книги из ГПНТБ / Давыдов, В. В. Динамические расчеты прочности судовых конструкций учебник

природе, например внешнее сопротивление среды (воздух, жидкость), трение в сочленениях системы, внутреннее трение в материале при деформации упругих связей и в самой конструкции в целом. На прео­ доление этих сопротивлений должна быть затрачена энергия, а так как свободные колебания совершаются по инерции, а не под непрерыв­ ным воздействием внешних сил, очевидно, с каждым новым колеба­ нием энергия системы и амплитуды колебаний должны уменьшаться (энергия «рассеивается») и колебания затухают. Затухание — ха­ рактерная черта свободных колебаний.

Кроме собственных (свободных) колебаний, проявляющихся в результате отдельных ударов, импульсов или быстрых изменений на­ грузки, весьма часто наблюдаются так называемые вынужденные ко­ лебания, вызываемые меняющимися по гармоническому закону нагруз­ ками. Такие нагрузки всегда есть у судна, имеющего поршневые дви­

т

Z.

Рис. 3. Гармоническое колебательное движение

гатели или винты. Если пройти по судну с работающими двигателями и винтами, легко заметить сотрясение корпуса. Размахи этих сотря­ сений невелики, но, благодаря довольно большому числу колебаний в единицу времени, они легко заметны. Если пройти по различным помещениям судна, можно убедиться в том, что не все части его испы­ тывают одинаковые сотрясения. Исследование этих сотрясений с по­ мощью специальных приборов подтверждает, что судно колеблется не как твердое целое, а как деформируемое упругое тело.

Подобные периодические небольшие упругие изменения формы конструкции, свойственные, конечно, не только судну, но и всякому упругому телу, называются вибрацией.

Установившееся колебательное движение какой-либо точки ха­ рактеризуется постоянным периодом колебания т, который равен пе­ риоду изменения усилий, вызывающих колебания, и постоянной ам­ плитудой а (рис. 3).

Зависимость перемещения какой-нибудь точки корпуса от времени t может быть выражена уравнением гармонических колебаний

Множитель при t в этом уравнении

называют круговой частотой колебаний, в отличие от действительной

10

Кроме вынужденных колебаний при установившемся режиме пе­ риодических усилий, вызывающих вибрацию, и свободных упругих колебаний при отсутствии усилий (или при неменяющихся усилиях) могут встретиться также случаи упругих перемещений при действии любым образом меняющихся во времени непериодических усилий: движение корпуса судна во время удара волны в носовую оконечность (после окончания которого наступают, как сказано выше, собственные колебания), удар волны в крылья судов на подводных крыльях, в днище глиссирующих судов, удары льдин об обшивку ледокольных судов и т. д.

Описанные выше собственные и вынужденные гармонические ко­ лебания являются частными случаями деформации под действием про­ извольно меняющегося во времени усилия.

В настоящем курсе изучаются собственные и вынужденные коле­ бания судовых конструкций, а также их деформации при произвольно меняющихся во времени нагрузках. Чтобы оценить прочность кон­ струкции, во всех случаях важны, конечно, не только деформации, но и напряжения, их сопровождающие.

Изучению колебаний и динамической прочности судовых конструк­ ций предшествуют разделы общей теории колебаний упругих систем,

начиная с простейших систем с одной и несколькими степенями сво­ боды.

Хотя в инженерной практике чаще всего приходится сталкиваться с вынужденными колебаниями при действии периодических возмущаю­ щих усилий, или с деформациями от ударных импульсов, или произ­ вольных усилий — а свободные колебания сами по себе мало инте­ ресны, тем более что в реальных условиях они быстро затухают,— все же почти во всех случаях мы будем начинать изложение именно со свободных колебаний. Это объясняется тем, что такой порядок по­ зволит глубже понять сущность явления колебаний и вообще дина­ мических деформаций, а главным образом тем, что более сложные виды движения, в частности вынужденные колебания, физически свя­ заны с собственными * и для их изучения необходимо почти во всех случаях предварительное определение собственных частот.

Таким образом, первоочередная задача при динамических расче­ тах — нахождение форм и частот свободных (собственных) колебаний конструкции.

* Вспомним, например, о резком возрастании амплитуд вынужденных ко­ лебаний при совпадении частоты возмущающих сил с одной из собственных ча­ стот конструкции (явление резонанса).

11

Современное содержание науки о колебаниях и о динамических расчетах судовых конструкций весьма обширно. Со времени Галилея учеными сделано было очень многое. Не имея возможности дать пол­ ный исторический очерк развития науки о вибрации судов и динами­ ческих расчетах прочности корпусов судов, укажем лишь отдельные этапы этого развития.

