книги из ГПНТБ / Давыдов, В. В. Динамические расчеты прочности судовых конструкций учебник

некоторой длине балки гармоническими усилиями, в правой части уравнения должна быть интенсивность этих усилий

В случае применения комплексной формы решения удобно первые два члена в уравнениях (3.11) и (3.12) объединить. Для этого возьмем зависимость линейной деформаций от времени не в виде гармониче­ ской функции, а в виде

е0е<(шМ-а)

Тогда

Далее, повторив весь вывод, т. е. переходя от удлинений к кривизне

и от напряжений к изгибающим моментам

M„3r= $ozdF,

очевидно, вместо (ЗЛО) получим

а вместо (3.12)

!H(1+*i>£'^]+*^+m^ =pWcos<')'' (315)

Уравнения (3.12) и (3.15) являются наиболее общим видом диффе­ ренциального уравнения вынужденных колебаний непризматической балки при учете как внутреннего, так и внешнего сопротивле­ ний. Ниже будут рассмотрены частные виды интегрирования этого уравнения: случаи вынужденных колебаний призматической балки под действием сосредоточенных сил или моментов при отсутствии со­ противления, а также в следующем параграфе отдельные случаи ко­ лебаний с сопротивлениями.

Колебания без учета сопротивления. Решение в форме ряда. Диффе­ ренциальное уравнение вынужденных колебаний призматической балки при отсутствии сопротивления под действием периодических

ИЗ

полностью совпадающий с видом уравнения (3.2).

Интегрирование этого уравнения может быть выполнено как в виде ряда, по формам главных колебаний, так и в замкнутом виде.

Рассмотрим оба эти варианта решения.

Прогиб в любом сечении балки в любой момент времени может быть представлен бесконечным рядом:

где fj (х) — форма свободных колебаний /-го тона рассматриваемой балки, соответствующая условиям закрепления ее кон­ цов (см. табл. 3—7);

Фу (t) — подлежащая определению функция времени.

В случае колебаний, вызываемых сосредоточенной гармонической

Для определения параметров ау удобно применить уравнения Лаг­ ранжа (2.25), которые в случае отсутствия сопротивления имеют вид:

Подставляя в выражения кинетической энергии вертикальных смещений и потенциальной энергии изгиба *

* Кинетическую энергию вращения сечений и потенциальную энергию от сдвигов не учитываем. Предполагаем также, что балка не имеет упругих опор.

114

Равенство нулю слагаемых с этими произведениями вытекает из условий ортогональности, аналогичных условиям (2.13) и (2.14) для

Условия эти всегда выполняются для форм главных колебаний балки. При этих условиях выражения кинетической и потенциальной энергий упростятся; появившиеся в результате возведения в квадрат двойные суммы снова превратятся в одинарные

Для составления уравнений Лагранжа необходимо еще получить выражения для обобщенных сил. Обобщенная сила Ф;-, согласно фор­ муле (2.4), равна отношению приращения работы внешних сил при приращении координаты ф;- на величину бф;- к вариации этой коорди­ наты

ф , = « Е / .

8ф/

115

Если на балку действует всего одна сосредоточенная периодиче­ ская сила Р cos со/, приложенная в сечении х = а, и координата ф/ получит приращение бф/, то точка приложения силы пройдет [со­ гласно (3.17) ] путь, равный /у (а) бфу, и сила совершит работу бЦ7у — = (Р cos со/) fj (а) бфj. Поэтому обобщенная сила равна

Аналогичными рассуждениями легко установить, что при дейст­ вии на балку сосредоточенного момента М cos со/ в точке, где х = а, соответствующая обобщенная сила равна

Теперь, пользуясь полученными выражениями (3.21), (3.24) или (3.25), можно составить уравнение Лагранжа (3.19) При действии со­ средоточенной возмущающей силы получим

Уравнение (3.26) есть одно из бесконечного числа аналогичных уравнений для каждой координаты. Уравнения разделились, и каждое колебание можно рассматривать как колебание с одной степенью свободы и применять все формулы главы 1.

