254
.pdf
Смешанныедискретныемоделиванализеупругихтрехмерныхнеоднородныхтел
структуру), которая состоит из однородных односеточных КЭ Vjh первого порядка формы куба со стороной h. Пусть ||U−U0 ||≤δ1 , где U – точное решение. Пусть ||U0 −Uh ||≤δ , где Uh – вектор функций перемещений смешанной дискретной модели данного тела, т. е. состоящей из однородных односеточных КЭ Vjh и двухсеточных КЭ Veq и Vαs неод-
нородной структуры формы прямоугольного параллелепипеда. Тогда имеем ||U−Uh ||≤δ0 , где δ0 =δ1 +δ . Погрешность δ1 определяется пара-
метрами базового разбиения тела. Факторы, влияющие на эту погрешность, изучены в теории МКЭ [9, 10]. Расчеты показывают, что погрешность δ зависит от характерных геометрических размеров подобласти тела, которая представлена односеточными КЭ первого порядка, и от соотношения шагов мелкой и крупной вложенных сеток ДвКЭ Veq .
Достоинства смешанных дискретных моделей
•Размерности смешанных дискретных моделей трехмерных тел меньше размерностей базовых моделей.
•Смешанные дискретные модели учитывают неоднородную структуру и сложную форму трехмерных тел.
•Напряжения могут быть определены в любом компоненте неоднородной структуры смешанной дискретной модели трехмерного тела.
•Смешанные дискретные модели трехмерных тел порождают решения, отличающиеся от решений базовых дискретных моделей, на заданную величину.
•Реализация МКЭ для смешанных дискретных моделей трехмерных тел требует меньше ресурсов ЭВМ и временных затрат, чем для базовых моделей.
3. Результаты численных экспериментов
Рассмотрим в декартовой системе координат Oxyz модельную задачу упругости для трехмерного упругого тела неоднородной структуры, которое имеет сложную форму (см. рис. 2). При x =0 тело закреплено, т.е. имеем u =v =w=0 . Граница крепления на рис. 2 показана штриховкой. Тело армировано ортогональной решеткой волокон с поперечным сечением 2h×2h внутри области и 2h×h, h×h на границе. Расстояние между волокнами по оси Ox равно 10h, по осям Oy, Oz – 6h,
191
А.Д. Матвеев
т.е. волокна с поперечным сечением h×h являются ребрами ДвКЭ Vαs и Veq . Максимальное число волокон, параллельных оси Ox, равно 4, параллельных осям Oy, Oz, – 7. Базовая модель тела, состоящая из однородных односеточных КЭ Vjh первого порядка формы куба со стороной h [2], учитывает его неоднородную структуру, сложную форму и порождает мелкую сетку V h . Для узлов сетки V h введена целочисленная система координат ijk; для рис. 2 имеем n1 =73 , n2 =n3 =25 . Тело нагружено силами Py =1,25 кг, которые приложены в узлах сетки
V h с целочисленными координатами (i, 25, k), где i =25, 37, 49, 61; k = 1, 9, 17. Модуль Юнга волокон равен 105 кг/см2 , связующего материала – 104 кг/см2 , коэффициент Пуассона для всей области тела равен 0,3; h = 0,5 см. Левый торец тела имеет вырезы: вертикальный – размерами 8h×24h×14h и горизонтальный – размерами 5h×16h×5h , которые порождают границу сложной формы. В связи с этим при построении смешанной дискретной модели для данного тела в области V1 (см. рис. 2), т. е. при 0≤ x ≤12h , используем мелкое (базовое) разбиение, состоящее из однородных односеточных КЭ Vjh первого порядка
формы куба со стороной h. Остальная часть тела, т.е. при 12h ≤ x ≤72h , представлена крупным разбиением на ДвКЭ Veq и связующие ДвКЭ
Vαs , размерами 12h×8h×8h (см. рис. 1), е = 1,…, 30, α=1,...,9 . На рис. 2
показано разбиение тела на ДвКЭ Veq и Vαs .
