода графена из начальной конфигурации в текущую задается аффинор F, ri = F Ri . Полная потенциальная энергия образца из текущей конфигурации делится на его объем V0 (площадь для графена) в отсчетной конфигурации. Квадратичные слагаемые в ее разложении в степенной ряд по параметрам деформирования приравниваются упругому потенциалу и определяются упругие модули. Рассматривается закон Гука в форме [3]:

где C – несимметричный тензор линейно-упругих свойств материала, I – единичный тензор, w# – тензор малых поворотов ре-

шетки. В симметричном случае в кристаллографических осях C1212 = C1111 − C1122 − C1212 , т.е. условие симметрии тензора C для материала с решеткой графена имеет вид

98

Эти ограничения (или условия C1111(s) > 0 , C1122(s) (−C1111(s) ;C1111(s) ) )

обеспечивают положительную определенность полусимметричного тензора C(s) .

Графен при заданной аффинной кинематике не может деформироваться однородно [3]. Для обеспечения минимума потенциальной энергии кристалла графена в текущей конфигурации необходимо задавать относительное смещение треугольных подрешеток графена, зависящее от параметров деформирования. Для вектора внутренних смещений δ в [3] получен вид:

δ = {δ1;δ2 ;0} = δ (e1e1e2 + e1e2e1 − e2e1e1 + e2e2e2 ) : (F − I − w# ) , (4)

где δ – дополнительный материальный параметр графена. Значение этого параметра находится из условия минимума полной потенциальной энергии монослоя графена в текущей конфигу-

где γ – интенсивность чистого сдвига в кристаллографических осях x1Ox2; λi – кратности удлинения в этих осях. Появившиеся вторые производные:

99

где a – равновесное межатомное расстояние из (2), выражения Aij(m) , Bij(m) , Cij(m) , Dij(m) и Eij(m) от степенных параметров потенциала Ми m и n суть:

Aij(m) ≡ (ci − cj )−1 (b(ij) )2 Bij(m) ,

Bij(m) ≡ (ci − cj )2 (b(ij)2 − (m + 2)(b(ij) )12 )b(ij)− m−4 ,

Cij(m) ≡ (ci − cj )−1 (b(ij) )1 Eij(m) , Eij(m) ≡ (ci − cj )2 (b(ij) )1 (b(ij) )2 b(ij)− m−4 ,

Dij(m) ≡ −(ci − cj )(b(ij) )2 (2b(ij)2 − (m + 2)(b(ij) )22 )b(ij)− m−4 .

Упругий закон с учетом внутренних смещений принимает форму

u = 12 (F − I − w# ) : C : (F − I − w# ) + 12 δ c δ,

где тензор второго ранга c для графена в силу его симметрии

тензор упругих свойств третьего ранга задается выражением ≡ δ (e1e1e2 + e1e2e1 − e2e1e1 + e2e2e2 ) . Окончательно упругий закон для графена в несимметричной постановке принимает вид

100