книги из ГПНТБ / Давыдов, В. В. Динамические расчеты прочности судовых конструкций учебник

Подставив (3.41), в котором неизвестными являются только пара­ метры а.;, в уравнение (3.40), получим

00

2 а! [(1 + «О EIf)v (х) -f Rmfj(x)— ma)2fi (х)] еш = р (х) еш .

Заменив четвертую производную f)v (х) самой функцией по урав­ нению (3.6) Е Ifjv(x) = mtijfj (х),

Для того чтобы избавиться от ряда и найти параметры а-п умножим ряд (а) на любую форму колебаний /) (х) dx и проинтегрируем его по длине балки. В силу первого из условий ортогональности (3.20) все интегралы, кроме одного, в котором перемножаются одинаковые формы колебаний (одного тона), исчезнут * и мы получим

Поясним получение в уравнении (б) правой части. Приложенную в сечении х= а сосредоточенную силу Реш можно рассматривать как распределенную на небольшом участке вблизи х= а нагрузку боль­ шой интенсивности (см. рис. 26). Поэтому после умножения (а) на /у (х) интегрирование по длине балки сведется к интегрированию на участке Ах

Обозначив в соответствии с (3.27) и (3.22) через Nj обобщенную

125

или

При отсутствии сопротивления формула (3.44) переходит в (3.28),

а р;- = 0.

126

Если бы колебания вызывались возмущающим моментом М соsat, приложенным в сечении х = а, то вместо (3.44) мы получили бы

при тех же значениях фазовых узлов (3.45).

Решение в замкнутой форме с учетом сопротивления. Интеграл

или ввести две функции формы

w (х, t) = Fx(х) cos at + F2 (x) sin at.

Взяв решение в последнем виде, подставив его в (3.40) и приравняв нулю коэффициенты при гармонических функциях cos at и sin at, получим два дифференциальных уравнения четвертого порядка, в ко­ торые войдут обе функции Fx (х) и F2 (х) и их четвертые производные. Путем некоторых преобразований можно одну из функций исключить, приведя задачу к интегрированию уравнения восьмого порядка, во­ семь постоянных которого определяют из граничных условий и усло­ вий сопряжения. Процесс разыскания восьми постоянных довольно громоздок.

Подстановка решения (3.47) в уравнение (3.40) после сокращения на неравный нулю множитель eiat приводит к уравнению вида

Процесс выделения вещественной части после интегрирования этого уравнения получается также достаточно сложным. Поэтому мы ограничимся детальным рассмотрением лишь случая, когда суще­ ствует один вид сопротивления, а именно внутреннее (гистерезисное) сопротивление, внешнее же отсутствует. В этом случае уравнение (3.40) оказывается несколько проще

Подставив (3.47) в (3.48) и сокращая на неравный нулю множитель ё~ш*, получим уравнение относительно неизвестной функции формы

127

Общий интеграл этого дифференциального уравнения

отличается от (3.31) с. 117 лишь иным значением безразмерного ар гумента

mcoi

(1 -|-х < )£ / -j/ j _j_ xt

где v — определяется формулой (3.32).

Постоянные А, В, С, D находятся из граничных условий, а при действии на балку сосредоточенных усилий в пролете еще и из усло­ вий сопряжения.

Комплексный аргумент v можно преобразовать следующим обра­ зом:

v = v ( 14->«) = V [ 1 ------ — X,i----- — и а 4 - . . .

\4 32

Учитывая относительную малость коэффициентов неупругого со­ противления,* можно ограничиться удержанием лишь двух членов, т. е. принять

Расчет вынужденных колебаний призматической балки с учетом гистерезисного сопротивления можно выполнить в следующем по­ рядке. Сначала найти выражения необходимых элементов изгиба без учета сопротивления. Затем во все выражения элементов изгиба, най­ денных без сопротивления, подставить вместо v комплексный ар­

гумент V.

Наконец, во всех расчетных формулах надо выделить веществен­ ную часть, предварительно убрав комплексные и мнимые величины из знаменателей. Выделенная вещественная часть и является реше­ нием задачи.

