pdf.php@id=6185

то при соединении 6-го и s-ro полюсов в один (рис. 1.5,в) получим укороченную матрицу (п—11)-го порядка:

Y11Yl i ...(Ylk + Y19)..<Ytn

опорным. Возможны также случаи, когда ни один из внешних по­ люсов не является опорным. При анализе таких цепей, как пока­ зано в [25], удобно пользоваться полными матрицами проводи­ мостей компонентов. Когда один из внешних полюсов компонента оказывается опорным, строка и столбец его матрицы проводимос­ тей, соответствующие этому полюсу, вычеркиваются. Если же ком­ понент имеет собственный опорный полюс, соединенный с корпу­ сом, то нецелесообразно выбирать в качестве опорного другой внешний или посторонний полюс, так как при этом напряжение корпуса элемента окажется отличным от нуля. В дальнейшем бу­ дем рассматривать только укороченные матрицы компонентов с собственным опорным (нулевым) полюсом.

В электронных цепях помимо полюсов различают ветви и уз­ лы. Ветвью называют участок цепи, в котором в любой момент времени втекающий и вытекающий токи одинаковы. Ветвь может быть образована одним или несколькими последовательно вклю­ ченными двухполюсными компонентами. Узлом называют место соединения ветвей или полюсов многополюсных компонентов.

На рис. 1.6,а изображена принципиальная схема преобразова­ теля напряжение-ток на двух ОУ (схемы цепей и сами цепи тож ­ дественны [19]). Схема имеет 6 узлов, обозначенных 0, 2, 3, 4, 5 и 6 в кружках, и один одиночный полюс 1, не связанный с узлом. Любой узел электронной цепи, не связанный с внешними компо­ нентами, можно рассматривать как внутренний полюс. Однако его легко превратить и во внешний полюс, для чего достаточно к это­ му полюсу присоединить вывод и вывести его за пределы замкну­ той поверхности, охватывающей данную цепь.

На рис. 1.6,а выводы 0, 2, 3, 4, 5 и 6, соединенные с обозна­ ченными теми же цифрами узлами, являются внешними полюсами.

ков, втекающих в узел s. Очевидно, что токи внутренних полюсов равны нулю, так как к ним нельзя присоединить внешние элемен­ ты. Поэтому и токи внешних полюсов, полученных из внутренних, также равны /нулю. С другой стороны, внешний полюс, ток которо­ го равен нулю, может быть превращен во внутренний. Отметим, что н^оторые входные и выходные полюсы нецелесообразно рас-

11

Рассмотрим электронную цепь, все узлы и одиночные полюсы которой приняты за (внешние полюсы. Число всех внешних полю­ сов считаем равным (л+11). К каждому полюсу цепи могут ока­ заться (присоединенными произвольное число ветвей и полюсов многополюоных компонентов. Одиночный полюс рассматривается как частный случай полюса, к которому присоединен один двух­ полюсный или многоиодюсный компонент. На рис. 1.7 и 1.8 число ветвей и полюсов многополюоных компонентов, присоединенных к узлу s, обозначено соответственно через г и q. Ток полюса s ta=

напряжением us, при напряжениях на всех остальных узлах и оди­ ночных полюсах, равных нулю, т. е. когда все остальные узлы и

лу s цепи, и направлены ко всем остальным полюсам этих много­ полюсных элементов. Ток полюса а^-го многополюсного ком­ понента (ем. уравнение 1.1)

(1.7)

где Yaa® — собственная проводимость этого полюса.

и q многополюсных компонентов. Остальные полюсы цепи присоединены к опор­ ному полюсу О

13

ронной цепи равна сумме проводимостей всех ветвей, присоеди­ ненных к полюсу з, взятых со знаком плюс, и всех собственных проводимостей Yaa(l) полюсов а® многополюсников, присоединен­ ных к полюсу з этими полюсами а<1\ Для укороченной матрицы проводимостей s принимает все значения от II до п.

