Математическое моделирование в естественных науках

9.Electrowetting-driven oscillating drops sandwiched between two substrates / D. Mampallil, H.B. Eral, A. Staicu, F. Mugele, D. van den Ende // Phys. Rev. E. – 2013. – Vol. 88. – 053015.

10.Lyubimov D.V., Lyubimova T.P., Shklyaev S.V. Behavior

of a drop on an oscillating solid plate // Phys. Fluids. – 2006. – Vol. 18. – 012101.

11. Алабужев А.А. Поведение цилиндрического пузырька под действием вибраций // Вычислительная механика сплошных сред. – 2014. – Т. 7, № 2. – С. 151–161.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ТЕРМИЧЕСКОЙ ДЕНАТУРАЦИИ ДНК

А.Э. Ковыляева1, Д.Г. Мусин1, А.С. Никитюк2, О.Б. Наймарк2

(1Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, annakovilyaeva@gmail.com, musindin@gmail.com,

2Институт механики сплошных сред УрО РАН,

Пермь, Россия, nas@icmm.ru, naimark@icmm.ru)

Разработана математическая модель процесса термической денатурации ДНК. Проведено исследование модели с помощью аналитического и численного методов. Как в первом, так и во втором случаях получены решения, описывающие дискретные бризеры и доменные стенки. Предложен вариант модификации модели, дающий качественно новый тип решений.

Ключевые слова: раковые клетки, термическая денатурация ДНК, повреждение ДНК, денатурационные«пузыри», дискретныебризеры.

Онкологические заболевания являются одной из основных причин заболеваемости и смертности населения во всем мире [1]. Исследование процессов разрушения ДНК имеет принципиальное значение, так как одной из основных причин появления раковых клеток является повреждение ДНК. Водородные связи (взаимодействия внутри пар оснований) и межплоскостные взаимодействия (взаимодействия между парами оснований), стаби-

211

лизирующие двойную спираль ДНК, достаточно слабы, и при относительно небольших воздействиях происходит разделение цепей – процесс, именуемый, денатурацией. Двухцепочечная спираль ДНК легко разрушается при нагревании [2]. Поскольку проводить натурные эксперименты и на их основе исследовать процесс разрушения молекулы ДНК трудоемко, актуальным является использование аппарата математического моделирования применительно к изучению процесса термической денатурации ДНК.

Висследовании рассмотрена простейшая модель Изинга [3].

Вкачестве объекта моделирования выступает молекула ДНК.

Выполнено детальное обследование объекта моделирования и выявлены его основные структурные и функциональные характеристики. Динамическое поведение молекулы ДНК определяется функцией Гамильтона (Гамильтонианом), из которой выводятся уравнения динамики молекулы ДНК. Для исследования разработанной математической модели использовались два метода: аналитический и численный. Обоими методами были получены два типа решений, соответствующих процессу термической денатурации ДНК. Первый носит название «доменные стенки» и соответствует появлению экспериментально установленных денатурационных «пузырей». Второй тип решения, который называется дискретными бризерами, соответствует так называемому «дыханию» молекулы ДНК.

Также в работе предложена модификация Гамильтониана за счет изменения потенциала, описывающего водородные связи внутри пар оснований (в изначальной постановке использовался потенциал Морзе), и получен новый тип решений.

Работа выполнена при финансовой поддержке правительства Пермского края (соглашение № С26/614 от 19.12.2012) и Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 13-01-96044).

212

Список литературы

1.Официальный сайт Всемирной организации здравоохра-

нения [Электронный ресурс]. – URL: http://www.who.int/cancer/ country-profiles/ru/ (дата обращения: 29.06.2015).

2.Наймарк О.Б. Структурно-скейлинговые переходы и локализованные моды дисторсии в двойной спирали ДНК // Физиче-

скаямезомеханика. – 2006. – Т. 9, № 4. – С. 15–29.

3.Peyrard M. Nonliniar dynamics and statistical physics of DNA // Nonlinearity. – 2004. – № 17.

