254

Сверхмногоцикловое усталостное разрушение титановых дисков компрессора

3.3. Оценка долговечности элемента конструкции по критериям СВМУ

На рис. 4, б для окрестности левого угла контактного соединения диска и лопатки (в зонах максимальной концентрации напряжений) показаны рассчитанные величины числа циклов до разрушения N для трех выбранных критериев по напряженному состоянию (Сайнса, Кроссланда и Финдли) в режиме СВМУ. Несмотря на относительно невысокий уровень амплитуд напряжений в цикле, расчетами показано, что и в этом случае возникают зоны возможного усталостного разрушения, расположенные в тыльной зоне левого угла паза диска, примерно там же, где и в случае полетных циклов нагружения. Величина N, при которой они появляются, имеет порядок 109 −1010 , что в пере-

счете на реальное время процесса с периодом цикла 0,02 с (при выбранной частоте колебаний) дает величину 30 000 ч, вполне достижимую в процессе эксплуатации. Хотя эти оценки весьма приблизительны, они указывают на принципиальную возможность развития усталостного разрушения в указанных зонах диска компрессора как по механизму МЦУ (полетный цикл нагружения), так и по механизму СВМУ (высокочастотные, низкоамплитудные вибрации элементов конструкции). Тем большую опасность может иметь результат взаимовлияния этих механизмов, поскольку они проявляют себя в близкорасположенных зонах и на близких масштабах реального времени.

4. Модельные задачи для кольцевого диска

4.1.Напряженное состояние в режиме МЦУ

Сцелью подтверждения полученных результатов решены две модельные задачи теории упругости о нагружении кольцевого диска

свнутренним радиусом a и внешним радиусом b. В первой задаче к диску приложена центробежная нагрузка, а на внешнем контуре – переменное по углу радиальное напряжение, моделирующее центробежную нагрузку от лопаток и согласованное с ней по амплитуде (аналог режима МЦУ).

Для определения напряжений в диске решается бигармоническое уравнение для функции Эри с граничными условиями [9]

∆2 F = 0,

σrr = 0, σrθ = 0 при r = a,

61

Сверхмногоцикловое усталостное разрушение титановых дисков компрессора

Уравнение для изгиба пластинки и граничные условия [10]:

∆2w = 0,

Ωδ (θ) =1 при θ Θ1, Ωδ (θ) = −1 при θ Θ2 , Ωδ (θ) = 0 при θ Θ1,θ Θ2.

Общее решение для изгибных смещений диска имеет вид w =(Anrn + Bnr−n +Cnrn+2 + Dnr−n+2 )cosnθ.

Компоненты напряжений связаны с моментами формулами [11]

σrr =12M r z / h3 , σθθ =12Mθ z / h3 , σrθ =12M rθ z / h3.

Величина амплитуды крутящего момента M 0 = Gγδ2h / 3 и опре-

деляется из решения задачи о кручении пластины эллипсоидального поперечного сечения с полуосями δ и h и с погонным углом кручения γ в предположении δ h [11]. Жесткость диска D0 = Eh3 /12 / (1−ν2 ) ,

модуль Юнга Е, модуль сдвига G. Напряжения от центробежной силы в лопатках и диске, определенные ранее, суммируются с полученными напряжениями от крутящих моментов, соответствующих максимальным углам поворота лопаток по- и против часовой стрелки.

Зависимости радиальных (сплошная линия), тангенциальных (штрихпунктирная) и касательных (пунктирная) напряжений от радиуса диска для крайних состояний цикла (под лопаткой) приведены на рис. 5, б, в. В обоих режимах МЦУ (см. рис. 5, а) и СВМУ (см. рис. 5, б, в) напряжения резко возрастают в окрестности внешнего контура и приводят к появлению зон усталостного разрушения.

63

Сверхмногоцикловое усталостное разрушение титановых дисков компрессора

Библиографический список

1.Шанявский А.А. Моделирование усталостных разрушений металлов. – Уфа: Монография, 2007. – 498 с.

2.Burago N.G., Zhuravlev A.B., Nikitin I.S. Models of Multiaxial Fatigue Fracture and Service Life Estimation of Structural Elements // Mechanics of Solids. – 2011. – Vol. 46. – No. 6. – P. 828–838.

