Математическое моделирование в естественных науках

ТОЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ О РАВНОВЕСИИ УПРУГИХ АНИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ С ЦЕНТРАЛЬНОЙ И ОСЕВОЙ СИММЕТРИЕЙ, НАХОДЯЩИХСЯ В ПОЛЕ ГРАВИТАЦИОННЫХ СИЛ, И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ ГЕОМЕХАНИКИ

А.В. Зайцев, А.А. Фукалов

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, zav@pstu.ru, mr_aa@mail.ru)

Используя разложения компонент вектора перемещений в ряды по окружной и радиальной координате, получены точные аналитические решения задач о равновесии толстостенных полых трансверсальноизотропных центрально-симметричных и ортотропных осесимметричных тел, находящихся под действием массовых сил, с закрепленной внешней или внутренней поверхностью. На основе многокритериального подхода, описывающего различные реальные механизмы разрушения анизотропных тел, проведена оценка начальной прочности монолитных железобетонных крепей цилиндрических и сферических горных выработок, используемых для длительного хранения нефтепродуктов.

Ключевые слова: точное аналитическое решение, поле гравитационных сил, железобетонная крепь, сферическая и цилиндрическая горная выработка, горный массив осадочных пород, механизмы начального разрушения, оценка начальной прочности.

Потребность в решении задач для анизотропных сферических и цилиндрических тел, находящихся в равновесии в поле гравитационных сил под действием равномерных и/или неравномерных внутреннего и/или внешнего давлений, обусловлена широким спектром приложений в строительстве и геологии. Примерами могут служить задачи геомеханики хранения и добычи полезных ископаемых и дорожного строительства, при решении которых необходимо учитывать центральную и осевую симметрию, естественную анизотропию монолитных крепей горных выработок и облицовок, а также их взаимодействие с окружающими массивами грунтов или осадочных горных пород. Получение новых аналитических решений также важно и актуально для разработки инженерных методов уточненного прочностного анализа,

141

для тестирования численных алгоритмов решения более сложных задач, в которых отдельные элементы конструкций и сооружений имеют аналогичную геометрию и граничные условия, а также для отработки методик эксперимента с тяжелыми телами простейшей геометрии.

Получены новые точные аналитические решения задач о равновесии полых и составных толстостенных тяжелых транс- версально-изотропных сфер [1–3] и ортотропных цилиндров [2, 4, 5] с жестко закрепленной внешней или внутренней поверхностью и находящихся под действием однородного и/или неоднородного внутреннего или внешнего давления. При интегрировании неоднородной системы дифференциальных уравнений Ламе в цилиндрических и сферических ортогональных координатах метод разделения переменных позволил понизить размерность задачи, а использование обобщенных степенных рядов – записать частное решение. Из полученных решений в частном случае следуют выражения для перемещений, напряжений и деформаций в точках полых и составных анизотропных [6, 7] и изотропных сфер и цилиндров, находящихся в поле гравитационных сил, на внутренней и внешней поверхностях которых заданы аналогичные граничные условия [8, 9].

В качестве примера как единая механическая система была рассмотрена монолитная железобетонная крепь сферической горной выработки, окруженная массивом осадочных пород [2–3]. Было проанализировано влияние геометрии сооружений и свойств материалов на распределение независимых инвариантов тензора напряжений сферически трансверсально-изотропного тела в поперечных сечениях вдоль меридиональной и радиальной координаты [3], а также проведена оценка начальной прочности на основе многокритериального подхода [10], описывающего различные механизмы разрушения, и определены области, где это разрушение может быть инициировано.

Рассмотрены задачи о равновесии тяжелого железобетонного цилиндра, находящегося на грунтовом основании [2, 4].

142

Площадь контактной поверхности предполагалась известной и неизменной. Реакция основания считалась заданной в виде квадратичной функции, на которую налагалось условие равенства ее интегральной суммы весу конструкции. Это предположение позволило записать граничные условия для определения постоянных интегрирования частного решения, на основе которого были проанализированы распределения полей перемещений и напряжений в поперечных сечениях горизонтальных монолитных железобетонных цилиндров, нижняя половина которых вкопана в грунт, а также проведена многокритериальная оценка начальной прочности этих сооружений.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант Российского фонда фундаментальных исследований – Урал № 14–01–96029).

Список литературы

1.Зайцев А.В., Фукалов А.А. Упругое равновесие тяжелой трансверсально-изотропной толстостенной сферы с жестко закрепленной внутренней поверхностью // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физико-математические науки. – 2010. – № 5 (21). –

С. 85–95.

2.Фукалов А.А., Кутергин А.В. Точные аналитические решения задач о равновесии упругих анизотропных тяжелых тел

сцентральной и осевой симметрией и их приложения // Вестник Нижегород. ун-та им. Н.И. Лобачевского. – 2011. – № 4–4. –

С. 1831–1833.

3.Зайцев А.В., Соколкин Ю.В., Фукалов А.А. Механизмы начального разрушения железобетонной крепи сферической горной выработки в массиве осадочных пород // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2013. – № 4. – С. 59–74.

