Математическое моделирование в естественных науках

u = 12 (F − I − w# ) : (C + c Π) : (F − I − w# ) ,

где Π ≡ δ2 (CII + CIII − CI ) , а CI = II , CII = eiIei , CIII = eie jeie j –

изотропные тензоры четвертого ранга. В натурных экспериментах, как и в динамических методах, определяются именно компоненты тензора C + c Π. В статических методах без учета

внутренних смещений определяется только тензор C, что может являться для них одной из причин расхождения экспериментальных и расчетных значений. Далее будем обозначать C ≡ C + c Π. Для вычисления компонент тензора C через вторые

производные от плотности упругой энергии u, которая в энергетическом подходе приравнивается плотности потенциальной энергии образца u = φ(F,δ) / V0 , т.е. выражений:

в работе также получены выражения для появившихся вторых производных в виде «быстрых сумм», не требующих численного дифференцирования при выполнении расчетов:

101

где a – равновесное межатомное расстояние (2), выражения Hij(m,k ,l ) , Kij(m,k ,l ) от степенных параметров потенциала Ми и индексов k, l упругих модулей:

Hij(m,k ,l ) = ((2 + m)(b(ij ) )2k − b(2ij) )(b(ij) )l2 b(−ijm) −4 ,

Kij(m,k ,l ) = (2 + m)(b(ij) )2k (b(ij) )l2 b(−ijm) −4 .

С помощью полученных выражений найдены зависимости параметра внутренних смещений δ (4) и упругих модулей

(9) от размеров образца при низких температурах (рис. 1), причем полученные асимптотические значения упругих модулей графена дали наилучшее теоретическое приближение к экспериментальным значениям (таблица) по сравнению со всеми другими оценками.

Имитация процесса нагрева образца графена осуществлялась с помощью наложения случайных смещений атомов с заданной амплитудой A смещений при равномерном распределении направления смещений в пространстве [6–7]. Полученные в работе «быстрые суммы» позволили получить зависимости упругих модулей от безразмерного температурного параметра A/α в серии вычислительных экспериментов, когда для каждого значения амплитуды было получено 2000 реализаций возмущенных конфигураций кристалла. Точки на зависимостях (рис. 2–4) получены в результате осреднения значений соответствующих величин по всем возмущенным конфигурациям.

102

Учет температуры позволил получить точное соответствие расчетной оценки коэффициента Пуассона ν и его экспериментально определенных значений, найденных различными методами в [4–5] при ненулевых температурах (пунктирные линии на рис. 3, б). Неожиданным результатом при исследовании влияния нагрева на упругие модули слоя графена стало появление (при коррекции с учетом внутренних смещений) несимметрии упругого отклика (рис. 4), которое оценивалось с помощью параметра

отклонение от симметрии упругих свойств графена является дискуссионным и требует дальнейшего исследования.

Заключение

В работе получены точные выражения в виде конечных сумм, которые позволяют значительно ускорить расчеты упругих модулей кристаллов в статическом подходе дискретноатомистического моделирования, включая учет внутренних смещений подрешеток графена и исследование влияния на упругие модули разогрева образца. Ускорение с помощью использования полученных выражений достигается из-за исключения процедуры численного дифференцирования плотности упругой энергии для деформированного тела. С помощью полученных выражений найдены зависимости упругих модулей графена от размеров образца и температурного параметра. Полученные оценки упругих модулей при найденных значениях параметров варианта потенциала Ми межатомного взаимодействия дают точное соответствие расчетных величин со всеми экспериментально определенными упругими модулями графена, кроме изгибной жесткости, которая в работе не исследовалась. Полученные быстрые суммы с некоторыми корректировками могут быть использованы для прогнозирования упругих модулей и других материалов с кристаллической микроструктурой.

105

Работа выполнена в рамках задания № 2014/152 на выполнение государственных работ в сфере научной деятельности в рамках базовой части госзадания Минобрнауки РФ (код проекта – 1911).

Список литературы

1.Черных К.Ф. Введение в анизотропную упругость. – М.:

Наука, 1988. – 190 с.

2.Беринский И.Е., Кривцов А.М. Об использовании многочастичных межатомных потенциалов для расчета упругих характеристик графена и алмаза // Известия РАН. Механика твер-

дого тела. – 2012. – № 6. – С. 60–85.

3.Зубко И.Ю. Вычисление упругих модулей монослоя графена в несимметричной постановке с помощью энергетического подхода // Физическая мезомеханика. – 2015. – Т. 18,

№2. – С. 37–50.

4.Blakslee O.L., Proctor D.G., Seldin E.J. Elastic constants of compression annealed pyrolytic graphite // J. Appl. Phys. – 1970. – Vol. 41, № 8. – P. 3373–3389.

5.Bosak A., Krisch M., Mohr M., Maultzsch J., Thompsen C. Elasticity of single-crystalline graphite: inelastic X-ray scattering study // Phys. Rev. B. – 2007. – Vol. 75. 153408 (4 pp.)

6.Зубко И.Ю., Кочуров В.И. Определение точки фазового перехода в материалах с кубической решеткой с помощью атомистического подхода // Вестник Уфим. гос. авиац. техн. ун-та. – 2013. – Т. 17, № 5 (58). – С. 237–244.

7.Зубко И.Ю., Остапович К.В. Метод контроля температуры при исследовании упругих свойств материалов с кристаллической микроструктурой в статическом подходе при дискретноатомистическом моделировании // Известия Самар. науч. центра Рос. акад. наук. – 2014. – Т. 16, № 4–3. – С. 563–567.