Результаты расчетов представлены в табл. 1, 2. Анализ результатов показывает, что максимальное значение перемещений vh смешан-
ной дискретной модели тела отличается от перемещений v0 базовой модели на 1,8 % (в табл. 1 максимальные значения перемещений vh , v0 выделены жирным шрифтом).
Эквивалентные напряжения σh смешанной дискретной модели тела и σ0 – базовой модели вычисляем в центре тяжести КЭ Vjh по четвертой теории прочности. Максимальное значение напряжения σh отличается от напряжения σ0 на 0,1 % (в табл. 2 максимальные значения напряжений σ0 , σh выделены жирным шрифтом).
192
Смешанныедискретныемоделиванализеупругихтрехмерныхнеоднородныхтел
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
|
|
Узловые перемещения (j = 25; v ,ν |
h |
×10−4 см) |
|
|||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
k \ i |
13 |
25 |
37 |
49 |
61 |
73 |
v0, vh |
||
|
10,055 |
23,618 |
37,157 |
51,212 |
65,113 |
77,194 |
v0 |
||
1 |
10,088 |
23,037 |
36,263 |
49,993 |
63,584 |
75,734 |
vh |
||
|
9,238 |
21,397 |
34,511 |
48,277 |
62,040 |
74,914 |
v0 |
||
9 |
9,199 |
21,021 |
33,857 |
47,320 |
60,792 |
73,547 |
vh |
||
|
8,177 |
19,919 |
33,350 |
46,893 |
60,562 |
72,642 |
v0 |
||
17 |
8,156 |
19,537 |
32,616 |
45,885 |
59,263 |
71,410 |
vh |
||
Таблица 2
Эквивалентные напряжения ( σ0 , σh кг/см2 )
y |
z \ x |
0,5h |
1,5h |
3,5h |
4,5h |
6,5h |
16,5h |
σ |
|
|
10,978 |
16,071 |
14,423 |
13,589 |
12,108 |
6,413 |
σ0 |
|
0,5h |
10,958 |
16,054 |
14,426 |
13,602 |
12,141 |
6,652 |
σh |
|
1,5h |
5,543 |
1,952 |
1,725 |
1,561 |
1,280 |
0,668 |
σ0 |
0,5h |
5,541 |
1,949 |
1,721 |
1,557 |
1,276 |
0,690 |
σh |
|
3,5h |
3,872 |
2,355 |
1,998 |
1,793 |
1,348 |
0,548 |
σ0 |
|
|
3,867 |
2,351 |
1,990 |
1,784 |
1,338 |
0,651 |
σh |
|
|
4,5h |
4,811 |
2,445 |
2,012 |
1,903 |
1,878 |
0,481 |
σ0 |
|
4,812 |
2,442 |
2,003 |
1,890 |
1,855 |
0,568 |
σh |
Базовая модель тела содержит 114282 узловых неизвестных, ширина ленты системы уравнений (СУ) МКЭ равна 1956. Смешанная дискретная модель тела имеет 24834 неизвестных, ширина ленты СУ МКЭ равна 3567 и занимает в 2,5 раза меньше объема памяти ЭВМ, чем лента базовой модели. Время реализации МКЭ для смешанной дискретной модели тела в 2,3 раза меньше, чем для базовой модели.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проек-
та 11-01-00053).
Библиографический список
1.Фудзии Т., Дзако М. Механика разрушения композиционных материалов. – М.: Мир, 1982. – 232 с.
2.Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. – М.: Мир, 1975. – 541 с.
193
А.Д. Матвеев
3.Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. – М: Мир, 1984. – 430 с.
4.Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплош-
ных сред. – М: Мир, 1976. – 464 с.
5.Матвеев А.Д. Некоторые подходы проектирования упругих многосеточных конечных элементов // Деп. в ВИНИТИ № 2990-В00. Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск, 2000. – 30 с.