3.Investigation of multiaxial fatigue in the prospect of turbine disc applications: Part II. Fatigue criteria analysis and formulation of a new

combined one / V. Bonnand, J.L. Chaboche, H. Cherouali, P. Kanoute [et al.] // Proceedings the 9-th Intern. Conf. of Multiaxial Fatigue and Fracture (ICMFF9). – Parma, Italy, 2010. – P. 691–698.

4.Sines G. Behavior of metals under complex static and alternating stresses. Metal fatigue. – New York: McGraw-Hill, 1959. – P. 145–169.

5.Crossland B. Effect of large hydrostatic pressures on torsional fatigue strength of an alloy steel // Proc. Int. Conf. on Fatigue of Metals. – London, 1956. – P. 138–149.

6.Findley W. A theory for the effect of mean stress on fatigue of metals under combined torsion and axial load or bending // J. of Eng. for Indust. – 1959. – Vol. 81. – No. 4. – P. 301–306.

7.Kallmeyer A.R., Krgo A., Kurath P. Evaluation of multiaxial fatigue life prediction methodologies for Ti-6Al-4V // ASME J. Eng. Mat. Technol. – 2002. – Vol. 124. – P. 229–237.

8.Бураго Н.Г., Журавлев А.Б., Никитин И.С. Анализ напряженного состояния диска компрессора ГТД // Вестник ПГТУ. Механика. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2011. – № 1. – C. 46–54.

9.Новацкий В. Теория упругости. – М.: Мир, 1975. – 872 с.

10.Демьянушко И.В., Биргер И.А. Расчет на прочность вращающихся дисков. – М.: Машиностроение, 1978. – 247 с.

11.Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979. – 744 с.

References

1.Shanyavski A.A. Modelirovanie ustalostnykh razrusheniy metallov. [Modelling of fatigue fracture of the metals]. Ufa: Monografiya, 2007. 498 p.

2.Burago N.G., Zhuravlev A.B., Nikitin I.S. Models of Multiaxial Fatigue Fracture and Service Life Estimation of Structural Elements. Mechanics of Solids, 2011, vol. 46, no. 6, pp. 828-838.

65

Сверхмногоцикловое усталостное разрушение титановых дисков компрессора

тории геомеханики Института проблем механики РАН им. А.Ю. Ишлинского (119526, г. Москва, пр. Вернадского, 101 к.1, e-mail: zhuravlev.alex2010@yandex.ru).

Никитин Илья Степанович (Москва, Россия) – доктор физи- ко-математических наук, ведущий научный сотрудник отдела математического моделирования Института автоматизации проектирова-

ния РАН (123056, г. Москва, 2-я Брестская ул., 19/18, e-mail: i_nikitin@list.ru).

About the authors

Burago Nikolay Georgievich (Moscow, Russian Federation) – Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Leading Researcher, Laboratory of Modelling in MS IPMech RAS (101, Vernadskogo prospect, 119526, Moscow, Russian Federation, e-mail: buragong@yandex.ru).

Zhuravlev Alexey Borisovich (Moscow, Russian Federation) – Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Senior Researcher, Laboratory of Geomechanics IPMech RAS (101, Vernadskogo prospect, 119526, Moscow, Russian Federation, e-mail: zhuravlev.alex2010@yandex.ru).

Nikitin Ilya Stepanovich (Moscow, Russian Federation) – Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Leading Researcher, Department of Math. Modelling ICAD RAS (19/18, 2-nd Brestskaya str., 123056, Moscow, Russian Federation, e-mail: i_nikitin@list.ru).

Получено 15.02.2013

67

В Е С Т Н И К П Н И П У

2013 Механика № 1

УДК 539.311

О.К. Гаришин, С.Н. Лебедев

Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь, Россия

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАБОТЫ АТОМНО-СИЛОВОГО МИКРОСКОПА ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ СО СЛОЖНОЙ НАНОСТРУКТУРОЙ

Стандартное математическое обеспечение, поставляемое для расшифровки результатов атомно-силового сканирования (АСМ), базируется в основном на моделях, использующих классическое решение задачи Герца о контакте двух линейно-упругих сфер (или сферы и плоского полупространства, если одна из них имеет бесконечно большой радиус). В большинстве случаев этого вполне достаточно. Однако существуют такие ситуации, когда решение Герца следует применять с большой осторожностью. Теоретическому исследованию этих вариантов и посвящена данная работа.

