254
.pdf
Оценка напряженно-деформированного состояния цилиндра
принцип Даламбера [11], согласно которому ко всем действующим внешним силам необходимо добавить силы инерции, равные в рас-
сматриваемом случае m0ω2u , где ω2u – центростремительное ускоре-
ние; ω – угловая скорость вращения длинномерного цилиндра под действием момента Mкр; u – прогиб оси цилиндра, равный расстоянию от оси вращения x.
В рассматриваемом случае наибольший прогиб, а значит, и наиболее опасное напряженно-деформированное состояние длинного цилиндра имеют место в низшем положении объекта, когда массовые силы тяжести суммируются с силами инерции (см. рис. 3). При прочих положениях цилиндра эти силы частично или полностью компенсируют друг друга. Уравнение изгиба центральной линии длинномерного цилиндра, учитывающее действие сил инерции, имеет вид [1, 2, 4]
EI |
d4u(x) |
=m g +m ω2u(x) |
(10) |
|
|
||||
|
dx4 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
с теми же граничными условиями (2)–(5). Решение неоднородного дифференциального уравнения (10) четвертого порядка представляется суммой [5, 6] общего решения u1 (x) однородного дифференциального
уравнения
|
d4u |
(x) |
|
|
(x)=0 |
|
EI |
1 |
|
−m ω2u |
(11) |
||
|
|
|||||
|
dx4 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и частного решения u2 (x) неоднородного уравнения
EI |
d4u2 (x) |
− m ω2u |
2 |
(x)= m g . |
(12) |
|
|||||
|
dx4 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Общее решение u1 (x) уравнения (11) строится в виде [5, 6]
u |
(x)= Aeαx , |
(13) |
1 |
|
|
частное решение u2 (x) уравнения (12) согласно [5, 6] разыскивается в виде
u2 (x)= B , |
(14) |
|
31 |
М.Г. Бояршинов
соответствующем виду правой части уравнения (12), где A, B и α – искомые константы. Подстановка решения (13) в однородное дифференциальное уравнение (11) приводит к характеристическому уравнению
EIα4 Aeαx −m0ω2 Aeαx =0.
Введение обозначения D4 = m0ω2 
EI дает возможность предста-
вить полученное соотношение в виде алгебраического уравнения четвертой степени
α4 = D4 ,
корни которого
α1 = +D, α2 = −D, α31 =iD, α4 = −iD,
где i = −1 – мнимая (комплексная) единица. Общее решение однородного дифференциального уравнения (11) принимает вид
u1 (x)= A1eDx + A2e−Dx + A3eiDx + A4e−iDx.
Подстановка решения (14) в неоднородное дифференциальное уравнение (12) приводит к уравнению относительно константы B:
−m0ω2B = m0 g,
откуда следует, что B = −g 
ω2 . В итоге решение дифференциального уравнения (10) записывается в виде
u(x)=u1 (x)+u2 (x)= A1eDx + A2e−Dx + A3eiDx + A4e−iDx − ωg2
или, с учетом формулы Эйлера [5],
u(x)= A eDx + A e−Dx + A cosDx + A sin Dx − |
g |
. |
(15) |
|||
|
||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
ω2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Для нахождения значения постоянных интегрирования A1, A2 , A3, A4 используются граничные условия (2)–(5)
32
Оценка напряженно-деформированного состояния цилиндра
|
|
|
u(x) |
|
|
= |
A eDx + A e−Dx |
+ A cosDx |
+ A sin Dx |
− |
|
|
g |
= 0, |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
=0 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
ω |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
du(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x=0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dx |
|
|
−Dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
A1De |
|
− A2 De |
|
|
− A3Dsin Dx + A4DcosDx x |
|
= 0, |
|
||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
x=0 |
|
|
|
=0 |
|
|||||||||||||||||||
d2u(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0, (16) |
|||||||
|
|
|
|
= A D2eDx |
+ A D2e−Dx − A D2 cosDx − A D2 sin Dx |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
x |
=l |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
x=l |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
d3u(x) |
|
|
|
3 |
|
Dx |
3 |
|
|
−Dx |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= A1D |
e |
|
|
− A2 D |
e |
|
+ A3D |
|
sin Dx − A4D |
|
|
cosDx |
|
= |
0. |
|||||||
|
dx |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
x=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x=l |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Соотношения (16) представляют собой систему четырех линейных алгебраических уравнений относительно искомых величин
A1, A2 , A3, A4 :
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
1A1 |
|
+1A2 |
+1A3 |
+0A4 |
= |
|
|
, |
|
ω |
2 |
||||||
DA |
−DA |
+0A |
+DA |
|
|
|
||
= 0, |
|
|
||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
D2eDl A |
+D2e−Dl A |
−D2 cosDl A |
−D2 sin Dl A |
= 0, |
|
|
||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
−e−Dl D3 A |
+D3 sin Dl A |
−D3 cos Dl A |
= 0. |
|
|
||
eDl D3 A |
|
|
||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
Решение полученной системы линейных алгебраических уравнений для принятых ранее данных и угловой скорости вращения ω= 2π
3 с–1 позволяет определить постоянные интегрирования
A1 = −0,27618, A2 = −1,3187, A3 = −0,64157, A4 = −1,0425.
