книги из ГПНТБ / Давыдов, В. В. Динамические расчеты прочности судовых конструкций учебник

Рин радиус инерции;

dw

------- угол поворота сечения; dt

д2ш

угловая скорость.

dtdx

Подставив в последнее выражение ряд (5.20) и учитывая условия ортогональности (3.20), получим

L

J т\) dx + j мрин ( f/)2 dx

/=1

или

к = 4 1 Л1Г ф/>

где обобщенная масса с учетом инерции вращения сечений равна

Му* — j m [fy (х)]2 dx + J мрин [ fy W ]2 dx.

Дополнительная обобщенная масса, учитывающая инерцию вра­ щения, невелика по сравнению с основной и составляет обычно не бо­ лее 3—5% от нее. Поэтому удобно учесть ее поправочным коэффици­ ентом

Учитывая, что поправочный коэффициент невелик, можно мр2в

^вр — '

м I

Значения производных, которые суммируются в числителе, опре­

где

m0\2j AL3

Pa- ЁГа

198

Учет дополнительных деформаций от сдвига увеличивает податли­ вость корпуса, т. е. несколько понижает обобщенную жесткость *

или, если приведенную площадь поперечного сечения корпуса, вос­ принимающую сдвиг Fnp, заменить ее средним значением F0

Сравнивая значения поправочных коэффициентов (5.43) и (5.46), видим, что одна и та же сумма квадратов первых производных функ­ ций формы входит в обе формулы. Сами же эти производные функции, определяемые формулами (5.44), могут быть вычислены по данным табл. 16; в результате решения уравнений (5.37) будет найден коэффи­ циент С, а в графе 17 табл. 16 подготовлены необходимые суммы.

Подставив в формулу (5.40) откорректированные значения обоб­ щенной массы (5.42) и жесткости (5.45), получим

«1

M i ( l + k в р )(1 + * сд в )

Поскольку поправочные коэффициенты не превышают нескольких процентов, произведением их можно пренебречь

Дополнительные вычисления применительно к формулам (5.41) и (5.44) можно выполнить, расширив на три графы табл. 16 или соста­ вив новую табл. 17., специально для этого предназначенную.**

Как видно из изложенного, в процессе расчета мы получаем по три последовательно уточняющихся значения обобщенных масс, жестко­ стей и частот. Для рассмотренного числового примера, часть которого приведена в табл. 14—18, в первом приближении по табл. 14 мы по­ лучили

Afi =33,517 т; Л^ = 40992 кН/м и Я ^Зб .О с—1

*Метод П. Ф. Папковича совместного получения поправок изложен в [13].

**При передаче вычислений на ЭЦВМ можно воспользоваться программой ГИИВТ Д-5 «Определение частоты по уточненной форме колебаний», 1971.

199

При уточнении формы колебаний по основному дифференциальному уравнению (табл. 16 и 17) было получено

М* = 35,638 т; N* = 42 476 кН/м и Xt = 34,5 с-1.

Для определения формы и частоты второго тона нужно последова­

ном. Далее следует уточнить форму по основному дифференциальному уравнению (см. табл. 16) и, наконец, найти частоту по уточненной форме без поправок и с поправками на вращение сечений и сдвиги

(табл. 17).

Для третьего тона уточнение по основному дифференциальному уравнению в форме табл. 16 может, как указывалось выше, не приве­ сти к желаемому результату, и после ортогонализации с первыми двумя тонами можно с известной степенью приближенности сразу перейти к определению частоты по ортогонализированной форме с по­ правками на вращение сечений и сдвиги, т. е., применяя непосредст­ венно формулы (5.38), (5.41), (5.40), (5.43), (5.46) и (5.47), вычисляя входящие в формулы производные /' и /" методом табличного диффе­ ренцирования.

Формы и частоты первых трех тонов для судна с элементами, ука­ занными в табл. 18, просчитаны на ЭЦВМ «Проминь», и результаты этих расчетов помещены в таблицу. Первый тон просчитан также и вручную в табл. 14 (первое приближение), табл. 16 (уточнение функ­ ции формы) и табл. 17 (частота с поправками на сдвиг и вращение).

Обобщенные массы, жесткости и функции формы, найденные для первого тона вручную, несколько отличаются от машинных вследст­ вие неизбежных погрешностей ручного счета, но частоты с точностью до третьего знака совпадают с машинными.

Чтобы показать порядок расчетов при ортогонализации, в табл. 15 выполнена ортогонализация второго тона с первым. Результаты ма­ шинного счета (графа 8 табл. 18) и ручного (графа 10 табл. 15) практи­ чески совпадают.

200

Т а б л и ц а 18

Для того же судна для первого тона поправка, учитывающая инер­ цию вращения поперечных сечений, составляет всего 0,5%, для вто­ рого— 5%, а для третьего — 8%. Во всех случаях учет вращения сечений, как и учет сдвига, снижает частоты.

Поэтому для высших тонов водоизмещающих судов и для всех то­ нов легких судов, типа судов на подводных крыльях, метод Рэлея— Папковича становится недостаточно точным и приходится интегриро­ вать совместно оба уравнения: основное уравнение (5.4) и дополни­ тельное уравнение, учитывающее сдвигающие напряжения (5.5).

