254
.pdf
Волнынаповерхностицилиндрическойконфигурациимагнитнойжидкости
4) p |
+ µ1H0 ∂ψ1w = p |
2w |
+ µ2 H0 ∂ψ2w |
( r = a ), |
1w |
4π ∂z |
4π ∂z |
|
|
|
|
|
5)∂∂ϕr2 = ∂∂ξt ( r = a0 ),
6)ψ2w = ψ3w ( r = a0 ),
7)µ2 H0 ∂ξ−∂ψ2w = µ3 H0 ∂ξ−∂ψ3w ( r = a0 ),
∂z ∂r ∂z ∂r
|
|
|
µ2 H |
0 ∂ψ2w |
|
µ3 H0 ∂ψ3w |
|
ξ |
|
1 ∂ |
2 |
ξ |
|
∂ |
2 |
ξ |
|
|
|||
8) |
p2w |
+ |
− |
|
+ |
|
+ |
|
|
( r = a0 ), |
|||||||||||
4π ∂z |
4π ∂z |
= −α |
2 |
2 |
|
∂θ |
2 |
∂z |
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
a0 |
|
a0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
9) |
ψ3w (b) =0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Кроме того, на оси пористого цилиндра ( r = 0 ) решения уравнений должны быть конечными.
В граничных условиях (9) вместо p1w , p2w надо подставить их
выражения (7).
Математическая модель является, таким образом, краевой задачей, состоящей из уравнений Лапласа (4) в цилиндрических координатах и граничных условий (9).
2. Решение краевой задачи
Решение уравнений (4) с граничными условиями (9) ищем в виде
|
{ϕ1 ,ϕ2 ,ψ1w ,ψ2w ,ψ3w ,ξ}= |
|
(10) |
|||||
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ikz+imθ). |
||
={ϕˆ 1 (r),ϕˆ 2 (r),ψˆ 1w (r), ψˆ 2w (r),ψˆ 3w (r),ξ}exp(−γt |
||||||||
Здесь, например, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ1 (r, θ, z,t)= ϕˆ 1 (r) exp(−γt+ikz+imθ), |
|
||||||
где ϕˆ 1 (r) |
– неизвестная |
амплитуда; k = 2π λ – |
|
волновое число; |
||||
m = 0, 1, |
2, ...; γ = γr +iγi ; |
ω = |
|
γi |
|
– частота; β = γr |
– коэффициент, |
|
|
|
|||||||
который может быть как положительным (при затухании возмущения), так и отрицательным (при неустойчивости, приводящей к нарастанию возмущения).
201
Н.Г. Тактаров, О.А. Рунова
Подставляя выражения (10) для ϕi ( i = 1, 2) и для ψ jw ( j = 1, 2,
3) в уравнения Лапласа, записанные в цилиндрических координатах, получим систему пяти модифицированных уравнений Бесселя порядка m для амплитуд, решения которых имеют вид
ϕˆ1 =C1Im (kr)+C2 Km (kr), ϕˆ 2 =C3Im (kr)+C4 Km (kr), ψˆ 1w =C5 Im (kr)+C6 Km (kr), ψˆ 2w =C7 Im (kr)+C8 Km (kr), ψˆ 3w =C9 Im (kr)+C10 Km (kr).
Здесь Im и Km – модифицированные функции Бесселя первого и второго рода порядка т. Следует положить C2 = 0 и C6 = 0 , так как
Km (kr) → ∞ при r → 0 .
