Математическое моделирование в естественных науках

сжимаемой нелинейно-вязкой жидкости, что позволило оценить распределение давления смеси в канале экструдера. На основании полученного поля давления смеси определялось поле давления насыщающей жидкости. Дальнейшее решение уравнения Дарси с учетом полученного на предыдущем этапе поля давления позволяет определить расход отжимаемой жидкости.

В третьем подходе, описанном в [3], решение выполняется в интегральных характеристиках: расход смеси, расход насыщающей жидкости. Для замыкания используется условие неразрывности в интегральной форме. Дополнительно в данном подходе учитывается перетекание обрабатываемого материала через реборду в смежную область. Такие «утечки» в процессе отжима могут существенно влиятьна распределение давленияв материале.

Сравнение подходов было осуществлено с привлечением экспериментальных данных для идентификации моделей. После определения параметров моделей удалось сравнить виляние аспектов каждого из рассмотренных подходов на процесс отжима.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант 13-08-96006 р_урал_а.

Список литературы

1.Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. – М.: Недра, 1984. – 211 c.

2.Sanavia L., Schrefler B.A., Steinmann С. A formulation for an unsaturated porous medium undergoing large inelastic strains // Comput. Mech. – 2002. – Vol. 28, № 2. – P. 137–151.

3.Петров И.А., Славнов Е.В. Моделирование шнек-прес- сового отжима как совокупности процессов течения вязкой несжимаемой смеси и фильтрации жидкости сквозь пористую среду // Вычислительная механика сплошных сред. – 2013. – Т. 6,

№3. – С. 277–285.

4.Торнер Р.В. Теоретические основы переработки полимеров (механика процессов). – М.: Химия, 1977. – 463 c.

31

5. Анферов С.Д., Скульский О.И., Славнов Е.В. Математическое моделирование процесса прямого отжима масличной культуры // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2014. –

№1. – С. 31–56.

6.Анферов С.Д., Скульский О.И. Математическое моделирование фильтрации жидкости через пластически деформируемую пористую среду в процессе экструзионного отжима // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2014. – № 2. –

С. 29–47.

7.Яковлев Д.А., Дукаревич М.С. Определение физико-ме- ханических свойств зеленой массы рапса // Вестник ДГТУ. – 2009. – Т. 9, № S2. – С. 142–147.

8.Яковлев Д.А. Рационализация шнекового рабочего органа для отжима сока из зеленых растений // Вестник ДГТУ. – 2010. – Т. 10, № 4 (47). – C. 556–559.

9.Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. – М.: Глав. ред. физ.-мат. лит-ры, 1978. – 336 c.

10.Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред, Т. 1. –

М.: Наука, 1987. – 359 c.

11.Механика насыщенных пористых сред / В.Н. Николаевский, К.С. Басниев, А.Т. Горбунов [и др.]. – М.: Недра, 1970. – 333 c.

12.Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидксоти. – М.: Наука, 1972. – 392 c.

13.Reddy J.N. An Introduction to Nonlinear Finite Element Analysis. – New York: Oxford University Press, 2004. – 482 p.

14.Пустовой Н.В., Левин В.Е., Красноруцкий Д.А. Алгоритм численного решения нелинейной краевой задачи динамического деформирования тонкого стержня // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического уни-

верситета. Механика. – 2014. – № 2. – С. 168–199.

32

ВЛИЯНИЕ ЖЕСТКОСТИ УПРУГОГО ЭЛЕМЕНТА КОНСТРУКЦИИ НА КИНЕТИКУ РАЗРУШЕНИЯ

П.С. Бажуков1, В.Э. Вильдеман2

(1 Пермский государственный национальный исследовательский университет,

Пермь, Россия, 9641979675cem@gmail.com,

2 Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, wildemann@pstu.ru)

Для обеспечения живучести конструкций актуальным является исследование закономерностей роста дефектов в них,

вчастности трещин. Экспериментальные исследования характеристик роста трещин в твердых телах связаны с рядом технических трудностей. Важным представляется изучение влияния различных факторов на характер роста трещин, в частности, на условия перехода от равновесного роста дефекта к динамическому разрушению. В работе рассматривается влияние жесткости упругого поддерживающего элемента на равновесный рост трещин. Производилось одноосное нагружение консольной балки с концентратором напряжений рядом с местом крепления и моделирования прорастания трещины в ней. Моделирование нагружения проводилось до тех пор, пока трещина не переходила от равновесного роста к динамическому разрушению.

Из полученных закономерностей можно сделать вывод, что жесткость поддерживающего упругого элемента системы оказывает значительное влияние на равновесный рост трещины

втеле, что отражается в большем значении величины раскрытия трещины к моменту разрушения при повышении жесткости

поддерживающего элемента.

Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых – кандидатов наук (МК-5172.2015.1) и с использованием результатов работ по гранту Российского фонда фундаментальных ис-

следований № 13-08-00304-а.

33

Список литературы

1.Основы экспериментальной механики разрушения / И.М. Керштейн, В.Д. Клюшников, Е.В. Ломакин, С.А. Шестериков. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. – 140 с.

