8.3 Действующие значения несинусоидальных токов и напряжений

Определим зависимость между действующим значением периодического несинусоидального тока и действующими значениями отдельных гармоник, причем постоянную составляющую будем рассматривать как гармонику нулевого порядка.

По определению для квадрата действующего значения тока имеем:

(8.9)

Представляя ток в виде ряда Фурье: (8.10)

и возведя этот ряд в квадрат, мы видим, что i² можно представить как сумму квадратов отдельных гармоник и сумму удвоенных произведений их. В соответствии с этим можно представить в виде двух сумм интегралов, а именно:

(8.11)

причем и

Так как то

т.е. квадрат действующего значения несинусоидального тока равен сумме квадратов действующих значений отдельных гармоник или:

. (8.12)

Аналогично определяется действующее значение несинусоидального напряжения: . (8.13)

Для характеристики несинусоидальных кривых без постоянной составляющей применяют следующие коэффициенты:

1. Коэффициент искажения синусоидальности кривой напряжения: отношение действующего значения напряжения высших гармоник (до 40-й гармоники включительно) к действующему значению напряжения первой гармоники в (процентах): (8.14)

2. Коэффициент k-ой гармонической составляющей напряжения: отношение действующего значения напряжения k-ой гармоники к действующему значению напряжения первой гармоники (в процентах):

(8.15)

3. Коэффициент амплитуды: отношение максимального значения несинусоидального напряжения к действующему значению U:

(8.16)

4. Коэффициент формы: отношение действующего значения несинусоидального напряжения к среднему значению:

(8.17)

Несинусоидальные напряжения и токи могут измеряться приборами различных систем. Приборы электромагнитной и электродинамической систем измеряют действующие значения несинусоидальных напряжений и токов; магнитоэлектрические приборы измеряют постоянную составляющую; выпрямительные приборы измеряют среднее по модулю значение измеряемой величины; амплитудные электронные вольтметры измеряют максимальное значение напряжения.

8.4. Мощность периодических несинусоидальных токов

Активная мощность – среднее за период значение мощности:

(8.18)

где мгновенные значения несинусоидальных напряжения и тока – представлены рядами Фурье:

(8.19)

Произведение будет представлено суммой произведений одноименных гармоник и суммой произведений разноименных гармоник напряжения и тока причем

Подставив выражения (8.19) в формулу активной мощности (8.18), получим:

(8.20)

Так как то

Следовательно: (8.21)

или . (8.22)

т.е. активная мощность при несинусоидальных напряжении и токе равна сумме активных мощностей отдельных гармоник.

По аналогии с синусоидальным током можно также ввести понятие реактивной мощности, определяемой суммой реактивных мощностей отдельных гармоник (постоянные составляющие тока и напряжения реактивную мощность не создают):

. (8.23)

Полная мощность по аналогии с синусоидальным током равна произведению действующих значений несинусоидальных напряжения и тока:

(8.24)

Коэффициент мощности при несинусоидальных напряжении и токе:

(8.25)

где - коэффициент мощности первой гармоники;

- коэффициенты искажения кривой напряжения и кривой тока.

Подставив значения в выражение (8.25), получим:

(8.26)

где R₁ – активное сопротивление цепи первой гармоники.

Максимальное значение коэффициентов искажения и равно единице при отсутствии высших гармоник; при наличии в кривых напряжения и тока высших гармоник и меньше единицы. Поэтому, если (кривая тока меньше искажена, чем кривая напряжения), то как следует из выражения (8.25) коэффициент мощности

Для несинусоидальных токов в отличие от синусоидальных полная мощность Величина (8.27)

называется мощностью искажения.

Отношение характеризует степень различия по форме кривых напряжения и тока.