МЕХАНИЗМЫ РЕКРИСТАЛЛИЗАЦИИ В ТИТАНОВЫХ СПЛАВАХ

Н.С. Кондратьев

(Пермский государственный национальный исследовательский университет,

Пермь, Россия, kondratevns@gmail.com)

Предлагается подход к модификации физической двухуровневой модели, ориентированной на описание неупругого деформирования титановых сплавов в области высоких температур с учетом процессов динамической рекристаллизации, динамического возврата и деформационного упрочнения. На основе проведенного обзора литературы проанализированы физические механизмы рекристаллизации, для которых предлагается математическое описание в рамках статистической физической модели неупругого деформирования. В отличие от большинства существующих статистических моделей разрабатываемая модель позволяет описать эволюцию зеренной структуры, которая претерпевает существенные изменения в процессе рекристаллизации.

Ключевые слова: физические теории пластичности, динамическая рекристаллизация, динамический возврат, деформационное упрочнение.

В настоящее время широкое распространение во многих областях промышленности, в первую очередь в авиа- и ракетостроении, получили материалы, созданные на основе титана и его сплавов. Деформирование таких металлов, как правило, осущест-

213

вляется при повышенных температурах с целью экономии энергетических затрат. В титановых сплавах при интенсивных пластических деформациях и высоких температурах реализуются различные процессы, влияющих на внутреннюю (дефектную и зеренную) структуру сплава: деформационное упрочнение, динамический возврат, динамическая рекристаллизация, фазовые переходы. Поскольку внутренняя структура определяет характеристики готового изделия и свойства материала, то корректное математическое описание реальных физических процессов, проходящих в поликристаллических материалах, является актуальной задачей в механике деформируемого твердого тела [1]. Для описания неупругого поведения кристаллов эффективным представляется физический подход, основанный на явном рассмотрении механизмов и носителей неупругого деформирования на различных масштабных уровнях. В рамках данного подхода перспективным является использование статистических моделей

иразличных модификацией на их основе [2].

Вработе предлагается описание неупругого деформирования двухфазных титановых сплавов при температурах и нагружениях, которые не приводят к твердотельным фазовым переходам, но при интенсивно протекающих процессах рекристаллизации, возврата и упрочнения. Подход к описанию последних двух явлений рассмотрен в исследовании [3]. Целью настоящей работы является тщательный физический анализ процесса динамической рекристаллизации и его последующее математическое описание в титановых α+β двухфазных сплавах. Мезоструктура рассматриваемого материала состоит из основных вытянутых

α-кристаллитов, вторичных α′-ламелей с гексагональной плотноупакованной решеткой и остаточной β-фазы, имеющей объ- емно-центрированную решетку и форму ламелей, параллельных α′-пластинкам. В рассматриваемом сплаве рекристаллизация реализуется по двум существенно отличающимся механизмам: «нормальному» и «альтернативному». «Нормальный» механизм заключается в зарождении новых зерен в областях существен-

214

ных искажений решеток (границы фаз, зерен, двойников, полосы сдвига) и их последующем росте. Такой механизм имеет место в материалах с низкой энергией дефекта упаковки, когда процесс динамического возврата существенно затруднен; в рассматриваемом сплаве проходит в β-фазе. Движущей силой появления нового кристаллита и его дальнейшего роста является разность плотности дислокаций в соседних зернах, которая предполагается пропорциональной запасаемой энергии [4, 5 и др.]. В процессе пластической деформации в новых зернах происходит увеличение плотности дислокаций, поэтому движущая сила роста границы наоборот падает и рекристаллизация прекращается. Другим фактором, замедляющим процесс роста, является столкновение растущих зерен при миграции границы [5].

В α′- и α-фазах происходит рекристаллизация по так называемому «альтернативному» сценарию, что связано с высокой энергией дефекта упаковки, достаточной для реализации динамического возврата. В работах ряда исследователей титановых сплавов [6–8 и др.] приводится описание процесса образования равноосных мелких зерен из α′-пластинок – процесс глобуларизации, который многими исследователями рассматривается как отдельный механизм рекристаллизации. Его идея заключается в следующем [7]: пластическая деформация приводит к образованию полос сдвига, в которых увеличивается плотность дислокаций обоих знаков, и одновременно с этим дислокации разных знаков аннигилируют в результате процесса возврата при повышенных температурах. Оставшиеся дислокации одного знака фрагментируют α′-ламель, далее β-фаза проникает в α′-пластин- ки вдоль сдвиговых плоскостей и получившиеся α′-частицы, стремясь минимизировать свою поверхностную энергию, приобретают шарообразную форму.