106

МОДЕЛИРОВАНИЕ МАГНИТНОГО ОТКЛИКА НАНОЧАСТИЦ ГЕМАТИТА

Е.А. Гребнева1, И.С. Поперечный2

(1Пермский государственный национальный исследовательский университет,

Пермь, Россия, GrebnevaEA@ya.ru,

2Институт механики сплошных сред УрО РАН)

Рассматривается поведение частиц гематита в различных условиях: без приложения внешнего магнитного поля, при воздействии слабым и сильным магнитными полями.

Ключевые слова: антиферромагнитные вещества, альфа-окись железа, намагничивание.

Гематит (α-Fe2O3) – это вещество, являющееся тригональным анитиферромагнетиком. Особенностью гематита является то, что его свойства меняются при изменении температуры. При температуре T < 250 K намагниченности подрешеток направлены вдоль главной оси кристалла и антипараллельны. При 250 K < T < 950 K элементарные магнитные моменты разных подрешеток неколлинеарны, в результате чего возникает небольшой спонтанный магнитный момент. А при T > 950 K гематит становится парамагнетиком.

В данной работе изучена координатная зависимость энергии наночастиц гематита. Рассмотрена сферическая система координат с полярной осью Oz вдоль главной кристаллической оси, в этом случае указанная энергия имеет вид [2]:

+D2 mz cos ϑ + sin ϑ(mx cos φ + my sin φ) 2 + +e cos 6φsin6 ϑ + fmz sin3 ϑ cos3φ,

107

где mx, my и mz – компоненты магнитного момента, а углы ϑ и ϕ характеризуют направление единичного вектора антиферромагнетизма. Второе и шестое слагаемые в (1) отвечают обменному взаимодействию, а все остальные члены – энергии анизотропии разного порядка.

При исследовании данного потенциала были найдены минимумы энергии и соотношения констант для каждого из состояний, зависящих от температуры.

На втором этапе рассмотрено поведение частиц гематита в приложенном слабом магнитном поле. В этом случае вид исследуемого потенциала немного изменяется, появляется слагаемое, содержащее в себе энергию возмущения. Это позволяет вычислить компоненты тензора магнитной восприимчивости.

108

На третьем этапе изучения был рассмотрен случай приложения сильного магнитного поля. В этом случае потенциал (1) изменит свой вид, так как можно пренебречь слагаемыми, которые описывают анизотропию в плоскости. Для случая приложения сильных полей под разными углами к частице получены петли гистерезиса (рисунок).

Список литературы

1.Yin-Yuan Li. Domain Walls in Antiferromagnets and the Weak Ferromagnetism // Phys. Rev. – 1956. – 101. – Р. 1450.

2.Dzyaloshinsky I. A thermodynamic theory of “weak” ferromagnetism of antiferromagnetics // Phys. Chem. Solids. – 1958. – 4. – Р. 241–255.

3.Neel L., Pauthenet R. C.R. Acad. Sci. – 1952. – 2172.

4.Roeder L. Anisotropic Magnetic Hydrogels with alpha-Fe2O3 Ellipsoids. Benediktbeuern, Germany. 13. Deutscher Ferrofluid-Work- shop. – September 25–27, 2013.

5.Roeder L. Covalent Ferrohydrogels Based on Elongated Particulate CrossLinkers. Macromolecules. – 2014. – 7200–7207.

МОДЕЛЬДЛЯОПИСАНИЯЭВОЛЮЦИИПЛОТНОСТИДИСЛОКАЦИЙ

Д.С. Грибов, П.С. Волегов

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, gribowdmitrii@yandex.ru)

Рассматриваются механизмы изменения плотности краевых дислокаций при пластическом деформировании поликристаллических материалов. Рассмотрены процессы аннигиляции и генерации дислокаций, образования барьеров, запирание систем скольжения.

Ключевые слова: плотность дислокаций, дислокации, системы скольжения.

В настоящее время проблема описания поведения кристаллических материалов в широком диапазоне воздействий

109

является актуальной, при этом наиболее перспективными представляются модели, учитывающие эволюцию микроструктуры (включая дефектную структуру). Кристаллические материалы по своей природе дискретны, их структура включает объекты различных масштабов и природы (зёрна, границы, дефекты решетки), однако применение континуальных подходов позволяет осреднить свойства этих объектов по некоторому объему и построить модели их взаимодействия, адекватно описывающие протекающие процессы. Континуальный подход позволяет описывать поведение различных объемов материала, включающий в себя совокупность сотен

итысяч кристаллитов – макроуровень, мезоуровень, это области кристаллитов с примерно идеальной кристаллической решеткой и осредненными механическими свойствами. Используя континуальный подход, можно описать и дислокационные структуры: плотности дислокаций на системах скольжения (СС) с их разделением на мобильные и иммобильные,

иэволюцию точечных дефектов в объеме кристаллита. Самым простым видится следующий вид эволюционного уравнения для плотностей дислокаций по СС [1]:

где ρ(i) – это общая плотность краевых дислокаций на i-й СС, ρ(mi) и ρim(i) – плотность мобильных и иммобильных дислокаций

на i-й СС. Гипотеза о возможности разделения дислокаций на мобильные и иммобильные связана с появлением барьеров скольжению дислокаций: дислокации при взаимодействии друг с другом или другими дефектами кристаллической решетки не могут продолжать скольжение по некоторой СС. Это явле-

110