2.Чаусов Н.Г. Полная диаграмма деформирования как источник информации о кинетике накопления повреждений и трещиностойкости материалов // Заводская лаборатория. Диаг-

ностика материалов. – 2004. – Т. 70, № 7. – С. 42–49.

3.Вильдеман В.Э., Третьяков М.П. Испытания материалов

спостроением полных диаграмм деформирования // Проблемы машиностроения и прочности машин. – 2013. – № 2. – С. 93–98.

4.Накопление структурных повреждений и устойчивое закритическое деформирование композиционных материалов / Ю.В. Соколкин, В.Э. Вильдеман, А.В. Зайцев, И.Н. Рочев // Ме-

ханика композиционных материалов. – 1998. – Т. 34, № 2. –

С. 234–250.

МОДЕЛИРОВАНИЕ СКОРОСТИ РОСТА ТРЕЩИНЫ В РЕЖИМЕ ГИГАЦИКЛОВОЙ УСТАЛОСТИ ПО ДАННЫМ МОРФОЛОГИИ ПОВЕРХНОСТИ РАЗРУШЕНИЯ

М.В. Банников1, В.А. Оборин2, О.Б. Наймарк3

(Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь, Россия,

1mbannikov@icmm.ru, 2oborin@icmm.ru, 3naimark@icmm.ru)

Изучены многомасштабные закономерности зарождения и развития трещин в металлах в режиме гигацикловой усталости по данным морфологии поверхности разрушения образцов стали R4. Для различной длины трещины снимались реплики поверхности разрушения, которые анализировались с помощью интерферометра New View 5000, позволяющего получить трехмерный цифровой образ поверхности. Из полученных данных вырезались одномерные профили, по которым была вычислена функция корреляции. На основе линейного наклона данной функции получены масштабы lsc и Lpz, по ко-

34

торым построены закономерности роста усталостной трещины в режиме гигацикловой усталости.

Ключевые слова: разрушение, гигацикловая усталость, многомасштабные закономерности.

В поведении материалов в области гигацикловой усталости [1–3] обнаруживается ряд закономерностей, относящихся к особенностям распространения трещин. Последние связываются с качественной сменой механизмов зарождения и развития трещин усталости. Кинетика роста трещины в гигацикловом режиме усталости в общем случае не описываются законом Пэриса [2, 3]. Проведено изучение связи коллективного поведения ансамблей дефектов в вершине трещины с закономерностями распространения трещин при усталостном нагружении в гигацикловом диапазоне нагружения.

Образцы из высокопрочной стали R-4 (предел усталости 600 МПа на базе испытаний 106 циклов) подвергались усталостному нагружению в условиях симметричного цикла растяжениясжатия с частотой 20 кГц. На начальной стадии эксперимента инициировалась усталостная трещина длиной 1,5 мм. В процессе дальнейшего роста трещины, благодаря вариации амплитуды колебаний, контролировались рост трещины и изменение коэффициента интенсивности напряжений K по формуле:

где E – модуль Юнга, ν – коэффициент Пуассона, U0 – амплитуда колебаний, Y – полиномиальный фактор [3], W – ширина образца, а – длина трещины. Полиномиальный фактор:

Y(a/W ) = 0,635(a/W ) + 1,731(a/W )2 + 3,979(a/W )3 +1,963(a/W )4.

Переход к следующему этапу нагружения осуществлялся при увеличении значения K на 5 %, которое вычислялось «insitu», с измерением длины трещины с помощью оптического

35

микроскопа. Амплитуда напряжения уменьшалась таким образом, чтобы значение K было меньше предыдущего на 5 %, и испытания повторялись. Результаты испытаний представлены в таблице. Значению K = 4,33 соответствует скорость роста 5,5·10–12, которая уменьшилась на два порядка по сравнению

спредыдущим шагом. Следовательно, достигалось значение K, близкое к Kth, ниже которого трещина не распространяется. Данная методика позволяет устанавливать пороговые значения Kth для различных материалов.

После каждого этапа прорастания трещины снимались реплики с поверхности образцов с целью исследования морфологии дефектных структур перед вершиной трещины. Поверхностный рельеф на репликах регистрировался с помощью интерферометрапрофилометра высокого разрешения New View и анализировался методами корреляционного анализа [3, 5, 8] для определения условий масштабной инвариантности в ансамблях дефектных структур,

скоторымсвязываетсяочереднаястадияраспространениятрещины.