Сведение двух дифференциальных уравнений к одному. Сопротив­ лением при определении свободных колебаний можно пренебрегать, в связи с чем уравнения (5.4) и (5.5) значительно упростятся

Подставляя (5.50) в уравнения (5.48) и (5.49) и сокращая на нерав­

складывая которые можно получить одно уравнение, связывающее функции формы от сдвига /у и изгиба /,

Линейная функция ах + b определяет смещение и поворот кор­ пуса как твердого тела и не влияет на упругую деформацию. Поэтому, не нарушая общности решения, можно эту линейную функцию отбро­ сить. Если дополнительно учесть связь модулей упругости

т

2 (1 + |i)

204

можно форму, зависящую от сдвига f lt выразить через форму, опреде­ ляемую нормальными напряжениями изгиба f,

Заменив в уравнении (5.51) fc = f + f i и подставив вместо fx его значение (5.53), получим

Рассматривая I (x) f” (x) как произведение и выполняя дифферен­ цирование в первом слагаемом, окончательно получим

£ //IV + 2E I T + Е Г Т + — - 7 mX*f"— Wmf = 0. (5.54) •fo

Метод конечных разностей. Решение полученного уравнения (5.54) методом конечных разностей на ЭЦВМ дано в работе А. А. Былова. * Полученное уравнение (5.54) 4-го порядка относительно функции / (х) является весьма сложным ввиду переменности его коэффициен­

тов: и момент инерции / и интенсивность массы по длине корпуса m являются функциями аргумента х.

Ниже излагается метод решения этого уравнения на ЭЦВМ, сущ­ ность которого заключается в следующем. Корпус судна делится на п

чение функции формы fk.

Входящие в уравнение (5.54) производные выражаются через раз­ ности соседних значений функции по известным формулам конечных разностей; например, для k-ro сечения имеем

fk+1~ fk- 1 . 2h

fk+\~2fk+fk-i

* А. А. Б ы л о в . К вопросу о расчете свободных колебаний судового корпуса.— «Проектирование и конструирование судов». Труды Горьковского политехнического института им. А. А. Жданова. Т. XXV, вып. II, 1970, с. 35.

205

для (k—1)-го сечения

Производные в формулах (5.55) выражены через минимальное число входящих в них функций, имея в виду, что точность расчета может быть повышена не вследствие применения более сложных формул, а путем увеличения числа участков.

Если подобные замены в уравнении (5.54) сделать для всех сечений, мы получим, очевидно, систему п + 1 алгебраических однородных уравнений относительно неизвестных ординат функции формы f0,

/ 1 . • • • . f k ..............fn-

В некоторые коэффициенты этих уравнений будет входить и неиз­ вестная частота X.

Приравняв нулю определитель полученной системы, что соответст­ вует условию: корни . . . , fn не равны нулю, ось корпуса искривляется и, следовательно, существуют колебания,— найдем частоту колебаний X. Из всех корней следует выбрать корень, соот­ ветствующий введенным в уравнение массам т. Если введена масса присоединенной воды, соответствующая первому тону, надо взять наименьший корень; при введении массы воды, соответствующей вто­ рому тону — второй корень и т. д.

Поскольку для обеспечения достаточной точности число участков п должно быть достаточно большим (20—30), вычислительная работа, как видно из вышеописанной схемы решения, очень велика: для каж­ дого тона нужно составить систему из 20—30 алгебраических уравне­ ний, развернуть в уравнение определитель этой системы, решить это уравнение 20—30-й степени, корень подставить в исходную систему и найти ординаты. Если разыскивается частота и формы первых че­ тырех-пяти тонов, вычислительная работа увеличивается в 4—5 раз.

Ясно, что описанный способ можно применить только с использо­ ванием ЭЦВМ, и притом не слишком простых.

Переходим к детальному изложению метода. Исходными данными расчета являются главные размеры корпуса L, В, Н\ водоизмещение; средняя площадь поперечного сечения, воспринимающая срез F0; средняя интенсивность массы корпуса м0 и средний момент инерции

206

м0р2 (для вычисления поправки на вращение); модули упругости Е,

G, [х, а также таблица масс корпуса с присоединенной водой и момен­ тов инерции с их производными (табл. 19).

Таблица 19

Исходные данные к расчету свободных колебаний корпуса методом конечных разностей

Моменты инерции площади сечения подсчитывают для достаточно

или с учетом первого условия

dx3

Итак, четыре граничных условия будут следующими:

207

Последние соотношения позволяют определить ординаты в услов­ ных сечениях, лежащих за пределами длины корпуса *

Уравнение (5.54) для нулевого сечения с учетом граничных усло­ вий имеет вид

о = 0.

Заменив /Jv по четвертой из формул (5.55)

составим и остальные уравнения следующей системы из п -f 1 урав­ нений:

(2Ei0—т0Х2) /о—4Ei0f1 + 2Ei0f2 —0; •

(£t 1—2£i'i + ji/n’k2)/„ + (5Ei1Jr Eii —2£г 1—2jxtrijk2—m1'^)f1Jr

-f (Eii—2Ei\—iE ii -f /jffijA,) /2~f (£й.4"£й) /3— 0; (ft* — h —2Jr{Eik-\-2Eik — 4Eik-\-^т^К2) /*_i-f

+{6Eik— 2Ei”k— 2jkmkK2— mkX2) fk+ (E il— 2Eik— 4Eik+

+/Ат АЯ2) /*+! + (•£/* + £ 4 ) /ft+2 = 0;

—m„_iA,2) /я—i + {Eil-1—2Ei„_i + /«-im„_i^2) /„ = 0; 2£ i j n_2—4£ infn_x+ (2£г„— m„A,2) /„ = 0.

Матричная форма записи и применение ЭЦВМ. В матричной форме систему уравнений (5.58) можно записать короче

где матрица жесткости, матрица масс и матрица-столбец функции формы равны

* Если применять для крайних сечений формулы Ньютона

208.