Математическое моделирование в естественных науках

В качестве аналитического решения представленного уравнения рассмотрено решение в виде формального степенного ряда

u (x, y,t ) = a(x,t ) + b(x,t ) y2 + c(x,t ) y4 + d (x,t ) y6 + ....

Далее аналитически получено, что при условии в набегающем потоке на оси y = 0 при x → −∞

ux (x,0,t ) = ax (x,t ),

уравнение звуковой линии

ux (x,0,t ) = ax (x,t ) = 0

имеет разное поведение на концах интервала при t → ±∞ , описываемое в аналитическом виде функциями

Таким образом, можно сделать вывод о том, что поверхность перехода через скорость звука может не возвращаться в исходное положение при возвращении условий в набегающем потоке к исходным.

241

Список литературы

1.Гунько Ю.П., Кудрявцев А.Н. Численное моделирование свободного взаимодействия скачков уплотнения при обтекании двугранных углов // Теплофизика и аэромеханика. – 2006. – Т. 13, № 2. – С. 239–256.

2.Экспериментальное исследование перехода к маховскому отражению стационарных ударных волн / М.С. Иванов, Г.П. Клеменков, А.Н. Кудрявцев, В.М. Фомин, A.M. Харитонов // Доклады РАН. – 1997. – Т. 357, № 5. – С. 623–627.

3.Медведев А.Е., Фомин В.М. Аналитическое исследование явления гистерезиса при отражении плоских ударных волн // Динамика сплошной среды: сб. науч. тр. Вып. 114. Математические проблемы механики сплошных сред / СО РАН; Ин-т гидродинамики. – Новосибирск, 1999. – С. 122–126.

4.Медведев А.Е., Фомин В.М. Приближенно-аналитичес- кий расчет маховской конфигурации стационарных ударных волн в плоском сужающемся канале // Прикладная механика

итехническая физика. – 1998. – Т. 39, № 3. – С. 52–58.

5.Медведев А.Е., Фомин В.М. Модель маховской конфигурации стационарныхударных волн в плоском сужающемся канале // Теплофизикаиаэромеханика. – 1999. – Т. 6, № 2. – С. 157–164.

6.Кудрявцев А.Н., Эпштейн Д.Б. Явление гистерезиса при обтекании системы цилиндров сверхзвуковым потоком // Известия РАН. Механика жидкости и газа. – 2012. – № 3. – С. 122–131.

7.Мышенков Е.В., Мышенкова Е.В. Гистерезисные явления в плоском поворотном сопле // Известия РАН. Механика жидкости и газа. – 2010. – № 4. – С. 175–187.

8.Lin C.C., Reissner E., Tsein H.S. On two-dimensional nonsteady motion of a slender body in a compressible fluid // J. Mafhematics and Physics. – 1948. – Vol. XXVII, № 3.

9.Титов С.С. Об околозвуковом обтекании газом тонких тел вращения // Аналитические методы механики сплошной среды. – Свердловск: Изд-во ИММ УНЦ АН СССР, 1979. –

Вып. 33. – C. 65–72.

242

10.Курмаева К.В., Титов С.С. Аналитическое построение ближнего поля трансзвукового течения около тонкого тела вращения // Сиб. журнал индустр. математики. – 2005. – Т. VIII,

№3 (23). – C. 93–101.

11.Филимонов М.Ю. Применение метода специальных рядов для представления решений уравнения Линя–Рейснера–Цяня //

Тр. ИММ УрОРАН. – 2008. – Т. 14, №1. – С. 181–201.

РАССМОТРЕНИЕ ВОЗМОЖНОСТИ МОДЕЛИРОВАНИЯ ОПТИЧЕСКОГО ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ ВОДНЫХ РАСТВОРОВ ПЛАВИКОВОЙ КИСЛОТЫ

С.Ю. Ланина, В.В. Еремина, Е.Ю. Ризен

(Амурский государственный университет, Благовещенск, Россия, swetl.lanina@yandex.ru)

Рассматривается возможность построения математической модели упругих видов поляризации плавиковой кислоты с опорой на ранее построенные модели поляризационных процессов молекулы воды.

Ключевые слова: плавиковая кислота, оптический показатель преломления, математическое моделирование.

Для решения некоторых прикладных задач требуется интеграция подходов из различных областей знаний. Подобные задачи можно отнести к области знаний, находящихся на стыке традиционной физики и теории управлений, которую принято называть кибернетической физикой. Принципиальное отличие любой кибернетической модели в том, что при построении структурной модели для каждого элемента системы всегда указывается соответствующие входы, выходы и связи между ними. Приложение методов кибернетической физики непосредственно к моделированию характеристик оказывается полезным при оценки степени адекватности существующих и разрабатываемых математических моделей экспериментальным данным.

243

Плавиковая кислота представляет собой водный раствор фтороводорода (HF). Безводный фтористый водород – сильная кислота. Однако водный раствор его – плавиковая кислота (рисунок) – не может быть отнесен к классу сильных кислот – это особенность, не встречающаяся ни у одной из других кислот.

