Математическое моделирование в естественных науках

и ее горизонтальной проекции, показано (рис. 5), что наиболее выраженный рельеф наблюдается в образце с равноосными зернами, где развивается иерархия складок. Наименее выраженный рельеф реализуется в образце с вытянутыми зернами, нагруженном вдоль направления текстуры. В таком случае, однако, наблюдается локализация пластической деформации на макроуровне.

Работа выполнена в рамках гранта Российского фонда фундаментальных исследований (№ 14-08-00277-а).

Список литературы

1.Романова В.А., Балохонов Р.Р., Карпенко Н.И. Моделирование механического поведения материалов с учетом трехмерной внутренней структуры // Физическая мезомеханика. – 2004. –

Т. 7, № 2. – С. 71–79.

2.Grain structure and texture evolution during friction stir welding of thin 6016 aluminum alloy sheets / U.F.H.R. Suhuddin, S. Mironov, Y.S. Sato, H. Kokawa // Mater. Sci. Eng. A. – 2010. – Vol. 527. – P. 1962–1969.

3.Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: теория и приложения к описанию неупругого деформирования материалов. Ч. 2: Вязкопластические и упруговязкопластические модели // Вестник Пермского национально-

161

го исследовательского политехнического университета. Меха-

ника. – 2011. – № 2. – С. 101–131.

4.Kailas S.V. Material Science. – Bangalore, 2004.

5.Romanova V.A., Balokhonov R.R., Schmauder S. Numerical study of mesoscale surface roughening in aluminum polycrystals under tension // Mater. Sci. Eng. A. – 2013. – Vol. 564. – P. 255–263.

ВОЗНИКНОВЕНИЕ КОНВЕКЦИИ ТРЕХКОМПОНЕНТНЫХ СМЕСЕЙ В КВАДРАТНОЙ ПОЛОСТИ ПРИ НАГРЕВЕ СВЕРХУ

Н.А. Зубова1, Т.П. Любимова1,2

(1Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь, Россия, yanca@yandex.ru,

2Пермский государственный национальный исследовательский университет,

Пермь, Россия, lubimova@psu.ru)

Исследовано возникновение термоконцентрационной конвекции в квадратной полости, нагреваемой сверху и заполненной трехкомпонентной смесью, компоненты которой имеют: 1) отрицательные отношения разделения и 2) отношения разделения разных знаков. Задача решена методом конечных разностей. Получены численные данные о временной эволюции характеристик течения и тепломассопереноса, а также данные о структуре течения и полях концентраций компонент.

Ключевые слова: диффузия, термодиффузия, трехкомпонентная смесь.

В настоящей работе исследуется возникновение конвекции трехкомпонентной смеси в квадратной полости, нагреваемой сверху. Полость имеет твердые непроницаемые для вещества границы. Боковые стенки теплоизолированы, верхняя и нижняя границы поддерживаются при постоянных разных температурах так, что температура верхней границы выше, чем нижней. Задача решается численно, методом конечных разностей, в рамках нестационарного подхода и приближения Буссинеска в терминах функции тока, завихренности, температуры и концентраций при-

162

месей. Уравнение Пуассона для функции тока решается методом последовательной верхней релаксации.

Эффект перекрестной диффузии исключается из уравнений с помощью диагонализации матрицы коэффициентов молекулярной диффузии*. В результате в задаче остаются следующие безразмерные параметры: ψ – вектор отношений разделения смеси компонент, Pr – число Прандтля, Ra – число Релея и диагональная матрица чисел Шмидта Sc.

Для моделирования выбраны две трехкомпонентные смеси с одинаковыми числами Прандтля Pr = 10, числами Шмидта Sc1 = 100 , Sc2 =1000 и отношением разделения второй компо-

ненты ψ2 = –0,2. Отношение разделения первой компоненты в одном случае отрицательно (ψ1 = –0,4), а в другом – положи-

уровню тяжести. В качестве начальных условий выбраны однородное распределение концентраций компонент и установившийся вертикальный градиент температуры.

Численные данные о временной эволюции максимального модуля функции тока и разности концентраций между центрами верхней и нижней границ полости (рис. 1) показывают, что для обеих смесей характерен начальный бесконвективный период, в течение которого молекулы компоненты с отрицательным отношением разделения сосредоточиваются в более нагретой части полости, а молекулы компоненты с положительным – в холодной. Наступление неустойчивости сопровождается резкими скачками интенсивности движения и разности концентраций между верхней и нижней границами для обеих компонент смеси, вне зависимости от знака отношения разделения смеси.