4.Зайцев А.В., Кутергин А.В. Упругое равновесие тяже-

лого горизонтального толстостенного ортотропного цилиндра,

143

находящегося под действием неравномерно распределенного бокового давления // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2010. – № 4. – С. 36–45.

5.Зайцев А.В., Кислицын А.В., Кутергин А.В. Фукалов А.А. Распределение напряжений в поперечных сечениях контейнеров из стеклопластика и полимербетона, используемых для длительного хранения высокоагрессивных сред // Известия Самар. науч. цен-

тра РАН. – 2012. – Т. 14, № 4–5. – С. 1230–1234.

6.Зайцев А.В., Кислицын А.В. Об одном решении задачи Ламе для составного протяженного элемента конструкции, состоящего из посаженных с натягом толстостенного трансвер- сально-изотропного внешнего цилиндра на соосный изотропный внутренний // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физико-

математические науки. – 2007. – № 1 (14). – С. 164–167.

7.Зайцев А.В., Рогов Д.С. Моделирование начального режима работы кольца из терморасширенного графита в кранах

суплотнением по штоку // Известия Самар. науч. центра РАН. – 2012. – Т. 14. № 4–5. – С. 1235–1238.

8.Кожевникова Л.Л., Кузнецов Г.Б., Матвеенко В.П., Шардаков И.Н. Аналитическое исследование упругого равновесия полой сферы, жестко закрепленной по внешнему контуру // Про-

блемы прочности. – 1974. – № 9. – С. 20–23.

9.Кузнецов Г.Б. Упругость, вязкоупругость и длительная прочность цилиндрических и сферических тел. – М.: Нау-

ка, 1979.

10.Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Ме-

ханика неупругого деформирования и разрушения композиционных материалов. – М.: Наука, 1997. – 288 с.

144

ЭФФЕКТИВНЫЕ МОДУЛИ ОБЪЕМНОГО СЖАТИЯ КОМПОЗИТОВ, АРМИРОВАННЫХ СПЛОШНЫМИ И ПОЛЫМИ АНИЗОТРОПНЫМИ ВОЛОКНАМИ ИЛИ СФЕРИЧЕСКИМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ

А.В. Зайцев, А.А. Фукалов, Ю.В. Соколкин

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, zav@pstu.ru, mr_aa@mail.ru)

В рамках полидисперсных моделей механики композитов получены аналитические выражения для эффективных модулей объемного сжатия однонаправленно армированных материалов, трансверсальноизотропные матрицы которых армированы трансверсально-изотроп- ными полыми или сплошными цилиндрическими волокнами различного диаметра и дисперсно-упрочненных композитов, трансверсальноизотропные матрицы которых армированы сплошными или полыми сферическими трансверсально-изотропными включениями различного диаметра. На основе полученных решений спрогнозированы эффективные характеристики полимербетонов и трабекулярной костной ткани, для которой проанализировано изменение модуля объемного сжатия с биологическим возрастом при различной объемной пористости.

Ключевые слова: полидисперсная модель, однонаправленно армированный композит, дисперсно-упрочненный композит, анизотропные полые и сплошные цилиндрические волокна, анизотропные полые и сплошные сферические включения, эффективные модули объемного сжатия.

Современные функциональные двухфазные композиты изготавливаются совмещением анизотропных армирующих элементов: органических арамидных, минеральных базальтовых или керамических волокон, минеральных сферических включений с полиэфирными связующими, наполненными минеральной мраморной, базальтовой или гранитной мукой, или матрицами на основе керамики или наноструктурированного терморасширенного графита. Это, с одной стороны, повышает температурный диапазон эксплуатации элементов конструкций из этих материалов, их износостойкость, способность работать в агрессивных средах, а с другой – приводит к необходимости учета

145

анизотропии деформационных и прочностных свойств всех фаз при построении механических моделей.

Полидисперсная модель З. Хашина [1, 2] позволяет с хорошей инженерной точностью спрогнозировать эффективные упругие и теплофизические свойства широкого класса двухфазных композитов с изотропными элементами структуры. Если использовать «изотропные приближения» в рамках полидисперсных моделей для прогнозирования эффективных упругих модулей материалов с анизотропными фазами, будут получаться верхние оценки, существенно отличающиеся от экспериментальных данных. Поэтому учет анизотропии является одним из способов «редукции» или уточненного описания результатов механических испытаний [3, 4].

Получены аналитические выражения для эффективных модулей объемного сжатия дисперсно-упрочненных материалов, изотропные матрицы которых армированы трансверсальноизотропными полыми или сплошными сферами различного диаметра, а на межфазных поверхностях выполняются условия идеального сопряжения [3]. В качестве примера на основе полученных решений спрогнозированы эффективные характеристики полиэфирного связующего с различным наполнением мраморной или диабазовой мукой, а также полимербетонов со сплошными сферическими анизотропными мраморными, диабазовыми и гранитными минеральными включениями произвольного размера. Исходя из выявленных зависимостей, даны рекомендации по составу полимербетона, который используется для изготовления конструкций ответственного назначения, таких как контейнеры для длительного хранения высокоагрессивных и реакционно-способных твердых и жидких сред [4].