6.Матвеев А.Д. Многосеточное моделирование композитов нерегулярной структуры с малым коэффициентом наполнения // ПМТФ. – 2004. – № 3. – С. 161–171.
7.Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. – М.: Высшая школа, 1982. – 264 с.
8.Норри Д., де-Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. –
М.: Мир, 1981. – 304 с.
9.Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. – М:
Мир, 1977. – 351 с.
10.Ректорис К. Вариационные методы в математической физике
итехнике. – М.: Мир, 1985. – 591 с.
References
1.Fudzi T., Dzako M. Mechanika razrushenija kompozisionych materialov [Fracture mechanics of composite materials]. Moscow: Mir, 1982. 232 p.
2.Zenkevych O. Metod konechnykh elementov v technike [The finite element method in engineering]. Moscow: Mir, 1975. 541 p.
3.Gallagher R. Metod konechnykh elementov. Osnovy [The finite element method. Fundamentals]. Moscow: Mir, 1984. 430 p.
4.Oden J. Konechnye elementy nelineynoy mechaniki splochnykh sred [Finite elements of nonlinear continua]. Moscow: Mir, 1976. 464 p.
5.Matveev A.D. Nekotorye podkhody proektirovania uprugikh mnogosetochnykh konechnykh elementov [Some approaches of designing elastic multigrid finite elements]. VINITI Proceedings № 2990-B00. Institut vychislitelnogo modelirovanija Sibirskogo otdelenija Rossijskoy akademii nauk, Krasnoyarsk, 2000, 30 p.
6.Matveev A.D. Mnogosetochnoe modelirovanie kompozitov neregularnoi struktury s malym koefitsientom nopolnenia [Multigrid modeling of
194
Смешанныедискретныемоделиванализеупругихтрехмерныхнеоднородныхтел
composites of irregular structure with a small filling ratio]. Prikladnaya mekhanika i tekhnicheskaya fizika, 2004, no. 3, pp. 161-171.
7.Samul V.I. Osnovy teorii uprugosti i plastichnosti [Fundamentals of the theory of elasticity and plasticity]. Moscow: Vysshaya shkola, 1982. 264 p.
8.Norrie D., de Vries J. Vedenie v metod konechnykh elementov [An Introduction to Finite Element Analysis]. Moscow: Mir, 1981. 304 p.
9.Strang G., Fix G.J. Teoriy metoda konechnykh elementov [An analysis of the finite element method]. Moscow: Mir, 1977. 351 p.
10.Rektorys K. Variacionnye metody v matematicheskoy fizike i technike [Variational methods in mathematics physics and engineering]. Moscow: Mir, 1985. 591 p.
Об авторе
Матвеев Александр Данилович (Красноярск, Россия) – канди-
дат физико-математических наук, доцент, старший научный сотрудник Института вычислительного моделирования СО РАН (660036, г. Крас-
ноярск – 36, Академгородок, 50/44, e-mail: mtv@icm.krasn.ru).
About the author
Matveev Alexsandr Danilovich (Krasnoyarsk, Russian Federation) – Ph. D. in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Senior Researcher, Federal State Institution of Science ICM SB RAS (50/44, Akademgorodok, 660036, Krasnoyarsk, Russian Federation, e-mail: mtv@icm.krasn.ru).