При определении взаимной проводимости YSh {s¥=k) между по­ люсами з и k следует принять равными нулю напряжения всех полюсов, включая полюс з, кроме полюса k (рис. 1.8). Тогда [см. уравнение (1.3)]

Y* ^J^h\u^oU^A)»

где для укороченной матрицы проводимостей k принимает все значения от II до л, кроме s, а г принимает все значения от 1 до п, кроме k. В этом случае положительное напряжение полюса k вызывает через проводимости ветвей, соединяющих полюс k с по­ люсом s, отрицательный ток в полюсе s. Тогда ток s-ro полюса

Здесь /о® — ток полюса а® l-то многополюсного компонента, при­ соединенного этим полюсом к полюсу з цепи, вызванный напряже­ нием Um*0 полюса m®, присоединенного к полюсу k цепи, при на­ пряжениях на всех остальных полюсах этого многополюсника ком­ понента, равных нулю. В свою очередь, ток

где Уam® — взаимная проводимость полюса а® /-го многополюс­ ного компонента, присоединенного этим полюсом к полюсу s це­ пи, относительно полюса mW этого многополюсного компонента, присоединенного к полюсу k цепи. Подставив (1.10) в (1.9) и уч­ тя, ЧТО «тп(г)= «А, получим

У .*- - (1 7 + У2 + ... + Yr) + ym + у е > + ... + :У‘ « . ( i .11)

Следовательно, взаимная проводимость Ysh полюса з относи­ тельно полюса k цепи равна сумме проводимостей всех ветвей, включенных между полюсами s и k, взятых со знаком 1минус, и взаимных проводимостей У0ж<г>полюсов а,ю всех многополюсников, присоединенных этими полюсами к полюсу з цепи, взятых относи­ тельно полюсов тФ\ присоединенных к полюсу k цепи.

Уравнения (1.8) и (1.11) применимы к любым полюсам, в том числе и к одиночным. Они позволяют сформулировать следующее правило получения исходной укороченной матрицы проводимостей [Y] цепи с (я + 1 ) узлами и одиночными полюсами.

14

Для получения исходной укороченной матрицы проводимостей [Y] цепи с (л-Ы ) узлами и отдельными полюсами, включая .внут­ ренний опорный или нулевой полюс, следует начертить таблицу из п строк и п столбцов. Проводимости ветвей, соединяющих по­ люс s с опорным нулевым полюсом, вписываются только в одну клетку ss со знаком плюс. Проводимости ветвей, соединяющих полюсы s и k, вписываются в четыре клетки: в клетки ss и kk со знаком плюс и в клетки sk и ks со знаком минус. Проводимости многополюоных компонентов берут из их матриц проводимостей. При этом в клетки ss вписывают собственные проводимости полю­ сов а^, соединенных с полюсом s цепи, а в клетки sk — взаим­ ные проводимости полюсов дЮ, взятых относительно полюсов соединенных с полюсом k цепи.

Таким образом, получение «сходной матрицы проводимостей цепи, когда все узлы и одиночные полюсы ее 'рассматривают как внешние полюсы, если известны матрицы проводимостей многопо­ люсных компонентов, сводится к заполнению квадратной таблицы по приведенному правилу и является простой задачей.

Для примера найдем исходную укороченную матрицу проводи­ мостей дифференциального каскада на двух четырехполюсных компонентах, один из полюсов которых является нулевым (рис. 1.9). Число полюсов такого каскада, включая собственный опор­ ный полюс 0, равно 6. Обозначим полюсы четырехполюсных ком­ понентов помимо нулевого буквами а', Ь' и с' — для четырехпо­ люсника 1 и а", Ь", с" — для четырехполюсника 2. Тогда их уко­ роченные матрицы проводимостей можно записать в виде (штри­ хи опущены)

а Ь с

а Yaa\Yab\YaC

ЪУЬа 1 Yъъ 1YЪс

сУса 1YсЪ 1Усс

Используя обозначения узлов, одиночных полюсов и компонен­ тов, указанные на рис. 1.9, и правило получения исходной укоро­ ченной матрицы [Y] цепи, получаем