Начиная с XVII века, учеными (Ньютоном, Эйлером, Лапласом, Лагранжем, Остроградским, Рэлеем и др.) был создан совершенный математический аппарат для изучения явлений колебаний в различ­ ных областях: астрономии, акустике, оптике, электро- и радиотехнике.

Судостроители заинтересовались вопросом вибрации корпуса во второй половине прошлого века, когда деревянные парусные суда уступили место стальным с поршневыми машинами, а дальнейшее развитие судостроения потребовало увеличения скоростей судов, мощ­ ности и частоты вращения их главных двигателей, следствием чего яви­ лось усиление общей и местной вибрации корпусных конструкций.

Первые экспериментальные работы были выполнены немецким ин­ женером Шликом, который замерил с помощью специально сконструи­ рованного прибора, паллографа, общую вертикальную вибрацию на миноносцах, речных и морских судах.

В 1901 г. немецкий инженер Гюмбель опубликовал первую теоре­ тическую работу по приближенному определению свободных попе­ речных вибраций судна, рассматривая его в качестве непризматиче­ ского стержня со свободными концами и используя уравнение

Однако только первый литографированный курс лекций А. Н. Кры­ лова по вибрации судов (1907 г.), его статья «О расчете вибраций ко­ рабля, производимых работой его машины», напечатанная в «Ежегод­ нике Союза морских инженеров», 1917, и, наконец, его классический труд «Вибрация судов» [8], охвативший широкий круг вопросов ко­ лебаний упругих систем и, в частности, судовой вибрации, подвели прочную базу под их расчеты, способствовали выделению вибрации судов в самостоятельный раздел строительной механики корабля

иявились толчком для дальнейшего развития этой области науки. Если предвидеть (]юрму колебаний, близкую к действительной, то,

как показал Рэлей, соответствующая этой форме частота также будет близка к действительной. П. Ф. Папкович [13] применил это поло­ жение Рэлея и предложил искать форму колебаний корпуса в виде сдвинутой и повернутой синусоиды, подбирая сдвиг и поворот сину­ соиды из условий динамического равновесия.*

В период 1933— 1937 гг. по инициативе и под общим руководством П. Ф. Папковича была произведена экспериментальная проверка раз­ работанных методов расчетов вибрации. Обследование примерно два­

* П. Ф. П а п к о в и ч . К вопросу о выборе фундаментальных функций в методе Рэлея.— «Кораблестроитель». Рида. 1929, № 14—15, с. 48.

12

дцати пяти транспортных судов позволило сделать ряд ценных выводов

вотношении методов расчета, норм допустимой вибрации и мер борьбы

сней на плавающих судах.*

Ю. А. Шиманский в книге [25 ] разработал схему расчета вибрации для высших тонов, имеющих актуальное значение для некоторых ти­ пов судов. Его метод отличается выбором типа фундаментальных функций: вместо синусоид Папковича Шиманский предложил поль­ зоваться фундаментальными функциями однопролетных призматиче­ ских балок.

Нахождение вынужденных внерезонансных колебаний не пред­ ставляет трудностей, если предварительно определены частоты и формы свободных колебаний. Еще в 1934 г. П. Ф. Папкович предложил про­ изводить этот расчет по методу главных координат без учета сил со­ противления, так как влияние сопротивления вне резонанса невелико.

Однако для быстроходных морских кораблей применение метода главных координат осложняется необходимостью учета большого числа высших тонов колебаний и медленной сходимостью процесса.

П. Ф. Папкович и Ю. А. Шиманский учитывали сдвиг в виде по­ правок только при определении собственной частоты, А. А. Курдюмов [9] пошел дальше, учитывая влияние сдвигов и на форму коле­ баний.

Однако при современных методах расчета вибрации можно учиты­ вать сдвиг при интегрировании дифференциальных уравнений вибра­ ции на ЭЦВМ. Применение новой вычислительной техники (ЭЦВМ) позволяет не только преодолевать значительные вычислительные трудности, но влияет и на расчетные методы, на стиль науки. Отпа­ дает целый комплекс исследований, направленных на упрощение ре­ шения за счет приближенности, и в то же время появляется возмож­ ность, благодаря применению ЭЦВМ, решать новый круг важных практических вопросов.

Так, численные методы интегрирования дифференциальных урав­ нений общей вибрации судов (например, способом Рунге—Кутта или конечных разностей) на ЭЦВМ позволяют учесть влияние сдвигов и поворотов сечений при вынужденных колебаниях.**

Не составляет труда по стандартным программам решить задачу об определении собственных частот колебаний судна с учетом сдвигов

иповоротов сечений, сводящуюся к вычислению собственных значе­

*Авторы настоящей книги принимали непосредственное участие в этих исследованиях и в замерах вибрации на судах.

В. В. Д а в ы д о в . Вибрация теплоходов «Кубань» и «Рион».— «Морское судостроение», 1932, № 2, с. 26.

