254
.pdf
Конечно-элементнаяреализацияметодагеометрическогопогружения
принципов Лагранжа и Кастильяно, образуют вилку, внутри которой лежит точное решение задачи теории упругости.
σxх, Па |
σyy , Па |
a |
б |
σxy , Па |
σxх, Па |
в |
г |
σyy , Па |
σxy , Па |
д |
е |
Рис. 5. Графики распределения компонент тензора напряжений: а, б, в – при y = b / 2 ; г, д, е – при x = a / 2 ; 
метод геометрического погружения
в напряжениях, 
метод конечных элементов в перемещениях
231
Н.А. Труфанов, Ю.С. Кузнецова
σ |
xх |
, Па |
σyy , Па |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
20
20
1 2
a |
б |
Рис. 6. Сходимость итерационной процедуры с увеличением числа итераций: а – на примере σxх, Па на границе y = 0, x [4,8] ; б – на примере σyy , Па на границе y = 0, x [4,8] ; 
решение, полученное методом конечных
элементов в перемещениях; 
решение, полученное методом геометрического погружения на каждой итерации
Таким образом, продемонстрировано практическое применение метода геометрического погружения на основе вариационного принципа Кастильяно и его конечно-элементной реализации в напряжениях. Получено достаточно хорошее соответствие результатов определения полей напряжений в сравнении с традиционным МКЭ в перемещениях. Установлена практическая сходимость итерационной процедуры. Возможно развитие предлагаемого подхода на области с более сложной, в том числе криволинейной, геометрией.
Библиографический список
1.Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. – М.: Мир, 1984. – 428 с.
2.Шардаков И.Н., Труфанов Н.А., Матвеенко В.П. Метод геометрического погружения в теории упругости / УрО РАН. – Екатерин-
бург, 1999. – 298 с.
3.Каменских А.А., Труфанов Н.А., Матвеенко В.П. Численная реализация метода геометрического погружения на основе вариационного принципа Кастильяно // Вестник ПГТУ. Механика. – Пермь: Изд-
во Перм. гос. техн. ун-та, 2010. – № 3. – С. 5–18.
232
Конечно-элементнаяреализацияметодагеометрическогопогружения
4.Суходолова Ю.С., Труфанов Н.А. О конечном элементе на основе вариационного принципа Кастильяно для плоских задач теории упругости // Вестник ПНИПУ. Механика. – Пермь: Изд-во Перм. гос.
техн. ун-та, 2012. – № 1. – С. 168–178.
5.Nesrin Sarigul, Richard H. Gallagher Assumed stress function finite element method: two-dimensional elasticity // International journal for numerical methods in engineering – 1989. – Vol. 18. – P. 1577–1598.
6.Girija C.V. Vallabhan, Azene Muluneh A finite element model for plane elasticity problems using the complementary energy theorem // International journal for numerical methods in engineering. – 1982. – Vol. 18. – P. 291–309.
7.Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. – М.: Наука, 1975. – 576 с.
References
1.Gallager R. Metod konechnykh elementov. Osnovy [Finite element analysis fundamentals]. Moscow: Mir, 1984. 428 p.
2.Shardakov I.N., Trufanov N.A., Matveenko V.P. Metod geometricheskogo pogruzheniya v teorii uprugosti [Method of geometrical immersion in the theory of elasticity]. Ekaterinburg: Ural'skoe otdelenie Rossiyskoy Akademii Nauk, 1999. 298 p.
3.Kamenskikh A.A., Trufanov N.A., Matveenko V.P. Chislennaya realizatsiya metoda geometricheskogo pogruzheniya na osnove variatsionnogo printsipa Kastilyano [Numerical realization of the geometrical immersion based on Castigliano variational principle]. Vestnik permskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Mekhanika, 2010, no. 3, pp. 5-18.
4.Sukhodolova Y.S., Trufanov N.A. O konechnom elemente na osnove variatsionnogo printsipa Kastilyano dlya ploskix zadach teorii uprugosti [About a finite element based on the castigliano variational principle for plane elasticity problems]. Vestnik permskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Mekhanika, 2012, no. 1, pp. 168-178.