Получено 7.02.2013
195
В Е С Т Н И К П Н И П У
2013 Механика № 1
УДК 533.9.01
Н.Г. Тактаров, О.А. Рунова
Мордовский государственный педагогический институт им. М. Е. Евсевьева, Саранск, Россия
МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛН НА ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ КОНФИГУРАЦИИ МАГНИТНОЙ ЖИДКОСТИ, ОКРУЖАЮЩЕЙ ДЛИННОЕ ПОРИСТОЕ ЯДРО
Построена и исследована математическая модель распространения и неустойчивости волн на поверхности цилиндрического столба магнитной жидкости бесконечной длины, окружающей коаксиально расположенное, бесконечно длинное ядро (из пористого материала) круглого сечения. Найдены условия, при которых возмущения поверхности жидкого столба становятся неустойчивыми и приводят к его распаду на цепочку из соединенных капель. Учитывается наличие поверхностного натяжения. Сила тяжести предполагается отсутствующей. Ось пористого цилиндра совпадает с осью коаксиально расположенного соленоида, создающего однородное магнитное поле. Задача решается в цилиндрической системе координат (r, θ, z), в которой жидкий столб покоится. Ось z направлена по оси соленоида. Записаны уравнения движения магнитной жидкости внутри и вне пористой среды, а также уравнения для магнитного поля в пористой среде, жидкости и воздушном зазоре. Сформулированы граничные условия для гидродинамических и магнитных величин на поверхностях раздела сред. Возмущенное (в связи с распространением волны) магнитное поле ищется внутри и вне пористой среды, а также в воздушном зазоре соленоида. Найдено полное решение краевой задачи для гидродинамических и магнитных величин. Проведен численный анализ полученного дисперсионного уравнения, описывающего распространение поверхностных волн. Рассмотрены различные частные случаи. Найдены условия, при которых возмущения поверхности жидкого столба устойчивы (затухающие волны) либо неустойчивы (что приводит к нарастанию возмущений и распаду цилиндра на цепочку капель). Показано, что размер образующихся при распаде капель увеличивается с ростом магнитного поля, т.е. магнитное поле оказывает стабилизирующее влияние на распад жидкого столба.
Ключевые слова: волны, магнитная жидкость, цилиндрическая конфигурация жидкости, магнитное поле, длинное пористое ядро.
196
Волнынаповерхностицилиндрическойконфигурациимагнитнойжидкости
N.G. Taktarov, O.A. Runova
Mordovian State Pedagogical Institute,
Saransk, Russian Federation
MODELING OF THE WAVES ON A SURFACE
OF A CYLINDRICAL CONFIGURATION OF MAGNETIC FLUID,
SURROUNDING A LONG POROUS CORE
A mathematical model of waves propagation and instability on a surface of a cylindrical column of magnetic fluid of an infinite length, surrounding a coaxial infinite long porous core of the round section is constructed and studied. The conditions are found under which the disturbances of the surface of fluid column become unstable and result in its fragmentation into a chain of connected droplets. The presence of a surface tension is taken into account. The gravity is neglected. The axis of the porous cylinder coincides with the axis of a coaxial solenoid, generating an uniform magnetic field. The problem is solved in a cylindrical coordinate system (r, θ, z), in which the fluid column is at rest. The z-axis is directed along the axis of the solenoid. The equations of the motion of magnetic fluid inside and outside of the porous medium and the equations for the magnetic field are written. The boundary conditions for hydrodynamic and magnetic values on discontinuity surfaces are formulated. The disturbances of magnetic field (according to wave propagation) is searched inside and outside of the porous medium, as well as in the air clearance of the solenoid. The full solution of a boundary value problem for hydrodynamic and magnetic values is found. The numerical analysis of the dispersion equation, describing wave propagation on surface is done. The different special cases are considered. The conditions are found under which the disturbances of the surface of fluid column become stable (wave damping) or become unstable (which result to the disturbances growth and the fragmentation of the cylinder into a chain of droplets). It is shown that the size of droplets appearanced in fragmentation process increases with the growth of the magnetic field i.e. magnetic field has a stabilizing influence upon the fragmentation of the fluid column.
Keywords: waves, magnetic fluid, cylindrical configuration of fluid, magnetic field, long porous core.
Введение
Магнитные жидкости в природе не существуют – их синтезируют искусственно, путем коллоидного растворения наночастиц твердого ферромагнетика в обычной немагнитной жидкости [1]. Магнитные жидкости широко используются в различных областях техники и технологии.
