Математическое моделирование в естественных науках

ствляется как по мягкой, так и по жесткой схемам. При определенных величинах сдвиговой деформации материал поверхностных слоев переходит на стадию деформационного разупрочнения. Поэтому свойства материала описываются полной диаграммой одноосного сдвига, обладающей падающей до нуля ветвью, характеризующей разупрочнение при сдвиге.

Аналогично работе [4] выписываются определяющие соотношения для трех основных типов материала – упругопластического, упругохрупкого и партипластического (частично пластического). Кроме того, приводятся выражения, определяющие кинетику накопления неупругих деформаций сдвига.

Для расчета кривой равновесных состояний предлагается итерационная процедура, формализованная в форме метода простой итерации. Исследована сходимость метода. Показано, что в случае жесткого нагружения для всех рассматриваемых типов материала имеет место сходимость, поэтому наряду с восходящей ветвью диаграммы равновесных состояний можно получить и нисходящую ветвь. При мягком нагружении получены условия сходимости (расходимости) предлагаемого метода, при этом возможно построить лишь восходящую ветвь диаграммы M ~ ψ. Далее с использованием аппарата теории катастроф, опираясь на то, что каждый элемент находится в состоянии активного деформирования, исследуется вопрос устойчивости процесса деформирования стержня при мягком нагружении. Установлено, что начало расходимости итераций совпадает с моментом потери устойчивости процесса деформирования.

Приведены примеры расчета, демонстрирующие предлагаемую методику.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 13-08-00186).

61

Список литературы

1.Стружанов В.В., Миронов В.И. Деформационное разупрочнение материала в элементах конструкций. – Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 1995. – 192 с.

2.Радченко В.П., Небогина Е.В., Басов М.В. Структурная модель закритического упругопластического деформирования материалов в условиях одноосного растяжения // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. – 2000. – № 9. – С. 55–65.

3.Горев Б.В., Банщикова И.А., Басов М.В. К описанию ниспадающего участка кривой деформирования «напряжение– деформация» по кинетическим уравнениям со скалярным параметром поврежденности // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Сер.

Физ.-мат. науки. – 2008. – № 2 (17). – С. 110–117.

4.Стружанов В.В. Свойства разупрочняющихся материалов и определяющие соотношения при одноосном напряженном состоянии // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат.

науки. – 2007. – № 2 (15). – С. 69–78.

ИССЛЕДОВАНИЕ И АНАЛИЗ ФИЗИЧЕСКИХ ПРИЧИН ЭФФЕКТА ПОЙНТИНГА–СВИФТА

Т.А. Бикетова

Научный руководитель – д-р физ.-мат. наук, проф. П.В. Трусов (Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, tat.biketova@yandex.ru)

В работе приводится описание многоуровневой модели пластического деформирования, основанной на явном введении в рассмотрение физических механизмов и носителей неупругого деформирования. Рассматривается моделирование кручения полых и однородных цилиндрических поликристаллических образцов с целью определения физических причин возникновения эффекта Пойнтинга–Свифта.

Ключевые слова: физические теории пластичности, эффект Пойнтинга–Свифта, двухуровневая модель.

62

Такой вид пластической деформации, как кручение цилиндров или трубок, важен для установления параметров, характеризующих некоторые свойства материалов, которые трудно определить при других условиях испытаний. Известно, что изменение микроструктуры материала при кручении образцов существенно отличается от ее эволюции при деформационном растяжении или сжатии. Характерное явление, наблюдаемое при кручении цилиндрических или трубчатых образцов, – эффект Пойнтинга–Свифта, заключающийся в появлении продольных сжимающих напряжений при фиксированных торцах образца и появлении продольных удлинений (пропорциональных квадрату угла закручивания) при свободных торцах [1–3]. Модели, основанные на физических теориях пластичности (ФТП), могут более полно раскрыть физические основы этого явления.

ФТП – широкий класс теорий пластичности, в основе формулировок определяющих соотношений, гипотез и основных положений которых лежит рассмотрение в явной форме механизмов деформирования в мезо- и микромасштабах [4]. Преимущество данного подхода заключается в том, что управляя мезо- и микроструктурой, можно управлять свойствами материалов на макроуровне. Эти свойства и определяют рабочие характеристики готовых деталей и конструкций.

Стоит отметить, что задача о кручении трубчатого образца для представительного макрообъёма сводится к задаче простого сдвига. Связь между макроскопической и мезоскопической мерой деформации и напряжений может быть определена, например, на основе моделей типа Тейлора. Модель Тейлора предполагает однородное поле деформации на макро- и мезоуровне.

Целью работы является построение математической модели, описывающей эффект Пойнтинга–Свифта. Для достижения цели необходимо выполнить следующие задачи:

– провести анализ физических причин возникновения эффекта Пойнтинга–Свифта;

63

– создать двухуровневую модель деформирования, описывающую физические природу эффекта и его количественные характеристики: осуществить концептуальную и математическую постановки, разработать алгоритм и программу его реализации.

В рассматриваемой двухуровневой модели принимается расширенная гипотеза Фойгта, предполагающая равенство градиентов скорости перемещений на макро- и мезоуровне. В модели учитываются ротации кристаллитов (зерен, субзерен), для определения спина решётки была выбрана модель поворота Тейлора [5]. Математическая постановка задачи неупругого деформирования кристаллита формулируется в скоростном виде, алгоритм реализации модели мезоуровня делится на два этапа: решение в скоростях и интегрирование.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 13-01-96006

р_урал_а, РФФИ 14-01-00069-а).

Список литературы

1.Трусов П.В., Швейкин А.И. Теория пластичности: учеб. пособие. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2011. – 425 с.