Решение (15) принимает вид
u(x)= −0,27618eDx −1,3187e−Dx −0,64157cosDx −1,0425sin Dx − |
g |
, (17) |
|
ω2 |
|||
|
|
где D = 0,095218, м–1.
На рис. 4 приведены форма прогиба осевой линии длинномерного цилиндра и ее кривизна, которая определяется выражением
κ = |
d2u(x) |
= −D2 (0,27618eDx +1,3187e−Dx − |
(18) |
2 |
|||
|
dx |
|
−0,64157cosDx −1,0425sin Dx).
33
М.Г. Бояршинов
Наибольшая кривизна (см. рис. 4, б) имеет место в точке x = 0,
κ x=0 = −D2 (0,27618eD0 +1,3187e−D0 −
−0,64157cos0 −1,0425sin0)= −0,00864 м–1,
а значит, наибольшие (по модулю) растягивающие и сжимающие напряжения в длинномерном изделии достигаются именно в этом сечении,
σmax = −Eκmax d2e =152,11 МПа.
По сравнению с результатами, полученными при расчете напряжения при изгибе под действием силы тяжести, инерция вращательного движения повысила максимальное напряжение на 7,27 МПа, или на 5 %.
а
б
Рис. 4. Действие силы тяжести и вращения на ось длинномерного цилиндра: а– зависимостьотпродольнойкоординаты x (м) прогиба u (м); б– зависимость от продольной координаты x (м) кривизны κ (м–1)
34
Оценка напряженно-деформированного состояния цилиндра
3. Сдвиговые напряжения от крутящего момента
Определение величины касательного напряжения от действия крутящего момента M кр , приложенного к длинномерному цилиндру,
выполняется согласно [1, 2, 4]:
τ= |
Mкр |
r , |
(19) |
|
I p |
||||
|
|
|
||
где r – расстояние от оси кручения до рассматриваемой точки; I p |
– по- |
|||
лярный момент инерции поперечного сечения. Для заданных диаметрах de и di цилиндра и величине крутящего момента Mкр =11250 кН м мак-
симальное сдвиговое напряжение определяется величиной
τmax = |
Mкр d |
e |
=14,59 |
МПа. |
|||
I p |
|
2 |
|||||
|
|
|
|||||
Учитывая сложное напряженное состояние длинномерного цилиндра, испытывающего растягивающее напряжение от изгибающих нагрузок и сдвиговое напряжение от крутящего момента, эквивалентное (суммарное) напряжение следует определять с использованием понятия интенсивности напряжения σi , определяемого общим выраже-
нием [1, 4, 12]
σi = |
1 |
(σx −σy )2 + |
(σy −σz )2 |
+(σz −σx )2 |
+6(τ2xy + τ2yz + τ2zx ). (20) |
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
||
В рассматриваемом |
случае, |
учитывая |
σmax =152,11 МПа и |
|||
τmax =14,59 МПа, эквивалентное напряжение принимает значение
σi = σ2max +3τ2max =154,19 МПа.
Выводы
Основным фактором, определяющим напряженно-деформирован- ное состояние длинного цилиндра, является изгиб за счет собственного веса. Вращение длинного цилиндра вокруг собственной оси обеспечивает знакопеременное нагружение периферийных слоев длинного цилиндра. Дополнительное вращение длинного цилиндра, обусловленное
35
М.Г. Бояршинов
наличием инерционных массовых сил, способствовало увеличению амплитудного значения напряжения на 5 %. Наличие крутящего момента привело к появлению сдвиговых напряжений, достигающих максимального значения на поверхности длинного цилиндра. Эквивалентное напряжение, учитывающее сложное напряженное состояние, увеличилось по сравнению с изгибом и вращением на 1,4 %.
Библиографический список
1.Тимошенко С.П., Гере Дж. Механика материалов. – СПб.:
Лань, 2002 – 672 с.
2.Биргер И.А., Шорр Б.Ф., Иосилевич Г.Б.. Расчет на прочность деталей машин. – М.: Машиностроение, 1979. – 702 с.