Задача о волнах на поверхности струи магнитной жидкости рассмотрена в [2]. Распространение поверхностных волн в слое жидкости на пористом основании исследовано в [3]. Задача о распространении волн на заряженной поверхности цилиндрического столба электропроводной жидкости, окружающей длинное пористое ядро, решена в [4].
197
Н.Г. Тактаров, О.А. Рунова
1. Математическая модель
Предполагается, что внутри цилиндрического объема магнитной жидкости находится ядро из пористого материала в форме коаксиально расположенного круглого цилиндра. Учитывается наличие поверхностного натяжения. Сила тяжести предполагается отсутствующей. Ось пористого цилиндра совпадает с осью коаксиально расположенного цилиндрического соленоида, создающего однородное магнитное поле
с напряженностью H0 . Задача решается в цилиндрической системе координат (r, θ, z) , в которой жидкий столб покоится. Ось z направлена по оси пористого цилиндра. Радиус пористого цилиндра, невозмущенной поверхности жидкости и соленоида обозначим a, a0 и b соответст-
венно. Величины, относящиеся к пористой среде, свободной жидкости (вне пористой среды) и промежутку между жидкостью и соленоидом (воздух), будем обозначать в необходимых случаях индексами 1, 2 и 3
соответственно. Магнитная проницаемость µ1 , µ2 , |
µ3 |
в областях 1, 2, 3 |
предполагается постоянной. Предполагаем, что |
µ3 |
=1, а магнитная |
проницаемость среды в области 1 (пористый материал, насыщенный жидкостью) µ1 = µ2Γ + µs (1 − Γ) , где µs – проницаемость пористой
матрицы; Γ – пористость (отношение объема пор ко всему элементарному объему среды). При постоянной проницаемости магнитная сила равна нулю, однако это не означает, что магнитное поле не влияет на движение жидкости. В самом деле, на поверхностях раздела сред существуют механические напряжения (связанные со скачком магнитного поля), посредством которых и происходит взаимодействие поля со средой.
Уравнения движения магнитной жидкости в пористой среде (при
сделанных предположениях) имеют вид [3, 5] |
|
||||||
|
ρ |
∂u1 |
= −grad p − |
η |
u |
, divu = 0. |
(1) |
|
|
|
|||||
|
Γ ∂t |
1 |
K 1 |
1 |
|
||
Здесь ρ – плотность жидкости; η – вязкость; Κ – коэффициент проницаемости пористой среды; p1 – давление; u1 – макроскопическая скорость фильтрации, связанная со средней скоростью υ1 жидкости в порах соотношением u1 = Γυ1 .
198
Волнынаповерхностицилиндрическойконфигурациимагнитнойжидкости
Уравнения движения свободной жидкости, в предположении, что амплитуда волны значительно меньше ее длины, запишем в линейном приближении [6]:
ρ |
∂u2 |
= −grad p2 , div u2 = 0. |
(2) |
|
∂t |
||||
|
|
|
Здесь u2 – скорость свободной жидкости. Ограничиваемся случаем волн достаточно большой длины λ, существенно превышающей радиус a0 жидкого столба, с тем чтобы пренебречь слагаемыми, содержа-
щими ∆u1 и ∆u2 в уравнениях (1) и (2). |
|
Уравнения для магнитного поля [7] |
|
rot Hi = 0 , divµiHi = 0 ( i = 1, 2, 3). |
(3) |
Из уравнений (1)–(3) следует |
|
u1 = ϕ1 , u2 = ϕ2 , Hi = ψi , |
(4) |
∆ϕ1 =0, ∆ϕ2 =0, ∆ψi =0 ( i = 1, 2, 3). |
|
Далее все величины будем записывать в виде |
|
p1 = p10 + p1w , p2 = p20 + p2w , Hi = Hi0 + Hiw , |
|
ψi = ψi0 +ψiw = zHi0 +ψiw ( i = 1, 2, 3). |
(5) |
Здесь индексами 0 и w обозначены соответственно невозмущенные
величины |
и |
малые возмущения, |
связанные с волной; |
H10 = H20 |
= H30 |
≡ H0 . Возмущения ψiw |
также должны удовлетворять |
уравнениям Лапласа (4).