В процессе решения, как правило, встречается необходимость вы­ числять тригонометрические и гиперболические функции комплекс­ ных аргументов.

Например:

Даже для днищевых перекрытий ф < 0,6 и согласно формуле (1.6) х =

_Ф * 0, 1.

2л

128

Входящие в расчетную формулу обобщенные жесткости по формуле (3.23)

выполнены в табл. 1 0 .

Заимствуя амплитуды колебаний и фазовый угол из граф 8 и 11 таблицы, получим решение задачи

тивление влияет довольно сильно. Расчет без сопротивления дал бы амплитуду

69 мм.

Вдали от резонанса даже довольно большое внутреннее сопротивление (х = 0,2) почти не сказывается. Расчет той же балки под действием возмущаю

щей силы той же амнлитуды (0,225 кН), но с частотой со — 30 с- 1 дал бы ампли туды колебаний под силой 10,2 мм с учетом сопротивления и 10.5 мм без учета сопротивления.

Решение в замкнутой форме. По формуле (3.37) при х = — при дейст-

130

Далее следует воспользоваться формулами (3.52) и избавиться от мнимости в знаменателях. После довольно длительных преобразований получим

Выполнив перемножения и оставляя лишь действительную часть, оконча­ тельно найдем

132

и выполнив вычисления во избежание потери точности с завышенным числом значащих цифр, получим

w А = 0,0402 cos со/ + 0,0320 sin <в/ м.

Амплитуда колебаний середины балки равна

^0,04022-f 0,03202 =0,0514 м или 51 мм.

§ 12

ВЛИЯНИЕ УПРУГОГО ОСНОВАНИЯ и ОСЕВЫХ с и л НА СВОБОДНЫЕ ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ БАЛКИ

Общее решение. Дифференциальное уравнение изгиба призмати­ ческой балки на упругом основании жесткости k , нагруженной попе­ речной нагрузкой интенсивности q и осевыми растягивающими силами Т, имеет вид

Этим выражением можно воспользоваться для составления диффе­ ренциального уравнения свободных колебаний балки, необходимо лишь учесть, что в случае колебаний прогиб w (х , t) является функ­ цией двух переменных х и /, а под интенсивностью загрузки ее пони­ мают загрузку силами инерции

d2w

v dt2

Тогда уравнение упругих колебаний будет иметь вид

* Порядок рассуждений полностью аналогичен приведенному выше при подстановке (3.5) в (3.2).

133

и г)/ отвлеченные параметры, определяющие форму колебаний, свя­ занные с элементами балки величиной растягивающей силы, жест­ костью упругого основания и частотой колебаний

(3.58)

В справедливости проведенного решения легко убедиться, подста­

связанной с ними частоты Яу следует воспользоваться граничными ус­ ловиями на концах балки. Четыре граничных условия дают систему четырех однородных алгебраических уравнений относительно dj, bjt

с,- и dj.

Для того чтобы не все эти коэффициенты были равны нулю, т. е. для того, чтобы существовали колебания, необходимо чтобы опреде­ литель этих уравнений равнялся нулю.

Равенство нулю определителя представляет собой транцендентное уравнение относительно неизвестных £/ и т]у, или, что то же, уравне­ ние относительно частоты Яу (от которой £у и ту зависят), т. е. может быть названо уравнением частоты.

Иллюстрируем описанный выше порядок решения конкретным при­ мером.

П р и м е р . Найти собственные частоты поперечных колебаний балки, лежащей на упругом основании жесткости k и свободно опертой по концам на жесткие ножевые опоры, при условии, что балка растягивается силой Т.

Составим, используя выражение (3.57), граничные условия, выбрав начало координат на левой опоре

Умножив первое из этих уравнений на т] 2 и сложив со вторым, получим

(S/+ -П/) rf/ = °- ■

Поскольку £у и т]у — величины положительные, d/ = 0, следовательно, и bj = 0. Из двух оставшихся граничных условий

составим определитель

(l2 4 - T|/) sh sin г), = 0 .

134