напряжение — ток «а двух ОУ (рис. '1.6,о), имеющего 7 полюсов. Порядок его

15

Рассмотренная процедура получения исходной матрицы прово­ димостей основана на представЛенин всех «узлов в (виде полюсов. Наличие полюсов, токи которых равны нулю, позволяет, как от­ мечалось выше, снизить порядок матрицы проводимостей «цепи. Остановимся на случае, когда один k-й полюс (п+1)-полюсной цепи, ток которого h равен нулю, «превращается во внутренний по­ люс. Тогда из k-ro уравнения системы (1J.1) напряжение ин «можно выразить через напряжения остальных полюсов:

16

Отсюда следует, что при превращении &-го полюса во внут­ ренний в «матрице проводимостей вычеркиваются /е-я «строка «и к-й столбец, «а «остальные элементы пересчитывают по формуле

Если два полюса превращаются во внутренние, то полученный при исключении первого полюса я-полюшвк можно рассматривать как исходный и исключить «из него второй полюс. Эту процедуру можно продолжать до тех нор, пока все полюсы, токи которых равны нулю (кроме полюсов, напряжения которых «должны «быть учтены), не окажутся внутренними полюсами.

Можно «показать (25], что если цепь имеет (л + 1) полюсов, из которых первые s полюсов остаются внешними, а оставшиеся k

строк и столбцов, отвечающих всем полюсам, превращаемым во внутренние. Оставшиеся элементы матрицы находят по формуле

+ 1)-й столбец, а остальные элементы пересчитываются по фор­ муле

У ц ^ВНШ П ^ (Л + 1) (n+l)»

где y(n+1)(n+1) — проводимость, отвечающая ( я + 1)-й строке и (я + +11)-му столбцу.

Определитель А % Ншп *в этом случае имеет две строки и два столбца:

^ 1(71+1 ) ^(71+1 )7*

Следовательно,

У if У И ^Цп+i) ^(Ti+iX^fn+iXn+x)»

что совпадает «с (1.14) при замене (л + 1 ) на <6.

Уравнения (1.14) и (1Л5) показывают, что при превращении внешних полюсов, токи которых «равны «нулю, «во внутренние, «на­

17

хождение элементов получаемой при этом -матрицы проводимостей более низкого порядка усложняется и требует предварительного нахождения исходной матрицы проводимостей цепи. Однако пони­ жение порядка матрицы проводимостей упрощает вычисление ее определителя и его алгебраических дополнений, т. е. упрощает оп­ ределение функций цепи (см. § 1.4). Поэтому оно часто использу­ ется при анализе сложных цепей, в частности, если в цепи уда­ ется выделить участки в виде отдельных многополюсников, имею­ щих внутренние полюсы (см. .пример с матрицей (1.13)).

Рассмотренная процедура получения исходной матрицы прово­ димостей электронной целя предполагает, что матрицы проводи­ мостей ее отдельных миогонолюсных компонентов известны. Для простых мношполюсяых элементов последние можно определить из их эквивалентных схем. Для сложных многополюоных компо­ нентов, имеющих один внутренний полюс, проще всего воспользо­ ваться соотношением (1.14), позволяющим исключить строку и столбец определителя исходной матрицы проводимостей, отвечаю­ щих этому полюсу. Матрицы проводимостей [сложных многополюс­ ных компонентов, имеющих ряд внутренних узлов, можно полу­ чить, воспользовавшись параметрами, связывающими токи и на­ пряжения их внешних полюсов (см. § 2.3).

Найдем укороченную матрицу проводимостей полевого тран­ зистора с р-п переходом с учетом проводимостей затвор — исток Узн и затвор-сток Узс. В качестве собственного опорного полюса

Крутизна характеристики полевого транзистора обозначена через 5, а его внутренняя проводимость через <3*. Следовательно, укороченная матрица полевого транзистора

5 Узе Gi -j- Узе

Дополнив эту матрицу строкой и столбцом, соответствующими опорному полюсу и так, чтобы сумма элементов вдоль строк, и столбцов равнялась нулю, получим полную матрицу полевого транзистора

18

ок

проводимость анод— катод лампы.

19

= — a t y /y 1/иэ = — a g B; Ккб=гУыб|«э==Ц1- 0 =

= (— u6/kK+ аи б/гэ)/иб ^ — YK+ a g B;

^кк = *к/ик I Ыв= «б= 0 = Y K.

Таким образом, полная матрица проводимостей биполярного транзистора без учета сопротивления базы Гб

20