нения вынужденных колебаний общей вибрации скоростных судов с учетом сдвига.— Труды НТО Судпрома. Л., «Судостроение», 1967, № 101, с. 146.

13

ний некоторой матрицы. При этом с достаточной степенью точности (погрешность порядка 3%) находятся пять первых частот собственных колебаний при делении судна на 20 отсеков.

уравнений у Н. Н. Бабаева равно 3п, где п — число дискретных масс. Получается система уравнений со многими неизвестными, для реше­ ния которой Н. Н. Бабаев еще не применял ЭЦВМ. Это сделал позд­ нее В. С. Чувиковский [22], который учел внутреннее и внешнее со­ противление, причем он также заменил судно шарнирной системой

сдискретными массами и применил метод парциальных откликов

[23].Шарнирная цепь рассчитывается способом последовательного приведения системы к безынерционным упругим связям. Раскрытие

статической неопределимости внутри каждого участка и сводится к решению системы алгебраических уравнений относительно усилий взаимодействия между участками. Алгоритм получается повторяю­ щийся и вполне удобный для ЭЦВМ. Учет гистерезисных сопротив­ лений удобно выполнять по Е. С. Сорокину [15]. В. С. Чувиковский рассматривает не только изгибные, но и совместные изгибно-крутиль- ные колебания корпуса судна.

Расчет вынужденных колебаний судна наиболее удобно выполнять в рядах, причем вблизи резонанса, с учетом сопротивления как внеш­ него, так и внутреннего (гистерезисного).**

В последние годы значительное внимание уделяется вопросам об­ щей вибрации судна в иностранной литературе. Примером может слу­ жить очень широкое исследование Тодда [29], а также и других ав­ торов [26, 27 и 28].

Внимание кораблестроителей сосредоточено также на вопросах вибрации и прочности отдельных корпусных конструкций. Увеличе­ ние быстроходности двигателей создает условия, при которых частоты возмущающих сил в судовых механизмах и в движителях в ряде случаев могут вызвать не только общую вибрацию судна, но и мест­ ную вибрацию отдельных его конструкций: балок, рам, перекрытий, пластин, обладающих высокими частотами свободных колебаний.

До последнего времени задачи о вибрации корпуса и динамических расчетах судовых конструкций решались приближенными методами (см., например, [2] и книгу А. А. Курдюмова [9]). В настоящее время применение ЭЦВМ позволяет точнее решать эти задачи. О методах расчетов по строительной механике с применением матриц и ЭЦВМ см., например, [14] и [20]. Сложный вопрос о колебаниях кормовых су­ довых перекрытий под действием винтов просто решается на ЭЦВМ.***

* Н. Н. Б а б а е в . Поперечные колебания стержня переменного се­ чения со свободными концами с учетом сил внутреннего трения.— Инженерный сборник АН СССР. Т. XVIII, 1954, с. 113.

**Этот метод изложен в § 23 настоящего учебника.

***Н. В. Маттес. Расчет вибрации кормовой оконечности скоростных су­

дов.— Труды НТО Судпрома. Л., «Судостроение», 1969, вып. 129, с. 193.

14

Г Л А В А

1

СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

§ 1

УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ

Системами с одной степенью свободы называются такие, положение которых определяется всего одной координатой. Такой системой бу­ дет тяжелое твердое тело, качающееся в вертикальной плоскости, (рис. 4, а), положение которого определяется всего одной координа­ той — углом отклонения ср от положения равновесия, а также масса М, упруго подвешенная на спиральной рессоре (рис. 4, б) или на уп­ ругой, могущей изгибаться в вертикальной плоскости балке (рис. 4, в). При этом предполагается, что никакие другие, кроме изображенных на рис. 4, перемещения невозможны, сами массы являются абсолютно твердыми телами, а рессоры невесомыми.

Отметим прежде всего, что в настоящем курсе динамических рас­ четов прочности мы будем заниматься лишь упругими перемещениями, связанными с возможными нарушениями прочности, а задач о движе­ нии тел без изменения их формы, таких, например, как показано на рис. 4, а, мы касаться не будем.

В процессе движения на массу могут действовать три группы сил: активные силы, вызывающие движение, силы сопротивления, препятст­ вующие движению, и силы упругости, стремящиеся вернуть массу в ее равновесное положение.

Первая группа (активные силы) обычно считается известной функ­ цией времени Фх (/), причем особенно важным случаем является слу­ чай, когда эти силы гармонические

ф х (t) = F cos at,

вызывающие вынужденные колебания постоянной частоты.