Граничные условия (9) принимают для амплитуд вид
1)C1 Im′ (ka) = C3 Im′ (ka) + C4 Km′ (ka) ,
2)C5Im (ka) = C7 Im (ka) +C8Km (ka) ,
3)µ1C5 Im (ka) = µ2C7 Im′ (ka) +µ2C8 Km′ (ka) ,
4)− ρΓγ C1Im (ka) + Kη C1Im (ka) − ikµ41πH0 C5Im (ka) =
=−ργ[C3Im (ka)+C4 Km (ka)]− ikµ42πH0 [C7 Im (ka)+C8Km (ka)],
5)kC3Im′ (ka0 ) + kC4 Km′ (ka0 ) = −γξˆ ,
6) |
C7 Im (ka0 ) +C8 Km (ka0 ) = C9 Im (ka0 ) +C10 Km (ka0 ) , |
(11) |
||||||||||
7) |
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
µ2 { ikH0ξ−C7kIm′ (ka0 )−C8kKm′ (ka0 )}= |
|
|
||||||||||
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=µ3 {ikH0ξ−C9 kIm′ (ka0 )−C10 kKm′ (ka0 )}, |
|
|
|
|
||||||||
8) ργ2 [C3Im (ka0 )+C4 Km (ka0 )]+ |
ikµ2γH0 |
[C7 Im (ka0 )+C8 Km (ka0 )]− |
|
|||||||||
4π |
|
|||||||||||
− ikµ3γH0 [C |
I |
|
(ka ) +C K |
|
(ka )]= − |
ˆ |
− ka2 ), |
|
||||
m |
m |
αγξ (1− m2 |
|
|||||||||
4π |
9 |
|
0 |
10 |
0 |
|
a02 |
0 |
|
|||
C9 Im (kb)+C10 Km (kb) =0.
202
Волнынаповерхностицилиндрическойконфигурациимагнитнойжидкости
Здесь i – мнимая единица, штрихами обозначены производные. Имеем систему девяти однородных уравнений (11) для девяти
неизвестных: C1 , C3 , C4 , C5 , C7 , C8 , C9 , C10 , ξˆ . Для упрощения вычислений далее предполагаем, что a0 
b <<1 (соленоид достаточно
большого радиуса). Приравнивая затем определитель системы (11) к нулю, получим дисперсионное уравнение для поверхностных волн, кубическое относительно γ:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Aγ3 |
|
|
+ A γ2 |
+ A γ+ A =0, |
|
|
|
|
|
|
(12) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
||||||
|
|
A1 =ρ(µ2 −µ1 )(µ3 |
−µ2 ) |
−1 Km (ka0 )Km′ (ka0 )Im (ka)[Im′ (ka)] |
− |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
−1 |
1 |
−1 R1R2 Km (ka0 )I m |
(ka)Im′ (ka)−ρR1R2 AIm (ka0 )+ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ρ Γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
+ρ(µ2 −µ1 )(µ3 −µ2 )AIm (ka)Im′ (ka)Im (ka0 )Km (ka0 )Km′ (ka0 ), |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A2 |
= |
|
η |
R1 R2Q4 Im (ka)− |
|
η |
(µ2 −µ1 )(µ3 −µ2 )Q4 Km′(ka0 )Im2 (ka)Im′(ka)Km (ka0 ), |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
A |
=µ |
(µ −µ ) |
αk |
S |
|
|
|
2 |
−k |
2 |
|
2 |
K |
(ka )K |
′ |
(ka )I |
(ka)I |
′ |
(ka)+ |
|||||||||||||||||||||||
|
|
a2 |
|
1−m |
|
|
|
a |
m |
m |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
3 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ) |
|
|
m |
0 |
|
0 |
m |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+µ3 (µ2 −µ1 ) |
H02k2 |
|
|
(µ3 −µ2 )SK m2(ka0 )Im (ka)Im′ (ka)− |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−(µ3 |
|
−µ2 )2 |
H02k2 |
R2SKm (ka0 )Im (ka0 )+ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
+µ2 (µ2 −µ1 )(µ3 −µ2 ) |
H02k2 |