5.Nesrin Sarigul, Richard H. Gallagher Assumed stress function finite element method: two-dimensional elasticity. International journal for numerical methods in engineering, 1989, vol. 18, pp. 1577-1598.
6.Girija Vallabhan C.V., Azene Muluneh. A finite element model for plane elasticity problems using the complementary energy theorem. International journal for numerical methods in engineering, 1982, vol. 18, pp. 291309.
233
В Е С Т Н И К П Н И П У
2013 Механика № 1
УДК 539.3
Л.Ю. Фроленкова, В.С. Шоркин
Государственный университет – учебно-научно-производственный комплекс, Орел, Россия
МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ПОВЕРХНОСТНОЙ ЭНЕРГИИ И ЭНЕРГИИ АДГЕЗИИ УПРУГИХ ТЕЛ
Существует ряд задач, для успешного решения которых необходимо знать поверхностную энергию, энергию и силы адгезии и когезии. Примером является задача о расслоении композитов. В выражение энергетического критерия прочности входит суммарная поверхностная энергия контактирующих элементов или энергия адгезии. Эти величины определить методами классической теории упругости невозможно. Силовые критерии прочности используют значения предельных напряжений – сил адгезии и когезии. Обычно их определяют экспериментально, что не всегда возможно или экономически невыгодно.
В работе предложен метод расчета поверхностной энергии и энергии адгезии упругих тел, находящихся в состоянии адгезии. Учтено следующее. Распределенная по границе тела суммарная поверхностная энергия равна распределенному по его объему изменению свободной энергии, произошедшему при образовании границы. При адгезии двух тел вдоль поверхности контакта формируется переходный слой. В нем физические и термодинамические свойства одного тела непрерывно переходят в свойства другого тела. Метод базируется на варианте градиентной модели сплошной упругой среды. В ее основе лежит предположение о многочастичном потенциальном нелокальном взаимодействии бесконечно малых частиц, составляющих среду. Дополнительные к классическим характеристики упругого состояния вычисляются с помощью дифференцирования известного выражения объемной плотности распределения свободной энергии. Оно строится на основании дополнительных гипотез о составе среды: упругая часть, фононный и электронный (для металлов) газы.
Ключевые слова: адгезия, термоупругость, нелокальное многочастичное взаимодействие, градиентная среда, поверхностная энергия, энергия адгезии, переходный слой.
L. Yu. Frolenkova, V. S. Shorkin
State University-Education-Science-Production Complex,
Orel, Russian Federation
METHOD OF CALCULATING THE SURFACE AND ADHESION ENERGIES OF ELASTIC BODIES
There are a number of problems for successful solutions to be aware of the surface energy, the energy and the force of adhesion and cohesion. An example is that of the bundle composites. The expression of the energy strength criterion is the total surface energy of the contacting elements or energy of adhesion. These values are determined by methods of the classical theory of elasticity is impossible. Power strength criteria using the limit values of powers – forces of adhesion and cohesion. They are usually determined experimentally, it is not always possible or economically unprofitable.
235
Методвычисленияповерхностнойэнергиииэнергииадгезииупругихтел
метров того же тела. До образования адгезионного контакта параметры pn(k ) и qm(k ) имеют вполне определенное стационарное, равновесное
распределение внутри каждого из тел B(k ) . После вступления тел B(1) и B(2) в адгезионный контакт поверхность A(1,2) , оказавшаяся в первый момент поверхностью разрыва распределений pn(k ) и qm(k ) , с течением
времени размывается. В окрестности ее первоначального положения возникает слой эффективной толщины h (так как четкой границы нет).
Его физические и термодинамические параметры P(1,2) ={pn(1,2)}
и Q(1,2) ={qm(1,2)} являются переходными от параметров тела B(1) к параметрам тела B(2) . Если зависимости pn(1,2) (r) ( r – радиус-вектор точки в отсчетном состоянии) являются непрерывными, то можно говорить о полной адгезии. Если же часть из них при переходе через поверхность A(1,2) имеет конечный разрыв, то можно говорить о частичной адгезии. При этом зависимости qm(1,2) (r) в любом случае во всем переходном слое остаются непрерывными.