Природа сил сопротивления колебаниям или вообще движению может быть различной. Сопротивление внешней среды (так называе­ мое вязкое сопротивление) зависит от скорости движения и направ­ лено в сторону, противоположную скорости Ф2 (ср). На рис. 4, б внеш­ нее сопротивление иллюстрировано поршеньком, перемещающимся в сосуде с вязкой жидкостью. В большинстве случаев сила вязкого сопротивления может считаться пропорциональной первой степени скорости

16

В тех случаях, когда силы сопротивления зависят от квадрата ско­ рости (что бывает при больших абсолютных значениях скоростей), все же можно приближенно считать сопротивление пропорциональным первой степени скорости, подбирая специально * величину коэффи­ циента пропорциональности R, чтобы не усложнять решение.

Кроме внешнего сопротивления, мы рассмотрим также случаи дви­ жения и колебаний при наличии внутреннего (гистерезисного) сопро­ тивления и иногда встречающиеся случаи, когда сила сопротивления движению постоянна (сухое трение).

Силы упругости или восстанавливающие силы зависят от откло­ нения системы от положения равновесия Ф3 (<р), и, если вести отсчет координаты ф от этого равновесного состояния, в большинстве слу-

Рис. 4. Системы с одной степенью свободы

чаев можно считать эти силы прямо пропорциональными отклонению

Ф3 (ф) = N ф при N — const

и направленными в сторону равновесного положения.

Однако в некоторых случаях восстанавливающая сила зависит от отклонения Нелинейно и в общем случае может считаться произ­ вольной функцией отклонения Ф3 (ф). Так будет, когда материал не подчиняется закону Гука или сама конструкция такова, что линейная пропорциональность нарушается. Примером могут служить изгибные колебания судовых пластин, когда цепные напряжения, появляю­ щиеся вследствие невозможности сближения кромок, нарушают ли­ нейную зависимость между восстанавливающими силами и прогибом пластины. Не будет линейной зависимость между прогибом и силой и у балки, изображенной на рис. 4, в, при значительных прогибах и несближающихся опорах. Колебания, возникающие при нелинейной зависимости между восстанавливающей силой и отклонением, назы­ ваются псевдогармоническими.

* Так, чтобы были равны максимальные сопротивления ^Фмакс — ^Фмакс1 или, что правильнее, чтобы были равны работы сил сопротивления

ОО

17

Приравнивая, согласно основному уравнению динамики, произ­ ведение массы на ускорение действующим на массу силам, получим

М^ = Ф М - Ф ,

Отрицательные знаки у Ф2 и Ф3 подчеркивают направление сил сопротивления и упругости. Эти силы направлены в сторону, проти­ воположную соответственно скорости и отклонению. Перенеся значе­ ния этих сил в левую часть уравнения и обозначив ради краткости производные по времени точками, окончательно получим

Таков наиболее общий вид уравнения движения системы с одной степенью свободы.

Отметим, что такой же вид имеет и уравнение вращения тела (и угловых колебаний), только координатой ф в этом случае будет угол поворота, М — моментом инерции массы, а вместо сил Фх, Ф2, Ф3 следует ввести моменты этих сил относительно оси вращения.

При отсутствии возмущающей силы уравнение (1.1) отображает собственные или свободные колебания

Точное аналитическое решение этого уравнения, когда сила со­

противления Ф2 (ф) не прямо пропорциональна скорости, а восста­ навливающая сила Ф3 (ф) не прямо пропорциональна отклонению,

вобщем случае невозможно.

Вследующем параграфе будут рассмотрены собственные колеба­ ния как при вязком сопротивлении, пропорциональном первой сте­ пени скорости, так и при других видах сопротивлений.

§ 2

СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Вязкое сопротивление. При вязком (внешнем) сопротивлении, пропорциональном первой степени скорости и восстанавливающей силе, линейно зависящей от перемещения, уравнение свободных ко­ лебаний (1.2) примет вид

где R и N некоторые положительные постоянные. Единицы измерения массы — килограмм (кг), тонна (т) или в технической системе тоннасила секунда в квадрате на метр (тс-с2/м), коэффициента сопротивле­ ния R — кН-с/м [тс-с/м] и жесткости N — кН/м [тс/м].

Поделив последнее уравнение на массу и введя обозначения

18

окончательно получим линейное однородное дифференциальное урав­ нение второго порядка

kx и k2 оказываются вещественными и отрицательными, и каждое сла­

положению тела, т. е. сменить знак.

При отсутствии начальной скорости (например, если бы начальным положением была точка С) или при начальной скорости, направленной «от положения равновесия» (точка В), координата ни разу за все время движения не меняет знака. Подобное движение имеет место в воздуш­ ных, масляных и других демпферах, назначение которых — быстро гасить возникшие по каким-либо причинам отклонения и не дать воз­ никнуть колебаниям.

Значительно больший интерес представляет случай, когда силы сопротивления невелики и г-<^. В этом случае корни характеристи­ ческого уравнения получаются комплексными

kx ——r + i V №—г2 —— r + iXi, k2 = —г —i V А,2— г2 ——г — iXx.

19