Im (ka)Km (ka0 )Im′ (ka)× |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4π |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
×[Q3Im′ (ka0 )Km (ka0 )−Im (ka0 )Im (ka)Km′ (ka)Km′ (ka0 )]− |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
( |
|
|
|
0 ) |
, |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−αk R R S 1−m2 −k2a2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
η αk |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
1−m |
−k a I |
|
|
|
(ka)× |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρK a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
( |
|
|
|
|
|
|
|
0 ) |
m |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
× µ µ −µ |
|
|
|
|
K (ka )K |
′ |
(ka )I (ka)I |
′ |
(ka)−R R |
+ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 ( |
2 |
|
|
1) |
|
|
m |
|
|
|
0 |
|
m |
|
0 |
|
m |
m |
|
1 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
203
Н.Г. Тактаров, О.А. Рунова
|
+(µ3 |
−µ2 ) |
H02k2 |
|
η |
Q2 Km (ka0 )Im (ka)× |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4π |
|
|
ρK |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× µ µ −µ |
K |
m |
(ka )I |
(ka)I |
′ |
(ka)− µ −µ |
R I |
(ka ) |
, |
||||||||||
3 ( |
2 1 ) |
|
|
|
0 m |
|
|
|
m |
|
|
|
( 3 2 ) |
2 |
m |
0 |
|
||
|
A=Im′ (ka)Km (ka)− |
1 |
|
Im (ka)Km′ (ka), |
|
|
|
||||||||||||
|
Γ |
|
|
|
|||||||||||||||
|
Q1 =Im (ka)Km′ (ka0 )−Im′ (ka0 )Km (ka), |
|
|
|
|||||||||||||||
|
Q2 =Im′ (ka)Km′ (ka0 )−Km′ (ka)Im′ (ka0 ), |
|
|
|
|||||||||||||||
|
Q3 =Im (ka)Km′ (ka)−Im′ (ka)Km (ka), |
|
|
|
|||||||||||||||
|
Q4 =Im′ (ka)Km (ka0 )−Km′ (ka)Im (ka0 ), |
|
|
|
|||||||||||||||
|
R1 =µ3Im (ka0 )Km′ (ka0 )−µ2 Im′ (ka0 )Km (ka0 ), |
|
|
||||||||||||||||
|
R2 =µ2 Im (ka)Km′ (ka)−µ1Im′ (ka)Km (ka), |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
S =Q1Im′ (ka)− |
1 |
Q2 Im |
(ka). |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Γ |
|
|
|
|
|||||||||||
Отметим, что при Γ →1, |
η K → 0 (замена пористой среды жид- |
||||||||||||||||||
костью) первое уравнение (1) переходит в уравнение Эйлера, а из уравнения (12) при a → 0 следует квадратное относительно γ дисперсионное уравнение, полученное в работе [2], результаты которой согласуются с экспериментом. При H0 = 0 (либо при µ1 = µ2 = µ3 =1 )
и отсутствии пористой среды получается классический результат Релея о распаде струи обычной жидкости.
Уравнение (12) – кубическое и может быть приведено к так называемому неполному кубическому уравнению [8] с дискриминантом
Q = (p
3)3 + (q
2)2 , где p и q выражаются через коэффициенты уравнения (12). При условии Q > 0 существует волновое движение, поскольку уравнение (12) имеет при этом два комплексно сопряженных корня. При Q ≤ 0 волновых движений нет, так как все три корня уравнения (12) действительные.