В α-фазе, имеющей высокую энергию дефекта упаковки, рекристаллизация может проходить по иному сценарию, реализующему «альтернативный» процесс рекристаллизации. Указан-

215

ная рекристаллизация может осуществляться многими способами [5]. Первый из них называется геометрической динамической рекристаллизацией (англ. geometric dynamic recrystallization, сокр. GDRX) и заключается в следующем. В процессе пластической деформации в кристаллах происходит динамический возврат, в результате чего в зернах появляются субзерна, а граница зерен становится зубчатой и волнистой, увеличивая разориентацию между зернами. Дальнейшие интенсивные пластические деформации постепенно «вытягивают» зерна с высокоугловыми границами, содержащие фрагменты малоугловых границ, до тех пор, пока их толщина не становится сопоставимой с фрагментами. В дальнейшем происходит взаимопроникновение зерен, которое видоизменяет высокоугловые границы. В результате образуются небольшие равноосные зерна, сравнимые по размерам с фрагментами, но с высокоугловыми границами. Другой способ альтернативной рекристаллизации осуществляется за счет активного разворота субзерен в отсутствии миграции границ зерен [5]. При этом происходят последовательные развороты субзерен, начиная от границ зерен, т.е. субзерна, находящиеся в центре зерна, могут не изменить ориентацию, а у границ иметь высокоугловую разориентацию. Такой процесс носит название ротационной динами-

ческой рекристаллизации (англ. rotation dynamic recrystallization,

сокр. RDRX). Вышеупомянутые механизмы могут реализовываться параллельно, и в экспериментальных исследованиях их сложно разделить. Другой механизм «альтернативной» рекристаллизации [9] заключается в том, что при невысоких интенсивностях деформаций (примерно 5–10 %) формируется ячеистая структура в результате самоорганизации дислокаций при пластическом деформировании. Образуются размытые толстые границы ячеек, внутри которых плотность дислокаций невелика. В результате дальнейшей деформации границы становятся более узкими, плотность дислокаций в ячейках уменьшается, а в границах увеличивается, малоугловые границы субзерен (ячеек) переходят в высокоугловые, и их скорость миграции резко возрастает.

216

Предполагается, что зародышами центров рекристаллизации являются наиболее разориентированные, совершенные, крупные ячейки, которые растут за счет окружающих субзерен.

На основе описанных физических механизмов рекристаллизации предлагается математическое описание в рамках двухуровневой статистической модели, основанной на физическом подходе. Разрабатываемая модель в отличие от большинства существующих статистических моделей позволяет, помимо дефектной структуры, учитывать эволюцию мезоструктуры.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 13-01-96006

р_урал_а, 14-01-00069-а, 15-08-06866-а).

Список литературы

1.Трусов П.В., Волегов П.С., Кондратьев Н.С. Физические теории пластичности – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн.

ун-та, 2013. – 244 с.

2.Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Статистические модели // Физическая мезомеханика. – 2011. – Т. 14, № 4. – С. 17–28.

3.Трусов П.В., Кондратьев Н.С. Двухуровневая модель для описания неизотермического деформирования двухфазных поликристаллов // Вычислительная механика сплошных сред. – 2014. – Т. 7, № 2. – С. 181–199.

4.Fatemi-Varzaneh S.M., Zarei-Hanzaki A., Vaghar R. Discontinuous dynamic recrystallization during accumulative back extrusion of a magnesium alloy // Journal of ultrafine grained and nanostructured materials. – 2013. – Vol. 46, № 1. – Р. 25–29.

5.Humphreys F.J., Hatherly M. Recrystallization and Related Annealing Phenomena. – Oxford: Elsevier, 2004. – 605 p.

6.Abbasi S.M., Momeni A. Effect of hot working and postdeformation heat treatment on microstructure and tensile properties

of Ti-6Al-4V alloy // Trans. Nonferrous Met. Soc. – 2011. – Vol. 21. – P. 1728–1734.

217

7.Hot deformation and microstructural damage mechanisms in extra-low interstitial (ELI) grade Ti–6Al–4V / T. Seshacharyulu, S.C. Medeiros, J.T. Morgan, J.C. Malas, W.G. Frazier, Y.V.R.K. Prasad // Mater Sci Eng A. – 2000. – Vol. 279. – P. 289–299.

