Математическое моделирование в естественных науках

кости, τα – размерность времени. Для того чтобы подобрать значения параметров анизотропии были изучены вклады каждой из мод и значения fα и pα определялись на каждом из участков зависимости стационарной вязкости при одноосном растяжении. При этом было получено, что как fα, так и pα являются немонотонными функциями номера моды α. Сначала эти параметры возрастают с ростом α, а затем начинают убывать. При этом их максимумы приходятся на середину интервала изменения α = 5. Поэтому в работе для этих параметров использовались выражения

(3)

При построении графиков, отражающих указанные зависимости, можно сделать вывод, что зависимость стационарной вязкости при растяжении носит немонотонный характер с одной или несколькими точками перегиба. С увеличением параметра B величина максимума на этой зависимости уменьшается. При P = 0 немонотонный характер зависимости изменяется на монотонный. Таким образом, видно, что подбором параметров B и P можно достаточно точно описать зависимость стационарной вязкости от скорости растяжения.

Также были построены графики градиентных зависимостей вязкости при сдвиге и растяжении, из которых видно, что модель (1) с достаточной точностью описывает аномалию сдвиговой вязкости и немонотонную зависимость элонгационной вязкости. При этом видно, что для модели (1) выполняется правило Кокса–Мерца [2, 3]. Также были рассмотрены нестационарные зависимости установления вязкости и коэффициента первой разности нормальных напряжений при простом сдвиге. Из графиков видно, что при малых скоростях сдвига наблюдается монотонный выход измеряемых значений на стационарное значение, а при больших скоростях сдвига измеряемые зависимости проходят через максимум.

221

В связи с этим можно сделать вывод: несмотря на то, что предложенная многомодовая модель и получена как развитие теоретических представлений о динамике линейных полимерных цепей, она позволяет достаточно точно описывать стационарные и нестационарные зависимости вискозиметрических функций расплавов разветвленных полимеров. При этом следует ожидать, что полученная здесь модель окажется пригодной и для концентрированных растворов и расплавов линейных полимеров. Также можно использовать эту модель и для моделирования более сложных течений текучих полимерных сред.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 15-41- 04003а_сибирь).

Список литературы

1.Pokrovskii V.N., Altukhov Yu.A., Pyshnograi G.V. The mesoscopic approach to the dynamics of polymer melts: consequences for the constitutive equation // Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. – 1998. – Vol. 76, № 1–3. – P. 153–181.

2.Гусев А.С., Пышнограй Г.В. Частотные зависимости динамических характеристик линейных полимеров при простом сдвиге // Механика композиционных материалов и конструк-

ций. – 2001. – Т. 7, № 2. – С. 236–245.

3.Гусев А.С., Макарова М.А., Пышнограй Г.В. Мезоскопическое уравнение состояния полимерных сред и описание динамических характеристик на его основе // Инженерно-физичес-

кий журнал. – 2005. – Т. 78, № 5. – С. 55–61.

222

ОПИСАНИЕ УПРОЧНЕНИЯ В МОНОКРИСТАЛЛАХ ПРИ НЕУПРУГОМ ДЕФОРМИРОВАНИИ

Н.В. Котельникова1, П.С. Волегов2

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, 1natashagreat@rambler.ru, 2crocinc@mail.ru)

Описана математическая модель неупругого деформирования монокристалла с учетом упрочнения. Основное внимание уделено физическим причинам и механизмам эволюции дефектной структуры материала. Рассматривается взаимодействие дислокаций на различных системах скольжения, в том числе с образованием барьеров, препятствующих дальнейшему скольжению. Разработан алгоритм численной реализации модели монокристалла, проведены тестовые расчеты для оценки адекватности построенной математической модели.

Ключевые слова: физические теории пластичности, неупругое деформирование, монокристалл, упрочнение.

В работе исследуются процессы неупругого деформирования монокристаллов с учетом упрочнения. Эволюция микроструктуры материала, в первую очередь эволюция его дефектной структуры, влечет за собой значительные изменения его свойств на макроуровне. Можно заключить, что, управляя изменением мезо- и микроструктуры материала, можно управлять и свойствами материала на макроуровне.

Таким образом, построение математических моделей, учитывающих эволюцию физико-механических свойств моно- и поликристаллов в процессах неупругих деформаций, является актуальной задачей. В создаваемой модели необходимо рассматривать закономерности изменения структуры материала, которые зависят от рассматриваемых физических механизмов деформации. Пластическая деформация является следствием движения дислокаций, поэтому взаимодействие последних необходимо тщательно исследовать.