204
Волнынаповерхностицилиндрическойконфигурациимагнитнойжидкости
3. Анализ модели
Конкретные числовые расчеты с дисперсионным уравнением (12)
проводились |
для |
следующих |
значений параметров: |
ρ =1 г/см3; |
||||
α = 20 г/с2; |
η = 0,01г/см с; |
Γ = 0,8; K = 0,02 см2; |
0 < k <1,8 см –1; |
|||||
0 ≤ H0 ≤ 40 Э (эрстед); µ1 =1,8; µ2 |
= 2; µ3 =1; µs |
=1. |
|
|
||||
|
Для симметричных возмущений ( m = 0 ) и фиксированных значе- |
|||||||
ний |
a = 0,5 см, a0 |
=1,1 см, |
0 ≤ H0 ≤ 40 Э интервал 0 < k <1,8 см–1 де- |
|||||
лится критической точкой kc |
( λc |
= 2π/ kc ), которая находится из усло- |
||||||
вия Q = 0 , на два интервала. В интервале 0 < k < kc |
волны отсутству- |
|||||||
ют: |
происходит |
нарастание |
возмущений |
(β < 0 ). |
Амплитуда |
|||
возмущения растет с наибольшей скоростью при k = km , при котором β достигает максимума. Размер образующихся при распаде жидкого
столба капель λm ≈ 2π/ km |
[2]. При k → kc |
движение жидкости замед- |
||||||||||||||
ляется, |
т.е. ω → 0 , β → 0 . |
В интервале |
kc < k <1,8 |
см−1 существуют |
||||||||||||
затухающие (β > 0 ) волны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ниже, в таблице, |
приведены значения k c , |
k m , |
βm =β(km ) |
в зави- |
||||||||||||
симости от H0 |
для a = 0,5 см, a0 = 1,1 см, |
m = 0 и перечисленных вы- |
||||||||||||||
ше значений остальных параметров. Здесь β(k) =β(k)(α/ρa3 )−1/2. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H0 , Э |
|
0 |
5 |
|
|
10 |
|
|
15 |
20 |
25 |
|
30 |
35 |
40 |
|
kc , см–1 |
0,910 |
0,888 |
|
|
0,827 |
|
0,734 |
0,624 |
0,514 |
|
0,420 |
0,346 |
0,290 |
|||
km , см–1 |
0,638 |
0,613 |
|
|
0,572 |
|
0,502 |
0,429 |
0,342 |
|
0,282 |
0,235 |
0,195 |
|||
~ |
|
–1,288 |
–1,239 |
|
–1,136 |
|
–0,970 |
–0,800 |
–0,643 |
–0,517 |
–0,434 |
–0,361 |
||||
βm |
|
|
|
|||||||||||||
На рис. 1 приведены графики зависимостей безразмерных вели- |
||||||||||||||||
~ |
|
|
3 |
|
−1/ 2 |
и |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
||
чин ω(k) = ω(k)(α/ ρa0 ) |
|
|
β(k) при m = 0 для различных значений |
|||||||||||||
невозмущенного магнитного поля H0 .
При m =1 частота больше, а затухание возмущений сильнее, чем при m =0, при одинаковых значениях прочих параметров. При m ≥ 2 движение является апериодическим, с сильным затуханием всех возмущений.
205
Н.Г. Тактаров, О.А. Рунова
а б
Рис. 1. Зависимости безразмерной частоты ω (а) и коэффициента затухания β (б)
от волнового числа k: H0 = 0, 10, 20, 30, 40 Э (1–5); m =0; a = 0,5 см; a0 = 1,1 см
~
На рис. 2 приведены графики зависимостей ω~(k) и β(k) при m = 0 и фиксированных значениях H0 = 20 Э, a = 0,5 см для разных значений a0 . Они показывают влияние радиуса a0 на безразмерные частоту и декремент возмущений различных длин волн.
а |
б |
|
|
~ |
β (б) |
Рис. 2. Зависимости безразмерной частоты ω (а) и коэффициента затухания |
||
от волнового числа k: a0 = 0,7; 0,8; 0,9; 1,0; 1,1 см (1–5); a = 0,5 см; m =0; H0 = 20 Э
На рис. 3 приведен график зависимости β(k) при m = 0 и фиксированных значениях H0 =20 Э, a0 =1,1 см для разных значений а. Показано, что при m =0, a0 =1,1 см, H0 =20 Э и изменении а от 0,5 до 0,9 см безразмерная частота слабо зависит от радиуса пористого цилинд-
206
Волнынаповерхностицилиндрическойконфигурациимагнитнойжидкости
ра, то есть при изменении величины а график зависимости ω(k) практически не изменяется и имеет вид, аналогичный приведенному на рис. 1.