HF

Рис. Модель молекулы плавиковой кислоты

Весьма ценным свойством фтористого водорода, благодаря которому он нашел себе широкое применение в промышленности, является резко выраженное катализирующее – ускоряющее – действие его на многие химические реакции. Данное вещество часто используют в производстве алюминия, для растворения других металлов в металлургическом производстве, а также для получения фтористых соединений, чистого фтора и прочих химических реагентов, которые могут быть использованы в других химических реакциях, как лабораторных, так и промышленных. Оригинальные свойства плавиковой кислоты постоянно находят новое применение, поэтому точно установить сферы производства, в которых используется этот препарат, довольно трудно.

Ранее были получены адекватные динамические модели различных вводов поляризации воды: электронной [2]; ионной [3–5]; дипольной [6], которые позволили получить непрерывный спектр оптического показателя преломления в области установления упругих видов поляризации молекулы воды, максимально приближенный к данным физического эксперимента [7].

244

Аналогичным образом предполагается создание математической модели общей совокупности происходящих в плавиковой кислоте поляризационных процессов, для чего необходимо рассмотреть и решить ряд задач.

Во-первых, рассмотреть упругие виды поляризации водных растворов плавиковой кислоты. На основании полученных данных создать математические модели с использованием классических теоретических предпосылок, адекватно описывающих макроскопические диэлектрические свойства плавиковой кислоты как результат общей совокупности происходящих в ней поляризационных микропроцессов.

Во-вторых, разработать методы расчета динамических параметров создаваемых моделей, т.е. указать, как рассчитывать коэффициенты затухания и собственные частоты колебаний.

В-третьих, разработать прикладные программы, позволяющие автоматизировать процесс расчета динамических параметров, комплексной диэлектрической проницаемости и оптического показателя преломления.

В-четвертых, провести компьютерное моделирование теоретических кривых, отражающих непрерывные диэлектрические спектры на фоне контрольных данных их физических измерений.

Список литературы

1. Ланина С.Ю., Еремина В.В., Косолапова О.С. Модифицированные формулы оптического показателя преломления // Математические структуры и моделирование. – 2014. – № 4 (32). –

С. 6–12.

2.Еремина В.В., Ланина С.Ю., Косолапова О.С. Линейная динамическая модель электронной поляризации воды // В мире научных открытий. – 2014. – № 8 (56). – С. 80–93.

3.Еремина В.В., Ланина С.Ю., Косолапова О.С. Линейная динамическая модель ионной поляризации воды // В мире науч-

ных открытий. – 2014. – № 12 (60). – С. 173–187.

4.Еремина В.В., Костюков Н.С., Тюрина С.Ю. Моделирование оптического спектра воды в области упругой ионной по-

245

ляризации воды // Информатика и системы управления. – 2004. – № 2 (8). – С. 32–39.

5.Еремина В.В., Костюков Н.С., Тюрина С.Ю. Систематизация модели ионной поляризации молекулы воды // Информатика и системы управления. – 2006. – № 1 (11). – С. 42–52.

6.Еремина В.В., Ланина С.Ю., Косолапова О.С. Линейная динамическая модель дипольной поляризации воды // В мире научных открытий. – 2014. – № 12.1 (60). – С. 527–541.

7.Еремина В.В., Костюков Н.С., Тюрина С.Ю. Моделирование оптического спектра воды в области упругих видов поляризации // Информатика и системы управления. – 2003. – № 2 (6). –

С. 9–14.

АНАЛИЗ ФИЗИЧЕСКИХ ОСНОВ, ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ МАРТЕНСИТНЫХ ПЕРЕХОДОВ В СТАЛЯХ

Е.В. Лобанова, Н.Д. Няшина

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, lobanovaekv@gmail.com)

Термомеханическая обработка стали широко применяется в промышленности для придания металлическим деталям и конструкциям требуемых физико-механических свойств.

Фазовые превращения, которые совершаются в стали, также вызваны тем, что вследствие изменившихся условий, например температуры, одно состояние оказывается менее устойчивым, чем другое. Этим и вызываются превращения, протекающие в стали.

Ключевые слова: стали, мартенситные переходы, математическое моделирование.

Целью работы является построение многоуровневой математической модели больших неупругих деформаций в сталях, вызванных термомеханической обработкой. Термомеханическая обработка применяется в промышленности для придания мате-

246

риалам и конструкциям необходимых физико-механических свойств. Воздействие нагрузки и температуры приводит к фазовым изменениям в сталях, которые существенно сказываются на конечных характеристиках.

Рассматривая структурные превращения в стали, стоит заметить, что основными являются три структуры, а переход их из одной в другую характеризуют основные превращения.

Укажем эти структуры:

аустенит(А) – твердый растворуглеродав γ-железе; мартенсит(М) – твердыйрастворуглеродавα-железе; перлит (П) – эвтектоидная смесь из одновременно обра-

зующихся феррита и карбида α-Fe + Fe3C [1].

Наиболее сложным является мартенситный переход: его механизмы существенно отличается от других переходов. Изменение решетки осуществляется с высокой скоростью, сопоставимой со скоростью звука, при этом не успевает происходить диффузионное перемещение атомов углерода и примесей; переход характеризуется кооперативным движением атомов, и наблюдается плоскость габитуса – плоскость сопряжения исходной и новой решеток [2].