3.Светлицкий В.А. Механика стержней. – М.: Высшая школа, 1987. – Ч. I. – 304 с.
4.Филин А.П. Прикладная механика деформируемого твердого тела. – М.: Наука, 1978. – Т. 2. – 616 с.
5.Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. – М.: Наука, 1973. – 720 с.
6.Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1976. – 576 с.
7.Алгоритм исследования напряженно-деформированного состояния проволоки при деформировании знакопеременным изгибом с натяжением / М.Г. Бояршинов, Е.М. Киреев, Б.А. Никифоров, П.В. Трусов // Изв. высш. учеб. зав. Черная металлургия. – 1984. – № 8. – С. 79–83.
8.Бояршинов М.Г. Интервальные векторы и тензоры в прикладных инженерных задачах // Инженерно-физический журнал. – 2011. –
Т. 84, № 2. – С. 418–428.
9.Boyarshinov M.G. Interval vectors and tensors in applied engineering problems // Journal of engineering physics and thermo-physics. – 2011. – Vol. 84. – No. 2. – P. 451–462.
10.Boyarshinov M.G., Gitman M.B., Trusov P.V. A method of solution for the cyclic bending problem // Int. J. Mech. Sci. – 1992. – Vol. 34, No. 11. – P. 881–889.
11.Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. – М.: Высш.
школа, 1986. – 416 с.
12.Писаренко Г.С., Можаровский Н.С. Уравнения и краевые задачи теории упругости и пластичности. – Киев: Наукова думка, 1981. – 496 с.
36
Оценка напряженно-деформированного состояния цилиндра
References
1.Timoshenko S.P., Gere J.M. Mehanika materialov [Mechanics of materials]. Saint-Petersbourg.: Lan’, 2002. 672 p.
2.Birger I.A., Shorr B.F., Iosilevich G.B. Raschjot na prochnost' detalej mashin [Calculations of strength of the machine parts]. Moscow: Mashinostroenie, 1979. 702 p.
3.Svetlickij V.A. Mehanika sterzhnej [Mechanics of the pivots]. Moscow: Vysshaja shkola, 1987, part I, 304 p.
4.Filin A.P. Prikladnaja mehanika deformiruemogo tvjordogo tela [Applied mechanics of deformable solids]. Moscow: Nauka, 1978, vol. 2, 616 p.
5.Bermant A.F., Aramanovich I.G. Kratkij kurs matematicheskogo analiza [Brief manual of the mathematical analysis]. Moscow: Nauka, 1973. 720 p.
6.Kamke E. Spravochnik po obyknovennym differencial'nym uravnenijam [Differential gleichungen]. Moscow: Nauka, 1976. 576 p.
7.Boyarshinov M.G., Kireev E.M., Nikiforov B.A., Trusov P.V. Algoritm issledovanija naprjazhenno-deformirovannogo sostojanija provoloki pri deformirovanii znakoperemennym izgibom s natjazheniem [The study algorithm of the stress-strained state of wire deformed under cyclic bending and tension]. Izvestija vysshykh uchebnykh zavedeniy. Chernaja metallurgija, 1984, no. 8, pp. 79-83.
8.Boyarshinov M.G. Interval'nye vektory i tenzory v prikladnyh inzhenernyh zadachah [Interval vectors and tensors in applied engineering problems]. Inzhenerno-fizicheskij zhurnal, 2011, vol. 84, no. 2, pp. 418-428.
9.Boyarshinov M.G. Interval vectors and tensors in applied engineering problems. Journal of engineering physics and thermo-physics, 2011, vol. 84, no. 2, pp. 451-462.
10.Boyarshinov M.G., Gitman M.B., Trusov P.V. A method of solution for the cyclic bending problem. Int. J. Mech. Sci., 1992, vol. 34, no. 11, pp. 881-889.
11.Targ S.M. Kratkij kurs teoreticheskoj mehaniki [Brief manual of the theoretical mechanics]. Moscow: Vysshaja shkola, 1986. 416 p.
12.Pisarenko G.S., Mozharovskij N.S. Uravnenija i kraevye zadachi teorii uprugosti i plastichnosti [Equations and the boundary-value problems of the theory of elasticity and plasticity]. Kiev: Naukova dumka, 1981. 496 p.
37
М.Г. Бояршинов
Сведения об авторе
Бояршинов Михаил Геннадьевич (Пермь, Россия) – доктор технических наук, профессор кафедры динамики и прочности машин Пермского национального исследовательского политехнического университета (614990, Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: michaelgb@mail.ru).