Рис. 3. Зависимость безразмерного коэффициента затухания β
от волнового числа k: а = 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9 см (1–5); а0 = 1,1 см; т =0; Н0 = 20 Э
Заключение
Исследовано распространение и неустойчивость волн на поверхности цилиндрического столба магнитной жидкости, окружающей ядро из пористого материала в приложенном магнитном поле, направленном вдоль оси жидкого столба. Рассмотрена область длинных волн ( 0<k <1,8 см−1 ), которая при симметричных возмущениях ( m = 0 ) и
достаточно слабых полях ( 0≤H0 ≤40 Э) делится критической точкой kc на два интервала. В интервале 0<k <kc происходит апериодическое движение (β<0 ) с нарастающей амплитудой, приводящее к распаду жидкого столба на цепочку из соединенных между собой капель, длина которых λm =2π/ km . Показано, что длина капель увеличивается с ростом магнитного поля H0. Таким образом, магнитное поле оказывает
стабилизирующее влияние на распад жидкого столба, препятствуя его разрушению.
При k →kc ( λ→λc =2π/ kc ) движение жидкости замедляется, т.е. ω→0 , β→0 , что связано с взаимной нейтрализацией капиллярных и магнитных сил, действующих на поверхности жидкости.
207
Н.Г. Тактаров, О.А. Рунова
В интервале k <k <1,8 см−1 |
существует затухающее волновое |
c |
|
движение с безразмерной частотой ω(k), монотонно возрастающей с ростом волнового числа k. Зависимость β(k) имеет более сложный характер и не является монотонной.
Авторы благодарят Э.Н. Егереву за помощь в работе. Исследование выполнено при поддержке Министерства образо-
вания и науки Российской Федерации, соглашение 14.132.21.1353.
Библиографический список
1.Розенцвейг Р. Феррогидродинамика. – М.: Мир, 1989. – 356 с.
2.Тактаров Н.Г. Распад струи магнитной жидкости // Магнитная гидродинамика. – 1975. – № 2. – С. 35–38.
3.Столяров И.В., Тактаров Н.Г. Распространение волн в слое
жидкости на пористом основании // Изв. АН СССР. Механика жидко-
сти и газа. – 1987. – № 5. – С. 183–186.
4.Миронова С.М., Тактаров Н.Г. Распространение волн на заряженной поверхности цилиндрического столба жидкости, окружающей длинное пористое ядро // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. – 2012. –
№4. – С. 104–110.
5.Тактаров Н.Г., Иванов А.Б. К исследованию фильтрации магнитных жидкостей // Магнитная гидродинамика. – 1990. – № 3. –
С. 138–139.
6.Седов Л.И. Механика сплошной среды. – М.: Наука, 1976. –
Т. 1. – 536 с.
7.Тамм И.Е. Основы теории электричества. – М.: Наука, 1976. –
616 с.
8.Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1975. – 431 с.
References
1.Rosensweig R. Ferrogidrodinamika [Ferrohydrodynamics]. Moscow: Mir, 1989. 356 p.
2.Taktarov N.G. Raspad strui magnitnoj zhidkosti (Breakup of magnetic fluid jet]. Magnitnaya gidrodinamika, 1975, no. 2, pp. 35-38.
3.Stolyarov I.V., Taktarov N.G. Rasprostranenie voln v sloe zhidkosti na poristom osnovanii [Wave propagation in the liquid layer on a porous
208
Волнынаповерхностицилиндрическойконфигурациимагнитнойжидкости
basis]. Izvestiya Akademii nauk SSSR. Mexanika zhidkosti i gaza, 1987, no. 5,
pp.183-186.
4.Mironova S.M., Taktarov N.G. Rasprostranenie voln na zaryazhennoj poverxnosti cilindricheskogo stolba zhidkosti, okruzhayushhej dlinnoe poristoe yadro [Wave propagation on a charged surface of a cylindrical liquid column surrounding a long porous core]. Izvestiya Rossiyskoy akademii nauk. Mexanika zhidkosti i gaza, 2012, no. 4, pp. 104-110.
5.Taktarov N.G., Ivanov A.B. K issledovaniyu fil'tracii magnitnyx zhidkostej [To the research of the filtration of magnetic fluid]. Magnitnaya gidrodinamika, 1990, no 3, pp. 138-139.