* Ryzhkov I.I., Shevtsova V.M. Long-wave instability of a multicomponent fluid layer with the Soret effect // Phys. Fluids. – 2009. – Vol. 21 (1). – P. 014102.

163

б

Рис. 1. Временная эволюция максимального модуля функции тока

иразности концентраций между центрами верхней и нижней границ;

а– смесь ψ1 = 0,4; б – смесь с ψ1 = –0,4

Конвективное движение, имеющее вихревую форму, формируется возле горизонтальных границ полости, число вихрей соответствует длине волны возмущений (рис. 2). Возникающее конвективное течение приводит к значительному искажению поля концентрации второй компоненты обеих смесей с формированием пальцеобразного распределения.

Для первой компоненты смеси с ψ1 = 0,4 при возникновении неустойчивости изолинии концентрации лишь незначительно деформируются. Поведение первой компоненты смеси с ψ1 = –0,4 качественно повторяет поведение второй компоненты смеси.

164

t = 40.

а

t = 5.

б

Рис. 2. Изолинии функции тока и распределения концентраций компонент смеси: а – смесь ψ1 = 0,4; б – смесь с ψ1 = –0,4 (светлые (темные) области соответствуют большему (меньшему) значению функции тока и концентрации)

Существенную разницу во времени наступления неустойчивости между двумя смесями можно объяснить наличием в первом варианте стабилизирующей первой компоненты с положительным отношением разделения, а во втором варианте– дестабилизирующей компоненты с отрицательным отношением разделении.

Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (грант № 14-01-00090)

165

ЗАПАЗДЫВАНИЕ ВЕКТОРНЫХ СВОЙСТВ ПРИ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОМ ДЕФОРМИРОВАНИИ МАТЕРИАЛОВ ПО ГЛАДКИМ ТРАЕКТОРИЯМ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ

В.Г. Зубчанинов, Е.Г. Алексеева

(Тверской государственный технический университет,

Тверь, Россия, super_aeg@mail.ru)

Рассмотрено свойство запаздывания векторных свойств материалов на гладких траекториях деформирования с участками постоянной кривизны. Дается их классификация по отношению к сложности нагружения.

Ключевые слова: скалярные и векторные свойства материалов, пластичность, сложное нагружение, траектории деформирования, след запаздывания, кривизна траекторий.

Если траектория деформирования является гладкой по определению А.А. Ильюшина [1], то на ней отсутствуют точки из-

лома, и вектор деформаций Э = Э(s) , описывающий эту траекто-

рию в линейном пространстве, имеет только первую непрерывную производную. На рис. 1 в качестве примера в девиаторном пространстве деформаций Э1 − Э3 приведена гладкая траектория в виде прямолинейного участка ОК, который плавно без излома траектории ( ϑ10 = 0 ) переходит в окружность радиусом R, имеющую кривизну κ1 = 1/ R. При этом первая производная в точке K

стыковки участков сложной траектории непрерывна, а вторая производная претерпевает разрыв.

По линеаризованной модели В.Г. Зубчанинова [2] теории процессов для гладких траекторий угол сближения вектора напряжений σ с касательной ктраектории деформирования имеет вид

166

σкт

G – упругий модуль сдвига; σкт – новый предел текучести на диаграмме простого нагружения в точке К излома траектории деформирования; ϑ1* = −κ1 / k = const; в теории средних кривизн принимается α ≈ 0,7 [2].

Для определения следа запаздывания векторных свойств материала λ можно ввести допуск ε = 0,122 (7 ) на угол сбли-

Свойство запаздывания векторных свойств – общее свойство пластически деформируемых материалов [1]. Обычно след запаздывания λ определяется в опытах на двузвенных ломаных траекториях или на прямолинейных участках после деформирования по какому-либо криволинейному участку траектории. Здесь предлагается определять след запаздывания на криволинейных траекториях различной постоянной кривизны κ1 . На

таких траекториях после исчерпания следа запаздывания λ по допуску ε на угол сближения ϑ1 с достаточной для практиче-

ских расчетов точностью устанавливается стационарный режим процесса деформирования с постоянным углом сближения

ϑ1* = −kκ1 = const . Например, если для материала сталь 45 принять σкт = 300 МПа , 2G = 1,54 105 МПа, α = 0,7 , то согласно (2) получим k = 400. На рис. 2 представлены расчетные в соответ-

167

ствии с формулой (1) значения углов сближения ϑ1(s) для различных значений кривизны κ1 окружных траекторий. Как вид-

но, величина λ оказывается различной для разных значений кривизны траекторий.