8.An experimental study of deformation mechanism and microstructure evolution during hot deformation of Ti–6Al–2Zr–1Mo– 1V alloy / D. He, J.C. Zhu, Z.H. Lai, Y. Liu, X.W. Yang // Materials and Design. – 2013. – Vol. 46. – P. 38–48.

9.Aust K.T., Rutter J.W. Grain boundary migration in highpurity lead and dilute lead-T in alloys // Trans. AIME. – 1959. – Vol. 215. – Р. 119–127.

МНОГОМОДОВАЯ РЕОЛОГИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ВИСКОЗИМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ РАСТВОРОВ И РАСПЛАВОВ РАЗВЕТВЛЕННЫХ ПОЛИМЕРОВ

О.А. Кондратьева, Д.А. Мерзликина, Н.А. Черпакова

(Алтайский государственный технический университет,

Барнаул, Россия, nadja-cherpakova@mail.ru)

Предложена новая реологическая мезоскопическая модель, учитывающая множественность релаксационных процессов в динамике текучих полимерных сред. Преимущества модели продемонстрированы на примере описания стационарных и нестационарных вискозиметрических функций при простом сдвиге и одноосном растяжении для двух образцов полимерных расплавов.

Ключевые слова: реология, расплавы полимеров, мезоскопический подход, реологическое уравнение состояния, вискозиметрические течения.

На сегодняшний день всё более важной становится проблема минимизации расходов при производстве и переработке полимеров. Решение данной задачи возможно с помощью оптимизации технологических процессов производства и переработ-

218

ки полимеров, что, в свою очередь, невозможно без математического моделирования поведения полимеров в различных условиях. Задача построения математической модели существенно усложняется при рассмотрении течений растворов и расплавов полимеров, поскольку имеют место нелинейные эффекты, которые необходимо учитывать.

Экспериментальные исследования различных полимерных жидкостей показывают их нелинейное вязкоупругое поведение. Для описания такого поведения были предложены разнообразные модели, которые описывают реологическое поведение полимерных жидкостей как на качественном, так и на количественном уровнях. Многомодовый характер динамики текучих полимерных сред или множественность релаксационных процессов проявляется уже в случае исследования течений разбавленных растворов гибкоцепных монодисперсных полимеров. Увеличение концентрации полимера в системе приводит к зацеплению макромолекул, их динамика усложняется, между частями макромолекулы возникают «длинномасштабные» взаимодействия [1]. Это приводит к дополнительным слагаемым в тензоре напряжений полимерной системы или к учету новых релаксационных процессов со«сверхмедленными» временами релаксации.

Для описания динамики концентрированных полимерных систем должна быть использована достаточно надежная реологическая модель, полученная с применением мезоскопического подхода. В качестве такой модели в работе используется модифицированная реологическая модель Виноградова–Покровского. Главной особенностью этой модели является учет тензорного характера коэффициента трения бусинок, который связан с наведенной анизотропией сдвигового потока. Такая анизотропия определяется размерами и формой макромолекулярного клубка, и это приводит к появлению в уравнениях динамики соответствующих коэффициентов [2]. Обобщение этой модели на многомодовый случай имеет вид

219

градиентов скорости; γik – симметризованный тензор градиентов скорости; α – порядковый номер моды; n – общее количество релаксационных мод; aαjk – вклад моды с номером α в безраз-

мерный тензор дополнительных напряжений; ηα – коэффициент вязкости моды с номером α; τα – время релаксации моды с номером α; – параметры анизотропии, которые определяются выражениями

(2)

При работе с выражениями (2) изначально было сделано предположение, что значения параметров наведенной анизотропии не зависят или зависят незначительно от номера моды, однако сравнение с экспериментами показало некорректность данного предположения, поэтому необходимо учитывать зависимость значений параметров наведенной анизотропии от номера моды.

В связи с тем, что влияние параметров наведенной анизотропии для каждой конкретной моды неодинаково, нужно рассматривать каждую моду в отдельности, что отражено при записи выражений (2). Таким образом, система уравнений (1), (2) определена с точностью до параметров ηα, τα, fα, pα, qα, которые подлежат определению из экспериментов. Число этих параметров достаточно велико, особенно при большом числе мод.

Для начала рассмотрим, как определяются параметры ηα, τα. Это размерные параметры: ηα имеет размерность вяз-

220