Рассматривая биологические костные ткани, состоящие из высокомодульных и высокопрочных неорганических волокон из кристаллов гидроксилапатита и матрицы в виде органических и коллагеновых волокон как двухфазный композит, линейно упругая однородная трансверсально-изотропная матрица которого

146

армирована сплошными или полыми соосными трансверсальноизотропными круглыми в поперечном сечении волокнами различного диаметра, и принимая гипотезы полидисперсных моделей механики, получены аналитические выражения для эффективных модулей объемного сжатия таких материалов при плоской деформации [5]. Спрогнозированы изменения эффективных упругих характеристик с учетом возрастной внутренней перестройки структуры костной ткани, связанной с увеличением объемной пористости.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант Российского фонда фундаментальных исследований № 15–01–08678).

Список литературы

1.Хашин З. Упругие модули неоднородных материалов // Прикладная механика: тр. Амер. общества инжен.-механ. – 1962. – Т. 29, № 1. – С. 159–167.

2.Хашин З., Розен Б.В. Упругие модули волокнисто-амиро- ванных материалов // Прикладная механика: тр. Амер. общества инжен.-механ. – 1964. – Т. 31, № 2. – С. 223–232.

3.Зайцев А.В., Фукалов А.А. Эффективные модули объемного сжатия дисперсно-упрочненных композитов со сплошными

иполыми анизотропными сферическими включениями // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2010. – № 4. – С. 46–54.

4.Зайцев А.В., Новгородова А.В., Федоров Д.И. Прогнозирование эффективных упругих модулей двухфазных композитов на основе термореактивных смол с минеральным наполнителем // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Аэрокосмическая техника. – 2005. – № 25. – С. 62–68.

5.Распределение напряжений в поперечных сечениях контейнеров из стеклопластика и полимербетона, используемых

147

для длительного хранения высокоагрессивных сред / А.В. Зайцев, А.В. Кислицын, А.В. Кутергин, А.А. Фукалов // Известия Самар. науч. центра РАН. – 2012. – Т. 14, № 4–5. – С. 1230–1234.

6. Зайцев А.В., Соколкин Ю.В., Фукалов А.А. Эффективные модули объемного сжатия при плоской деформации двухфазных однонаправленно армированных композитов с анизотропными полыми и сплошными волокнами // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2011. – № 4. – С. 37–48.

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ДИПОЛЬНОГО МОМЕНТА ПЕПТИДОВ АЛАНИНА

Т.И. Зезина1, О.Ю. Цыбин2

(Санкт-Петербургский государственный политехнический университет,

Санкт-Петербург, Россия, 1zezinat@yandex.ru, 2otsybin@rphf.spbstu.ru)

В данной работе вычисления дипольного момента пептидов аланина в вакууме и в растворе при различных концентрациях выполнены для оценки влияния внешнего воздействия (температуры, амплитуды и ориентации вектора напряженности внешнего электростатического поля). Компьютерное моделирование осуществляли методом молекулярной динамики.

Ключевые слова: биомолекула, пептиды, компьютерное моделирование, молекулярная динамика, дипольный момент, биомолекулярная электроника.

Актуальной задачей исследования биомолекул является определение мгновенного пространственного положения всех составляющих молекулу атомов, т.е. конформационной структуры, а также ее динамики. Запись конформации представляет собой громоздкий набор данных, сложный на этапе вычислений, требующий большого времени для обработки и выявления его основных свойств и закономерностей. Мы предполагаем, что мгновенное значение дипольного момента молекулы может

148

служить информативной упрощенной характеристикой структуры и динамики [1]. Из ранее полученных нами данных известно, что двум различным конформационным состояниям молекулы соответствуют различные значения дипольного момента, поэтому величина дипольного момента пептидов аланина чувствительна к малым структурным изменениям биомолекулярной системы [1]. В частности, такие данные требуются при разработке перспективных пептидных метаматериалов для медицины и новой электроники. Например, при разработке инновационных устройств биомолекулярной электроники требуется детальное понимание процессов внутри- и межмолекулярного переноса заряда, которые, как и многие другие параметры, определяются структурными свойствами биомолекулярной системы. В данной работе величина дипольного момента пептидов рассматривается как чувствительная характеристика, способная откликаться на минимальные изменения структуры биомолекулярной системы в вакууме и водной среде под воздействием внешнего электростатического поля, а также при температурных изменениях.

Наряду с экспериментальными исследованиями методами масс-спектрометрии и радиоимпедансной спектроскопии в нашей лаборатории ведется компьютерное моделирование биомолекулярных систем на основе пептидов в вакууме и водной среде. Компьютерные модели пептидов аланина создаются в пакете Avogadro [2], дальнейшая их модификация – построение водной среды, оптимизация геометрии системы, моделирование пошаговой эволюции биомолекулярной системы методом молекулярной динамики (МД), оценка геометрических изменений в системе и расчет величины дипольного момента – проводится при помощи программ NAMD [3] и VMD [4]. Для пептидов аланина различной длины в водной среде и вакууме были получены динамические сценарии с временным шагом 1 фс и временем моделирования до 100 пс под воздействием внешнего электростатического поля разной амплитуды и направления.

149