Ключевым моментом в работе является описание упрочнения, причем это описание основывается на методологии физических теорий пластичности [1–4]. Упрочнением (на макро-

223

уровне) называют явление, при котором для продолжения пластической деформации образца требуется прикладывать все большую нагрузку; основной причиной этого на микроуровне является формирование барьеров, препятствующих движению дислокаций внутри зерен.

Для корректного описания упрочнения требуется точно учитывать механизмы неупругого деформирования материала. Выбор конкретного вида принимаемого закона упрочнения зависит от того, рассматриваются ли те или иные процессы (например, склонность материала к образованию расщепленных дислокаций), учитываютсяли границывнутри кристалла(какв статьях [5, 6]) и т.д.

В данной работе предлагается учитывать как накопленные сдвиги, так и взаимодействие систем скольжения между собой. Результатом такого взаимодействия может быть как аннигиляция (взаимоуничтожение) дислокаций, так и образование различных барьеров (например, Ломера–Коттрелла), которые являются серьезным препятствием для движения дислокаций и, следовательно, значительно упрочняют материал.

При реализации модели в качестве нагружения принят чистый сдвиг. Для зерна используется следующая система соотношений:

где σ– тензор напряжений Коши; п – тензор четвертого ранга упругих свойств кристаллита; d, de , din – тензор деформации скоро-

сти, его упругая и неупругая составляющие на мезоуровне; γ(k ) , τ(ck ) – накопленный сдвиг и критическое напряжение сдвига по

224

k-й системе скольжения; b(k ) , n(k ) – единичные векторы в направ-

лении вектора Бюргерса инормали к плоскости скольжения. Математически задача сводится к интегрированию системы

ОДУ. Интегрируя d и σ, получим соответственно тензор деформации итензор напряжений в каждыймомент деформирования.

В ходе исследований рассмотрено несколько вариантов закона упрочнения с учетом различных типов взаимодействия дислокаций. Оценить работоспособность модели можно путем сравнения полученных кривых зависимости интенсивности напряжений от интенсивности деформации с результатамиэкспериментов.

Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ № МК-4917.2015.1, гранта Российского фонда фундаментальных исследований № 14-01-96008 р_урал_а.

Список литературы

1.Трусов П.В., Волегов П.С., Кондратьев Н.С. Физические теории пластичности: учеб. пособие. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2013. – 244 с.

2.Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: теория и приложения к описанию неупругого деформирования материалов. Ч. 3. Теории упрочнения, градиентные теории // Вестник Пермского национального исследовательского политехническогоуниверситета. Механика. – 2011. – №3. – С. 146–197.

3.Trusov P.V., Volegov P.S. Internal variable constitutive relations and their application to description of hardening in single crystals // Physical Mesomechanics. – 2010. – Т. 13, №3–4. – С. 152–158.

4.Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: приложение к описанию упрочнения в поликристаллах // Вестник Тамбов. ун-та. Сер.: Естественные и технические нау-

ки. – 2010. – Т. 15, № 3–1. – С. 983–984.

5.Трусов П.В., Волегов П.С., Янц А.Ю. Описание внутризеренного и зернограничного упрочнения моно- и поликристал-

225

лов // Науч.-техн. ведомости С.-Петербург. гос. политехн. ун-та.

Физ.-мат. науки. – 2010. – Т. 2, № 98. – С. 110–119.

6. Кондратьев Н.С., Трусов П.В. Описание упрочнения систем дислокационного скольжения за счет границ кристаллитов в поликристаллическом агрегате // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета.

Механика. – 2012. – № 3. – С. 78–97.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ РЕОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРИ ОПИСАНИИ ВТОРИЧНЫХ ТЕЧЕНИЙ ПОЛИМЕРНЫХ РАСПЛАВОВ

К.Б. Кошелев1, А.Е. Кузнецов2, М.Ю. Толстых2

(1Институт водных и экологических проблем СО РАН,

Барнаул, Россия, koshelevkb@mail.ru,

2Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова,

Барнаул, Россия, san-smith@mail.ru, mister.tolstykh.m@mail.ru)

Рассмотрено влияние температуры полимерного расплава на размеры вихревой области в течении на входе в щелевой канал. Для решения задачи математического моделирования трехмерного течения полимерного расплава в сходящемся плоскопараллельном канале используется модифицированная реологическая модель Виноградова– Покровского, обобщенная для учета немонотонного характера градиентной зависимости вязкости при растяжении.