6.Sedov L.I. Mexanika sploshnoj sredy [Dynamics of continuum media]. Moscow: Nauka, 1976, vol. 1, 536 p.
7.Tamm I.E. Osnovy teorii e'lektrichestva [A basic course of the electricity]. Moscow: Nauka, 1976. 616 p.
8.Kurosh A.G. Kurs vysshej algebry [The course of Higher Algebra]. Moscow: Nauka, 1975. 431 p.
Об авторах
Тактаров Николай Григорьевич (Саранск, Россия) – доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры математики Мордовского государственного педагогического института им. М.Е. Евсевьева (430007, Республика Мордовия, г. Саранск, ул. Студен-
ческая, 11А, e-mail: colonnt@mail.ru).
Рунова Ольга Александровна (Саранск, Россия) – аспирант ка-
федры математики Мордовского государственного педагогического института им. М.Е. Евсевьева (430007, Республика Мордовия, г. Са-
ранск, ул. Студенческая, 11А, e-mail: runova.olga@list.ru).
About the authors
Taktarov Nikolay Grigoryevich (Saransk, Russian Federation) – Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Mordovian State Pedagogical Institute (11A, Studencheskaya St., 430007, Saransk, Russian Federation, e-mail: colonnt@mail.ru).
Runova Olga Alexandrovna (Saransk, Russiaт Federation) – postgraduate student, Mordovian State Pedagogical Institute (11A, Studencheskaya St., 430007, Saransk, Russian Federation, e-mail: runova.olga@list.ru).
Получено 7.02.2013
209
В Е С Т Н И К П Н И П У
2013 Механика № 1
УДК 539.376
А.Н. Труфанов
Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, Россия
ЭВОЛЮЦИЯ ПОЛЕЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЙ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ СИЛОВОМ СТЕРЖНЕ ДЛЯ ЗАГОТОВКИ ОПТОВОЛОКНА ТИПА PANDA В ПРОЦЕССЕ ОТЖИГА
Исследованы закономерности эволюции полей технологических напряжений в цилиндрическом силовом стержне для заготовки оптоволокна типа Panda в процессе отжига. Реализована математическая модель формирования технологических напряжений, построенная на основе соотношений линейной термовязкоупругости, в температурных режимах, соответствующих технологическому процессу отжига силового стержня. Установлены количественные характеристики релаксации напряжений в различных условиях протекания процесса отжига. Выявлены режимы, приводящие к максимально возможному снижению опасных растягивающих нормальных напряжений и интенсивности тензора напряжений. Установлено, что для стержней, закон легирования в которых близок к равномерному, процесс отжига является более эффективным, чем для стержней с законами легирования, близкими к параболическому.
Ключевые слова: технологические напряжения, остаточные напряжения, анизотропное оптическое волокно, релаксационный переход, отжиг.
A.N. Trufanov
Perm National Research Polytechnic University, Perm, Russian Federation
EVOLUTION OF TECHNOLOGICAL STRESS FIELDS IN CYLINDRICAL STRESS APPLYING ROD FOR OPTICAL
FIBER PANDA-TYPE DURING ANNEALING
Investigated evolution regularities of the technological stress fields in the rod for preform of fiber Panda type during annealing. It is shown that the main reason of reducing the levels of the stress state is the relaxation, due to viscous deformation of silica glass in the temperature range of the glass transition. Implemented mathematical model of technological stresses formation in stress applying rod, on the basis of linear thermoviscoelasticity relations in conditions of annealing. Numerical analysis performed using finite element method (FEM). Identified the quantitative characteristics of stress relaxation in different process conditions of annealing. Defined modes that provide the maximum possible reduction of hazardous tensile normal stress and intensity of the stress tensor. Found that for the rod with uniform doping, the annealing process is more efficient than for the rod doped with regularity close to parabolic.
Keywords: technological stresses, residual stresses, polarization maintaining fiber, relaxation transition, annealing.
210