About the authors
Boyarshinov Michael Gennadyevich (Perm, Russian Federation) – Professor of Department of Dynamics and Strength of Machines, Doctor of Sciences in Engineering, Perm National Research Polytechnic University (29, Komsomolsky av., 614990, Perm, Russian Federation, e-mail: michaelgb@mail.ru).
Получено 15.02.2013
38
В Е С Т Н И К П Н И П У
2013 Механика № 1
УДК 539.3
И.Н. Бояршинова
Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, Россия
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ОПТИМИЗАЦИИ К ЧИСЛЕННОМУ АНАЛИЗУ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОЛЕЙ ЗАГОТОВОК КВАРЦЕВОГО ОПТИЧЕСКОГО ВОЛОКНА
Предложена методика определения величины теплового нагружения при высоких температурах, позволяющая с высокой точностью найти температуру нагрева поверхности пламенем газовой горелки, что необходимо для обеспечения точности дальнейших исследований температурных полей и напряженно-деформированного состояния изделий.
Рассматривается задача определения температуры поверхности заготовки оптического волокна из кварцевого стекла в зоне разогрева газовой горелкой и дальнейшее исследование температурных полей в заготовке в процессе производства. Методика определения температуры поверхности заготовки в зоне нагревания газовой горелкой включает проведение эксперимента, позволяющего измерить температуру в нескольких точках поверхности заготовки, удаленных от пламени горелки, и последующее решение задачи оптимизации для нахождения температуры поверхности непосредственно в зоне нагрева. В процессе эксперимента температура поверхности трубки измерялась двумя термопарами, расположенными на расстоянии от зоны нагрева, а затем решалась задача оптимизации. В качестве целевой функции выбрана сумма квадратов отклонений расчетных значений температуры в заданных точках от значений, полученных в ходе эксперимента.
Разработанная методика проверена на ряде тестовых задач. Единственность решения задачи оптимизации была подтверждена путем «спуска» из нескольких различных начальных значений.
Исследованы температурные поля в заготовке кварцевого оптического волокна, нагреваемой с помощью равномерно движущейся газовой горелки.
Для решения нестационарной задачи теплопроводности использован метод конечных элементов, задача оптимизации решалась методом золотого сечения.
Ключевые слова: нестационарная задача теплопроводности, кварцевое оптическое волокно, поле температур, оптимизация, целевая функция.
39
И.Н. Бояршинова
I.N. Boyarshinova
Perm National Research Polytechnic University, Perm, Russian Federation
THE USE OF OPTIMIZATION TECHNIQUES FOR NUMERICAL ANALYSIS OF TEMPERATURE FIELDS IN THE QUARTZ OPTICAL FIBER BILLET
In this paper a procedure is proposed for determination of heat load under high temperatures. The procedure proposed allows finding temperature of a surface heated by a gas burner flame which is necessary to assure the accuracy of further research of temperature fields and stress-strain state of products.
The discussed problem is about determining surface temperature of an optical fiber billet made of quartz glass placed within heating zone of a gas burner and also further research of temperature fields within the billet in course of a production process. Method of determining surface temperature of a billet in a gas burner heating zone includes conducting an experiment to measure temperature in a number of points away from the burner flame and subsequent solving of an optimization problem to calculate the temperature of a surface within heating zone. In the course of experiment surface temperature of a tube was measured by two thermocouples at a distance from the heating zone which was followed by solving an optimization problem. As the target function, sum of squares of deviations of calculated temperature values at given points from the observed experimental values was taken.
The developed method has been tested on a series of test problems. The uniqueness of the solution of optimization problem was confirmed by ‘descending’ from a set of different initial values.
Temperature fields within billet of a quartz optical fiber heated by a uniformly moving gas burner were examined.
To solve a non-stationary heat conduction problem, finite elements method has been used while the optimization problem has been solved by the Golden section method.
Keywords: unsteady problem of heat conductivity, quartz optical fiber, temperature field, optimization, criterion function.
Введение
Рассматриваемая задача была сформулирована при исследовании технологического процесса производства оптического волокна из кварцевого стекла [1]. В начале процесса кварцевая заготовка нагревается равномерно движущейся газовой горелкой до температуры выше 1500 ○С. Для обеспечения точности исследования температурных полей и напряженно-деформированного состояния заготовки необходимо максимально точное определение температуры нагрева. Однако измерение температуры пламени горелки с помощью спектрометра дает высокую погрешность, которая при дальнейшем моделировании процессов производства оптического волокна составит неустранимую погрешность исходных данных. Более точно измерить температуру поверхности заготовки можно при помощи термопар, погрешность изме-
40