Представлены результаты численного моделирования контактного взаимодействия зонда атомно-силового микроскопа и поверхности со сложной наноструктурой. Исследования вели для двух типов материалов: 1) упругая анизотропная среда (зубная эмаль); 2) нелинейно-упругий конечно-деформируемый полимер. Это два класса материалов, которые принципиально различаются по своему механическому поведению. Соответственно, для правильной расшифровки экспериментальных данных требуются разные теоретические модели. Для материалов первого типа решена задача внедрения зонда АСМ в трансверсально-изотропную упругую поверхность. Построены расчетные зависимости силы реакции на инденторе от глубины вдавливания и степени анизотропии материала. Для материалов второго типа (эластомеров) проведено компьютерное моделирование контактного взаимодействия зонда АСМ с эластомерными нанотяжами, которые могут образовываться в полимере в вершине трещины. Тяж представлялся в виде длинной продольной выпуклости, лежащей на плоской упругой поверхности. Задача решалась в трехмерной постановке.

Ключевые слова: атомно-силовая микроскопия, наноиндентирование, анизотропная наноструктура, полимерные нанотяжи.

O.K. Garishin, S.N. Lebedev

Institute of Continuous Media Mechanics UB RAS, Perm, Russian Federation

THEORETICAL MODELING OF ATOMIC FORCE

MICROSCOPY IN THE STUDY OF SURFACES

WITH COMPLEX NANOSTRUCTURES

Standard software supplied to decrypt the atomic force scanning (AFM), based mainly on the models using a classical solution of the Hertz contact of two linearly elastic spheres (or a sphere and a flat half, if one of them has infinite radius). In most cases this is enough. However, there are situations

68

Теоретическое моделирование работы атомно-силового микроскопа

where the Hertz solution should be used with great caution. This work is devoted to the theoretical study of these versions.

The results of numerical modeling of contact interaction of the probe of an atomic force microscope and the surface with complex nanostructure are presented. Research was conducted for two types of materials: 1) anisotropic elastic medium (tooth enamel), 2) non-linear elastic finite deformable polymer. These are two classes of materials that are fundamentally different in their mechanical behavior. Respectively different theoretical models are needed for the correct interpretation of experimental data.

The problem indentation an AFM probe in a transversally isotropic elastic surface is solved for the materials of the first type. Computational dependencies of reaction force in the probe on the depth of indentation and the degree of anisotropy of the material is built. Computer modeling of AFM probe contact interaction with elastomeric nano strands, which can be formed in the polymer at the crack tip, are carried out for the materials of the second type (elastomers). nanostrand is represented as a long longitudinal convexity, lying on a flat elastic surface. The problem was solved in a three-dimensional formulation.

Keywords: atomic force microscopy, nanoindentation, anisotropic nanostructures, polymeric nano strands.

Создание новых наноструктурированных материалов невозможно без серьезных исследований их внутреннего строения на наномасштабном уровне (т.е. когда уже надо учитывать эффекты, связанные с особенностями молекулярного строения вещества, хотя сам материал еще можно считать сплошной средой). На сегодняшний день одним из наиболее перспективных инструментов для таких исследований является атомно-силовая микроскопия (АСМ). Ее основное преимущество по сравнению с традиционной электронной микроскопией состоит в том, что атомно-силовой микроскоп позволяет получать информацию не только о топологии внутреннего строения материала, но и о его локальных физических свойствах (которые могут значительно отличаться от макроскопических характеристик) [1–4].

АСМ успешно применяют при измерении упругого модуля [5], параметров упрочнения [6], ползучести [7] и т.д. на уровне наноструктуры. Атомно-силовой микроскоп позволяет непосредственно наблюдать такие микропроцессы, как появление дислокаций, возникновение сдвиговой нестабильности, фазовые переходы и многие другие явления, недоступные для ранее известных технологий [8].

Основным элементом атомно-силового микроскопа является кантилевер в виде консольной стальной балки с кремниевым щупом на свободном конце (рис. 1). Как правило, этот щуп (зонд) имеет форму конуса со скругленной вершиной. Длина балки составляет примерно 100–200 мкм, высота конуса 1–3 мкм. Радиус вершины зонда (который и определяет разрешающую способность прибора) у современных кантилеверов варьируется от 10 до 50 нм.

69