Результаты эксперимента на изучение роста трещины в гигацикловом режиме нагружения

Проявление автомодельных закономерностей роста трещины исследовалось методами теории подобия и размерностей [4–7]. Зависимость скорости роста трещины da/dN (a – длина трещины, N – число циклов) определяется следующими параметрами:

36

где lsc – минимальный пространственный масштаб в окрестности вершины трещины (зоны процесса разрушения), на котором начинают проявляться масштабно-инвариантные закономерности рельефа поверхности разрушения, Lpz – масштаб зоны процесса разрушения в вершине трещины. Значения Lpz и lsc определялись экспериментально с помощью масштабного инварианта (показателя Херста), полученного из анализа функции корреляции профилей поверхности разрушения [8]. Следуя П-теореме [4], в безразмерном виде функцию (2) в рамках независимых переменных можно представить в виде

Оценка значений K / E lsc << 1 и Lpz / lsc >> 1 позво-

ляет предположить промежуточно-асимптотический характер кинетики роста трещины и записать (3) в виде

где α и β – степенные показатели, отражающие промежуточноасимптотический характер кинетики роста трещины от безраз-

Keff → K, будет стремиться к виду уравнения Херцберга [9].

37

5.Bouchaud E. Scaling properties of cracks // J. Phys.: Condens. Matter. – 1997. – № 9. – Р. 4319–4344.

6.Barenblatt G. I. Scaling Phenomena in Fatigue and Fracture // International Journal of Fracture. – 2004. – Vol. 138, № 1. – Р. 19–35.

7.Ritchie R.O. Incomplete self-similarity and fatigue-crack growth International // Journal of Fracture. – 2005. – Vol. 132, №3. – P. 197–203.

8.Масштабная инвариантность роста усталостной трещины при гигацикловом режиме нагружения / В.А. Оборин, М.В. Банников, О.Б. Наймарк, T. Palin-Luc // Письма в журнал техниче-

ской физики. – 2010. – Т. 36, № 22. – С. 76–82.

9.Херцберг Р.В. Деформация и механика разрушения конструкционных материалов. – М.: Металлургия, 1989. – 576 c.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МНОГОМАСШТАБНЫХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ ЗАРОЖДЕНИЯ И РАЗВИТИЯ ТРЕЩИН В ПРОЦЕССЕ ФРАГМЕНТАЦИИ

И.А. Банникова1, С.В. Уваров2, О.Б. Наймарк3

(Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь, Россия,

1malgacheva@icmm.ru, 2usv@icmm.ru, 3naimark@icmm.ru)

Работа посвящена изучению многомасштабных закономерностей зарождения и развития разрушения в трубчатых цилиндрических образцах из керамики Al2O3 при ударно-волновом нагружении, инициируемом электровзрывом проводника в жидкости. Рассмотрены механизмы разрушения трубок: зарождение и распространение магистральных трещин, приводящих к образованию крупных (2D) фрагментов, а также ветвления трещин, приводящего к образованию 3D-фрагментов. Установлены статистические распределения 2D- и 3D-фрагментов по размерам, соответствующие образованиюираспространению(ветвлению) трещинразличноготипа.

Ключевые слова: фрагментация керамических трубок, многомасштабные закономерности, ЭВП.

Керамические трубчатые образцы (внутренний диаметр 7,8 мм, толщина трубки 2 мм, средняя высота ~15 мм) динамически нагружались ударно-волновым импульсом, инициирован-

39

ным электровзрывом проводника (ЭВП) [1–3], расположенного вдоль оси образца, погруженного в жидкость (дистиллированная вода). Амплитуда импульса регулировалась изменением энергии на емкостной батарее [4, 5]. Длительность разряда составляла 0,3–0,8 мкс. Фрагменты разрушенного образца извлекались из воды со дна кюветы для дальнейшего анализа. Масса собранных фрагментов составляла не менее 98 % массы исходного образца М, что обеспечивало, по сравнению с известными экспериментальными постановками, представительную статистическую выборку и качество анализа статистики фрагментации. Общее количество фрагментов изменялось от 1600 до 4800 в зависимости от изменения удельной энергии нагружения w ~ 4–23 Дж/г [4]. Фрагменты классифицировались по двум типам: квазидвумерные (2D), для которых характерный размер фрагмента d* больше или равен толщине стенки трубки d; и трёхмерные (3D), для которых d* < d. Для всех экспериментов соотношение долей крупных (2D) и мелких фрагментов оставалось постоянным ~ (4: 96) % от всех собранных осколков разрушенной трубки.

Исследование закономерностей фрагментации керамических трубчатых образцов проводилось на основе анализа статистических распределений фрагментов по размерам (массе) [4–6]. При малой удельной энергии w преобладали 2D-фрагменты, что позволило реконструировать картину фрагментации. На рис. 1, а представлено изображение трубки из фрагментов в развернутом виде. Анализ 2D-осколков позволяет сделать предположение, что вертикальные трещины (магистральные трещины) вдоль высоты образца зародились первыми в результате растяжения трубчатого образца в радиальном направлении за счет ударной волны, инициируемой электрическим взрывом проводника. Это согласуется со сценарием фрагментации, следующим из модели Мотта, применительно к разрушению оболочек [7–9]. Измерена ширина L образовавшихся сегментов, и установлено, что распределение сегментов по размеру (ширине) хорошо описывается экспоненциальной функцией (рис. 1, б). Распределение 3D-объек-

тов описывается степенной функцией N(m) = B mA [4, 5], где N

40