В частности, можно найти квадрат частоты собственных колебаний: согласно формуле (1.4) он равен

Для разыскания вынужденных колебаний напишем частное реше­ ние уравнения (3.26), воспользовавшись формулой (1.26) главы 1

Pfl (о) cos at

N, ' I гаа

X2

/

Подставляя это решение в ряд (3.17), получим окончательное вы­ ражение-для поперечных перемещений любого сечения по длине балки в любой момент времени, в случае действия на балку возмущающей силы Р cos со/, приложенной в сечении х — а

00

. 5

116

Для случая возмущающего момента М cos со/, приложенного в се­ чении х = а, аналогично получим

ОО

(3.29)

Анализ формул (3.28) и (3.29) показывает, что сила, приложенная

вточке, где форма колебаний какого-либо тона имеет узел, т. е. /7- (а) =

=0, не вызывает колебаний этого тона. Наибольшие колебания вы­ зывает сила, приложенная в пучности, где /,■(а) имеет максимум.

Вотношении же момента, наоборот, наибольшие колебания вызы­

вают момент, приложенный в узле, поскольку в узле производные от форм колебаний f'f максимальны. При действии же момента в пучности,

т. е. там, где f'j (а) = 0, колебания соответствующего тона отсутствуют.

Колебания без учета сопротивления. Решение в замкнутой форме. Как указывалось выше, решение уравнения (3.16) о вынужденных колебаниях может быть выполнено не только в рядах, но и в замкну­ том виде, т. е. в виде произведения некоторой функции формы колеба­ ний F (х) на гармоническую функцию времени

Подставив это решение в (3.16), получим

[ДAFIV (х) —mco2/7 (х)] cos со/ = 0

или

/riv_^ _ 0

EI

Общий интеграл этого неполного линейного уравнения четвертого порядка, как известно, равен

Постоянные А, В, С, D находятся из граничных условий на кон­ цах балки и из условий сопряжений в месте действия возмущающей силы или момента, если они приложены в пролете.

В последнем случае необходимо рассмотреть два участка балки, общее число подлежащих определению постоянных интегрирования увеличится до восьми.

Свободно опертая балка под действием момента у опоры. В каче­ стве иллюстрации изложенного метода рассмотрим вынужденные ко­ лебания свободно опертой балки под действием периодического воз­ мущающего момента М cos со/, приложенного у правой опоры (рис. 24).

117

Подставив (3.31) в граничные условия рассматриваемой балки

т. е. EIF" (I) ='М,

найдем, что

B + Z) = 0;

— B + D = 0;

Дифференцируя выражение (3.33), можно получить формулы для угла наклона оси балки и изгибающего момента:

В задачах о колебаниях статически неопределимых балок, в част­ ности многопролетных, нам понадобятся углы поворота балки у опор. На левой и правой опорах Зти углы равны

1dw\ Ml , , . ,

118

Функции ф1 и ф2 подобраны так, чтобы при отсутствии колебаний или бесконечно медленных колебаниях (v -> 0) они обращались в еди­ ницу и формулы (3.35), переходили в известные формулы для углов

где v по-прежнему определяется формулой (3.32).

Для углов поворота на опорах дифференцированием первой из формул (3.37) могут быть получены выражения

* Вывод см. В. В. Д а в ы д о в , Н. В. М а т т е с. Динамические рас­ четы прочности судовых конструкций. М., «Транспорт», 1965. Там же приведены расчетные формулы для случая, когда концы балки жестко заделаны.

119

§ П

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ СОПРОТИВЛЕНИЯ

Изучение колебаний призматической балки при наличии как внут­ реннего, так и внешнего сопротивления под действием сосредоточен­ ных возмущающих усилий (силы Р cos tot или момента М cos at) сводится к интегрированию уравнения (3.15), которое в данном слу­ чае принимает вид

х = а нагрузку большой интенсивности (рис. 26).

Интегрирование этого уравнения можно искать как в виде беско­ нечного ряда, так и в замкнутой форме. Поскольку в некоторых за­ дачах может быть более удобным решение в виде ряда, а в других — в замкнутой форме, рассмотрим оба варианта решения.

Решение в форме ряда. Интеграл уравнения (3.40) можно искать в виде ряда

/=1

в котором // (х) есть функция формы главных свободных колебаний рассматриваемой балки, без сопротивления, т. е. балки того же про­ филя, массы, так же закрепленной по концам. Как было сказано выше, сопротивление мало влияет на формы свободных колебаний балки. Предполагается, что эти формы, как и частоты колебаний, уже най­ дены ранее и известны.

124