Мартенсит закалки – неравновесная структура, сохраняющаяся при низких температурах. Для получения равновесной структуры изделия подвергают отпуску.

При мартенситном переходе происходят физические процессы, относящиеся к различным масштабным уровням: перестройка решетки – процесс на уровне кристаллической решетки, образование и рост пластинок мартенсита в родительской фазе аустенита происходит на микроуровне I, пластическая аккомодация остаточных напряжений 2-го рода – процесс микроуровня II.

Изменение механических свойств при появлении мартенситной фазы оказывает влияние на поведение материала на уровне представительного макрообъема и реакции конструкциив целом.

Для построения модели деформирования на мезоуровне необходимо учесть все основные физические особенности мартенситного перехода.

247

Модель неупругого деформирования с учетом мартенситных переходов записывается для представительного объема мезоуровня.

В качестве определяющего соотношения на мезоуровне принимается закон Гука в скоростной форме:

σr ≡ σ− ω σ+ σ ω= c:de = c:(d − din),

din = d p + dtr + dth,

кинематические соотношениядлямер неупругого

деформирования d p, dtr , dth,критерий мартенситного перехода,эволюционные уравнения для доли фаз,

соотношениядляопределенияспина решетки ω,

d = D.

Здесь σ – тензор напряжения Коши; ω – тензор спина решетки, описывающий движение подвижной кристаллографической системы координат; din – неупругая составляющая деформации скорости; d p , dtr , dth – пластическая, трансформа-

ционная и термическая составляющие тензора неупругой деформации скорости; c – тензор упругих свойств кристаллита; все эти величины (обозначаются малыми буквами) относятся к мезоуровню. Величины c, din, ω – явные внутренние переменные мезоуровня.

В рамках данного исследования разрабатывается двухуровневая модель, позволяющая описывать НДС представительного объема поликристалла с учетом фазового мартенситного перехода.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Правительства РФ (Постановление № 220 от 9 апреля 2010 г., договор № 14.В25.310006 от 24 июня 2013) и Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 13-01-96006- урал_а).

248

Список литературы

1.Гуляев А.П. Металловедение: учебник для втузов. – М.:

Металлургия, 1986. – С. 207–209.

2.Курдюмов Г.В., Утевский Л.М., Энтин Р.И. Превращения

вжелезе и стали. – М.: Наука, 1977. – 240 c.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЦИКЛИЧЕСКОГО НАГРУЖЕНИЯ ПОЛИКРИСТАЛЛОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФИЗИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ

Д.А. Лоевец, П.С. Волегов

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, loevetsda@gmail.com)

Рассматриваются вопросы, связанные с описанием циклического нагружения поликристаллических материалов. При использовании материала необходимо знать его прочностные характеристики, в том числе то, как будут меняться свойства материала при циклическом (пропорциональном или непропорциональном) нагружении образца. Используется двухуровневая математическая модель неупругого деформирования поликристаллических тел, основанная на физических теориях пластичности. Получена и проанализирована зависимость интенсивности напряжения от интенсивности деформации при циклическом нагружении представительного объема поликристалла.

Ключевые слова: многоуровневые модели, физические теории пластичности, циклическое нагружение.

В процессах интенсивных пластических деформаций существенно меняется внутренняя структура материала, причем эти изменения происходят на всех масштабных уровнях: меняется дефектная структура, зеренная структура, эволюционирует сеть микроповреждений и т.д. С одной стороны, макронагружения (макродеформации) являются источником, движущей силой

249

изменения мезо- и микроструктуры; с другой стороны, эволюция мезо- и микроструктуры является фактором, определяющим поведение материала на макроуровне.

Таким образом, управляя мезо- и микроструктурой, можно управлять свойствами материалов на макроуровне, поэтому в настоящее время при разработке математических моделей технологических процессов одной из наиболее актуальных проблем является построение моделей, описывающих эволюцию мезо- и микроструктуры поликристаллических материа-

лов [1, 2].

Целью работы является математическое моделирование неупругого деформирования поликристалла с учетом эволюции микроструктуры и, как следствие, описание эволюции физикомеханических характеристик моно- и поликристаллов, а также моделирование циклического нагружения поликристалла с использованием физической теории пластичности.

Объектом исследования в данной работе является представительный объем поликристалла. В рамках работы используется двухуровневая математическая модель (макро- и мезоуровни), описывающая неупругое деформирование поликристаллических тел [3].

В качестве модели мезоуровня принята упруговязкопластическая модель неупругого деформирования ГЦК-кристалла, при этом считается, что основной вклад в неупругое деформирование вносит скольжение дислокаций по системам скольжения; в качестве определяющего соотношения на каждом из масштабных уровней используется закон Гука в скоростной релаксационной форме. Напряжения на макроуровне в этом случае определяются осреднением напряжений в элементах мезоуровня – зернах.

Запишем систему уравнений, позволяющую описать на- пряженно-деформированное состояние материала на макроуровне [4]:

250