2.Duchêne L, Houdaigui F.E, Habraken A.M. Length changes and texture prediction during free end torsion test of copper bars with FEM and remeshing techniques // Int. J. Plasticity. – 2007. – Vol. 23. – Р. 1417–1438.

3.Poynting J.H. On pressure perpendicular to the shear planes in finite pure shears and on the lengthening of loaded wires when twisted // Proc. Roy. Soc. (London). – 1909. – Ser.A. – Vol. 82. – Р. 546–559.

4.Трусов П.В., Волегов П.С., Кондратьев Н.С. Физические теории пластичности: учеб. пособие. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2013. – 244 с.

5.Швейкин А.И., Ашихмин В.Н., Трусов П.В. О моделях ротации решетки при деформировании металлов // Вестник Пермского государственного технического университета. Механика. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2010. – №1. – С. 111–127.

64

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛОКАЛИЗАЦИИ ДЕФОРМАЦИИ И РАЗРУШЕНИЯ АЛЮМИНИЕВЫХ СПЛАВОВ ПРИ ДИНАМИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ

Д.А. Билалов, М.А. Соковиков, В.В. Чудинов, Ю.В. Баяндин, О.Б. Наймарк

(Институт механики сплошных сред УрО РАН,

Пермь, Россия, ledon@icmm.ru)

Проведено трёхмерное численное моделирование процесса пробивания преграды из алюминиевого сплава ударником и выноса «пробки» с использованием широкодиапазонных определяющих соотношений для деформируемого твёрдого теля с дефектами. Предложен критерий разрушения в терминах тензорзначного параметра поврежденности. Результаты расчётов находятся в удовлетворительном соответствии с экспериментальными данными.

Ключевые слова: численное моделирование, локализация деформации, динамическое нагружение.

Работа посвящена численному моделированию процесса пробивания преграды из алюминиевых сплавов, соответствующего экспериментальной схеме, изображённой на рис. 1, согласно которой при помощи газовой пушки разгоняют цилиндрический снаряд (ударник), который пробивает цилиндрическую мишень, выбивая из неё «пробку» (рис. 2).

Рис. 1. Схема установки для испытания образцов на пробивание. Цифрами обозначены: 1 – камера высокого давления, 2 – ствол, 3 – фотодатчики, 4 – поддон, 5 – ударник, 6 – отсекатель, 7 – рама, 8 – устройство для крепления мишени, 9 – мишень, 10 – приёмная камера, 11 – улавливатель

65

жений на шаровую и девиаторную части (4), определяющих соотношений (5)–(6) и уравнения для тензора плотности микродефектов (7).

В (1)–(7) приняты следующие обозначения: ρ – плотность материала; ν – вектор скорости; σ – тензор напряжений, σs, σd – его шаровая и девиаторная части; ε – тензор скорости деформации; εp – пластическая составляющая тензора скорости деформации; p – тензор плотности микродефектов; λ и G – упругие константы материала; F – свободная энергия, которая является функцией от p, σ; l1, l2, l3 – положительные кинетические коэффициенты, в общем случае зависящие от параметров состояния, удовлетворяющие следующему соотношению: l1 l3 – l2 l2 > 0.

Система уравнений (1)–(7) решалась численно в конечноэлементном пакете прикладных программ Abaqus. Для этого уравнения (4)–(7) были внедрены в Abaqus при помощи пользовательской подпрограммы. При проведении трёхмерного численного моделирования использовался следующий критерий разрушения:

где pc – характерное значение интенсивности сдвиговых компонент тензора плотности микродефектов, при котором наступает разрушение.

Вкачестве граничных условий были заданы нулевые перемещения по всем направлениям на боковой поверхности мишени. Для остальных поверхностей мишени (лицевая и тыльная) задавались условия свободной границы. Начальные условия для всей мишени были однородными и нулевыми. Для моделирования соударения в начальный момент времени ударник устанавливался впритык к мишени, и ему присваивалась начальная скорость, известная из эксперимента (скорость соударения).

Результаты численных расчётов представлены на рис. 3.

Вкачестве иллюстрации представлены поля распределения сдвиговой компоненты тензора плотности микродефектов

67

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕТЕРОГЕННОГО ТЕЧЕНИЯ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ УДАРНОЙ ТРУБЕ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ

Р.А. Билалов, М.Ю. Егоров

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, ruslan.1991@inbox.ru)

Проведено двумерное численное моделирование (в осесимметричной постановке) процесса течения гетерогенной смеси (газа с частичками песка) в цилиндрической ударной трубе переменного сечения. Для имитации вышеуказанного процесса использовалась система нелинейных нестационарных дифференциальных уравнений газовой динамики, которая интегрировалась численно при помощи метода крупных частиц (метод Давыдова).

Ключевые слова: численное моделирование, газовая динамика, метод крупных частиц.

Работа посвящена численному моделированию процесса течения газа по цилиндрической ударной трубе с участком, на котором повышенное содержание частиц песка. Схема показана на рисунке. В начальный момент зона высокого давления (ЗВД) отделена перегородкой от остальной трубы. В ЗВД создаётся повышенное давление, после чего перегородка убирается и запускается процесс течения [1].

Рис. Схема ударной трубы

69

Для описания данного процесса использовалась система нелинейных нестационарных дифференциальных уравнений газовой динамики для гетерогенного потока, состоящая из уравнения неразрывности (сохранения массы) (1), уравнения движения (сохранения импульса) по осям координат (2)–(3), уравнения сохранения энергии (4)–(5). Данная система балансовых уравнений замыкалась уравнением состояния газа (6),

φ= {ρi , ρiUi , ρiVi , ρi Ei , ρ2 J2 , αi P} .

Вуравнениях (1)–(3) i = 1,2.

Вуравнениях (1)–(6) приняты следующие обозначения:

ρ– плотность газа, U – компонента вектора скорости вдоль оси

70