O

При достижении приращением дуги s после точки К значения следа запаздывания λ по (4) устанавливался режим деформирования с практически постоянным углом сближения ϑ1* по допуску ϑ1 ≤ ε = 0,122 . Расчеты показали, что данному условию соответствует зависимость угла сближения для окружности с κ1 = 50 . Поэтому можно сделать вывод о том, что все

траектории с кривизной из интервала 0 ≤ κ1 ≤ κ* = 50 можно

отнести к траекториям малой кривизны, для которых закон упрочнения Одквиста–Ильюшина σ = Ф(s) приемлем для выпол-

нения в расчетной практике определяющего соотношения А.А. Ильюшина в теории пластичности для траекторий малой кривизны.

На основании зависимостей ϑ1 от s для различной кривизны на рис. 3 приведена зависимость следа запаздывания λ от кривизны κ1 . Как видно, величина λ не является стабильной характеристикой материала.

168

По рекомендации В.С. Ленского [1], траекториями средней кривизны были названы такие, для которых след запаздывания имеет порядок радиуса кривизны λ R или λκ1 = 1. Если принять эту рекомендацию, то из представленной на рис. 4 зависимости следует, что граничное значение κ1** ≈ 250 . Следовательно, можно рекомендовать считать траекториями средней кривизны такие, для которых кривизна траектории κ1 лежит в диапазоне

κ1* =50 ≤ κ1 ≤ κ1** = 250 . В этом случае приемлемые результаты

для практических расчетов дает теория пластичности для траекторий средней кривизны А.С. Кравчука и В.И. Малого [2].

Если κ1 > κ1** , то траектории деформирования относятся

к траекториям большой кривизны и закон упрочнения Одквиста– Ильюшина σ = Ф(s) теряет свою силу, так как он должен явно

зависеть от параметра сложного нагружения κ1 , т.е. σ = Ф(s, κ1) .

В настоящее время это учитывается только в основных соотношениях теории процессов [1, 2].

Список литературы

1.Ильюшин А.А. Труды (1946–1966). Т. 2. Пластичность. –

М.: Физматлит, 2004. – 480 с.

2.Зубчининов В.Г. Механика процессов пластических сред. – М.: Физматлит, 2010. – 352 с.

169

ОЦЕНКИ ВЛИЯНИЯ ДЕФЕКТОВ НА СТАТИЧЕСКУЮ ПРОЧНОСТЬ ДЕТАЛЕЙ И УЗЛОВ АВИАЦИОННЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ

ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

В.Ю. Зуйко1, А.Н. Аношкин2

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, 1zuyko-kt@pstu.ru, 2anoshkin@pstu.ru)

В качестве иллюстрации разрабатываемой методики исследования напряженно-деформированного состояния и оценки остаточной прочности и ресурса композитных конструкций с дефектами выбран фланец кожуха переднего газотурбинного авиационного двигателя. Созданная численная модель в двумерной постановке позволяет проводить предварительную оценку влияния различных дефектов на характер НДС и статическую прочность композитных конструкций.

Ключевые слова: полимерные композиционные материалы, численное моделирование, дефекты, прочность, конечно-элементныйанализ.

Широкое использование композиционных материалов при создании конструкций современной техники требует учета таких факторов, как анизотропия жесткости и прочности, вероятность разрушения вдоль поверхности раздела слоев, а также возможное присутствие дефектов различного характера [1]. Наличие дефектов в авиационной конструкции требует решения ряда взаимосвязанных задач:

1)совершенствование методов обнаружения расслоений в типовых элементах и узлах;

2)определение допустимых размеров дефекта, при которых возможна безопасная эксплуатация конструкции;

3)прогнозирование роста расслоения и оценки момента превышения его допустимых значений;

4)разработка методов ремонта для гарантированного восстановления прочности конструкции [2, 3].

Выделяют следующие основные типы дефектов: сколы, трещины, расслоение, неравномерная пропитка армирующего материала, посторонние включения, поры, вздутие на поверхно-

170