Адгезия твердых тел и сопровождающие ее термомеханические явления в предлагаемой работе описаны на основании модели термоупругой среды, представленной в работе [9].
Бесконечно малые частицы dB(k ) ≡dB0(k ) создают вокруг себя бес-
конечно протяженное поле, посредством которого они осуществляют парное, тройное и т.д. взаимодействия с частицами как своего, так и
любого другого тела. Потенциалы |
d(n+1)Ψ(n+1) |
=Φ(n+1) |
dV |
dV |
...dV |
× |
|
(k ,p) |
(k ,p) |
0(k ) |
1(k ) |
m(k ) |
|
×dVm+1( p)...dVn( p) взаимодействия частицы dB0(k) ≡dB(k) , занимающей объем dV0(k) ≡dV(k) , с m частицами тела с номером k =1,2 и с n −m частицами тела с номером p =1, 2 предполагаются пропорциональными произведению объемов всех взаимодействующих частиц. Коэффициенты пропорциональности (далее потенциалы)
Φ(n) |
=Φ(n) |
(R |
0(k ) |
,R |
,...,R |
m(k ) |
,R |
m+1( p) |
,...,R |
n( p) |
) |
(1.1) |
(k ,p) |
(k ,p) |
|
1(k ) |
|
|
|
|
|
зависят от положений этих частиц в текущей конфигурации взаимодействующих тел.
237
Методвычисленияповерхностнойэнергиииэнергииадгезииупругихтел
дифференцирование по векторному аргументу r ; ( ju) – j-й градиент вектора перемещений u =u(r,t), определенный в точке r V при l =0 .
|
|
|
|
3 |
|
1 2 |
Пусть |
ju(k ) |
|
= |
∑ |
u(2k )i,i1...ij |
– норма градиента ju(k ) ( i – |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i,i1 ,...,ij =1 |
|
|
|
номер компоненты |
вектора |
u(k ) в |
ортонормированном базисе |
ei , i =1,2,3 ); индексы после запятой i1,...,ij |
означают номера координат |
||
x1,x2 или x3 , по |
которым |
производится дифференцирование |
|
( i1,...,ij =1,2,3 )).
Допускается, что для этого процесса выполняются неравенства
ju |
Dj−1 <<1 j =1,2,... , |
(1.2) |
(k ) |
|
|
где D – характерный размер области, в которой происходит изучаемый процесс.
На основании (1.2) допускается, что потенциал (1.1), определенный в текущей конфигурации, отличается от того же потенциала, определенного в отсчетной конфигурации ( Rq( p) =rq( p) , R0(k ) =r0(k ) ≡r(k) ),
на величину ∆Φ((nk ,)p) , являющуюся полиномом второй степени по отношению к ∆uq( p,k ) – начальной частью разложения изменения потен-
циала по внешним степеням относительных смещений взаимодействующих частиц.
n |
|
1 |
n |
|
|
∆Φ((kn,)p) =∑( lq |
Φ((kn,)p) )(∆uq( p,k ) )+ |
∑ |
(∆uq( p,k ) )( 2lq lr Φ((kn,)p) )(∆ur ( p,k ) ), (1.3) |
||
|
|||||
q=1 |
|
2!q,r=1 |
|
||
где lq =d.../ dlq , 2lq lr =d2
dlqdlr .
Процесс деформирования сопровождается теплопередачей и температурными изменениями от исходного значения T0(k ) до текущего значе-
ния T(k ) =T0(k ) +Θ(k) . При этом предполагается, что Θ(k) =T(k) −T0(k ) <<1.
T0(k ) T0(k )
В качестве отсчетной конфигурации и начального термодинамического состояния выбираются те конфигурация и состояние, которые имело бы изучаемое тело B(k ) в составе гипотетической бесконечно
239