Система граничных условий имеет вид [6, 7]: на границе пористой среды (r =a)
1)u1r = u2r ,
2)ψ1 = ψ2 ,
3) |
µ1n ψ1 = µ2n ψ2 , |
|
|
|
|
|
|
(6) |
|||||
4) |
p − |
µ1 |
H 2 |
+ |
µ1 |
H2 |
= p |
|
− |
µ2 H 2 |
+ |
µ2 H2 |
; |
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
4π 1n |
|
8π 1 |
|
2 |
|
4π 2n |
|
8π 2 |
|
||
на свободной поверхности жидкости r = a0 + ξ(θ,z,t)
199
Н.Г. Тактаров, О.А. Рунова
5)u2r =ddξt ,
6)ψ2 = ψ3 ,
7)µ2n ψ2 = µ3n ψ3 ,
|
|
|
µ |
|
|
2 |
|
|
µ |
2 H |
2 |
|
|
|
µ |
3 |
|
2 |
|
|
|
µ |
3 H |
2 |
|
|
||||
8) p |
|
− |
|
2 |
H |
2n |
+ |
|
|
− p − |
|
H |
3n |
+ |
|
|
= 2αC ; |
|
||||||||||||
|
|
|
|
4π |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
4π |
|
8π |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
8π |
3 |
|
|
|||||||||||||
на поверхности соленоида (r =b) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
9) ψ3w = 0 |
(возмущение потенциала ψ3 равно нулю). |
|
||||||||||||||||||||||||||||
Здесь α – коэффициент поверхностного натяжения; C – средняя кри- |
||||||||||||||||||||||||||||||
визна поверхности; n – |
единичная нормаль к соответствующей по- |
|||||||||||||||||||||||||||||
верхности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Невозмущенные величины также должны удовлетворять гранич- |
||||||||||||||||||||||||||||||
ным условиям (6) (в предположении, что u1 = u2 = 0 и ξ = 0 ). |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Для возмущений давления из (1) и (2) с учетом (5) следует |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p |
= − |
ρ |
|
∂ϕ1 |
− |
η |
ϕ , |
|
p |
|
|
= −ρ |
∂ϕ2 |
. |
(7) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1w |
|
|
Γ ∂t |
|
1 |
|
|
|
2w |
|
|
|
∂t |
|
||||||||
Как известно из дифференциальной геометрии, выражения для n и C для деформированной цилиндрической поверхности в линейном приближении имеют вид
n =(n |
,n |
,n |
|
|
)= |
1, |
− |
1 |
|
∂ξ,− |
∂ξ |
, |
|
|||
|
|
a |
∂z |
|
||||||||||||
r |
θ |
|
z |
|
|
|
|
|
∂θ |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
(8) |
|
|
|
1 |
|
|
|
ξ |
|
1 ∂2ξ |
|
∂2ξ |
||||||
2C= divn = |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
− |
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
. |
|
||
a |
|
|
|
|
|
a2 |
|
∂θ2 |
∂z |
|
||||||
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
На поверхности пористой среды n = (1, 0, 0).
С учетом вышеизложенного граничные условия (6) в линейном
приближении принимают вид |
|
|||||
1) |
∂ϕ1 |
= |
∂ϕ 2 |
( r = a ), |
(9) |
|
∂r |
∂r |
|||||
|
|
|
|
|||
2)ψ1w = ψ2w ( r = a ),
3)µ1 ∂ψ1w = µ2 ∂ψ2w ( r = a ), ∂r ∂r
200