Ключевые слова: реология, вязкость, температурная зависимость, расплавы полимеров, параллельные вычисления, реологическое уравнение состояния, трехмерные течения.

На сегодняшний день большинство технологических процессов, связанных с промышленной переработкой полимеров, производится в вязкотекучем состоянии, причем многие из этих процессов (например, экструзия, литье, выдувание и др.) осуществляются в областях со сложной геометрией, в частности в сходящихся каналах.

В связи с этим большое число научных работ посвящено изучению течений расплавов и растворов полимеров в различных

226

сходящихся каналах. Многие исследования отмечают наличие вторичных течений (вихрей) в области входа в щелевой канал. Размеры вихрей зависят от реологических характеристик полимерного образца, скороститечения, температурыи другихфакторов.

Данная работа посвящена решению задачи математического моделирования трехмерных течений нелинейной вязкоупругой жидкости в плоскопараллельном канале с внезапным сужением. В качестве реологического уравнения состояния используется модифицированная реологическая модель Виногра- дова–Покровского [1–3]. Для получения дискретных аналогов применяется метод контрольного объема с разделением по физическим процессам. При этом разработка численного алгоритма проводилась таким образом, чтобы его можно было реализовать с использованием графических процессоров на основе технологии параллельных вычислений CUDA.

Течения в плоскопараллельном канале с внезапным сужением обычно называют сходящимися течениями или течениями входа. Для расчетов таких течений необходимо определить численные значения параметров реологической модели ρ, κ, β, η0 и τ0. Для этого обратимся к экспериментальным данным по зависимости стационарной сдвиговой вязкости от скорости сдвига [4]. Параметры модели подбирались из условия наилучшего совпадения экспериментальных и теоретических зависимостей. Результаты сравнения этих зависимостей приведены на рис. 1. Для полиэтилена низкойплотности значения η0 и τ0 представленыв таблице.

227

поля течения. Кроме того, отмечено, что в исследуемом вихревом течении существует винтовой поток, который направлен к стенкам резервуара.

Все перечисленные эффекты обнаруживаются при проведении численного эксперимента. На рис. 2 показана зависимость размера вихря от выбранного сечения по оси Oz при температуре 135 °C.

Рис. 2. Зависимость размера вихря от выбранного сечения по оси Oz при температуре 135 °C

Таким образом, в работе продемонстрирована возможность выполнения расчетов в областях со сложной геометрией на базе модифицированной реологической модели Вино- градова–Покровского; проведено сравнение с имеющимися в литературе экспериментальными данными; изучено влияние реологических характеристик (время релаксации) расплавов полимеров на вид вторичных течений в области входа в щелевой канал.

229

Авторы выражают глубокую признательность Сибирскому суперкомпьютерному центру и кластеру Нижегородского государственного университета за возможность проведения расчетов. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 15-41-04003 а сибирь).

Список литературы

1.Определяющее уравнение нелинейных вязкоупругих (полимерных) сред в нулевом приближении по параметрам молекулярной теории и следствия для сдвига и растяжения / Г.В. Пышнограй, В.Н. Покровский, Ю.Г. Яновский, И.Ф. Образцов, Ю.А. Карнет // Доклады АН. – 1994. – T. 335, № 9. – C. 612–615.

2.Кошелев К.Б., Пышнограй Г.В., Толстых М.Ю. Моделирование трехмерного течения полимерного расплава в сходящемся канале с прямоугольным сечением // Известия РАН. Механика жидкости и газа. – 2015. – № 3. – С. 3–11.

3.Кузнецов А.Е., Толстых М.Ю., Кошелев К.Б. Зависи-

мость гидродинамических характеристик течения полимерного расплава в сходящемся канале от температуры // Реология и физико-химическая механика гетерофазных систем: сб. по материалам IV конф. молодых ученых. – М., 2015. – С. 43–46.

4. Hertel D., Valette R., Münstedt H. Three-dimensional entrance flow of a low-density polyethylene (LDPE) and a linear lowdensity polyethylene (LLDPE) into a slit die // J. Non-Newtonian Fluid Mech. – 2008. – Vol. 153. – P. 82–94.

230