книги из ГПНТБ / Давыдов, В. В. Динамические расчеты прочности судовых конструкций учебник

сматриваемом случае только одна постоянная из четырех at- Ф 0 , т. е. функции формы колебаний (3.57) являются синусоидами

( . . . jnx

(х) = s i n ■!— ,

если положить а;- = I .

Таким образом, наличие продольной силы и упругого основания не меняют для рассматриваемой балки форм колебаний, которые для балки без упругого основания и продольной силы, как мы видели ранее (случай 5 табл. 3) также яв­ ляются синусоидами.

Подставив во вторую из формул (3.58) r\j = jn, можно найти

(3.59)

Качественный анализ влияния упругого основания и продольной силы. Изложенное выше решение и его иллюстрация на примере сво­ бодно опертой балки позволяет сделать несколько общих выводов.

При наличии только упругого основания и отсутствии продольной силы (Т = 0), параметры £;-, тстановятся одинаковыми

и равными параметру р./ такой же балки, т. е. так же закрепленной по концам, но без упругого основания. Наличие упругого основания не меняет не только граничных условий, но и характеристического уравнения, его корней и форм колебаний, которые определяются из той же табл. 3 в зависимости от граничных условий. Выражение (3.57) превращается в (3.7).

Однако частоты колебаний при наличии упругого основания будут иными — выше, чем для балки без упругого основания

(3.60)

При наличии только продольной силы и отсутствии упругого осно­ вания (k = 0), хотя граничные условия остаются такими же, как и при отсутствии продольной силы (табл. 2), параметры £;- и г о к а ­ зываются различными

(3.61)

135

Иными (по сравнению с балкой без продольной силы) будут в об­ щем случае и характеристические уравнения (уравнения частоты) и формы колебаний.*

Так, для балки с жестко заделанными концами характеристиче­

Полезно в случае растягивающей силы (Т^>0) брать А,,- несколько больше, а при сжимающей (Т<<0) — меньше, чем частоты при отсутст­ вии продольной силы.

Для балок с любым закреплением концов увеличение растягиваю­ щей силы вызывает увеличение частоты. С уменьшением растяжения частоты уменьшаются и при Т = 0 переходят в их значения, приве­ денные в табл. 3.

При сжатии частота уменьшается и может дойти до нуля. Напри­ мер, для свободно опертой балки, для которой формула (3.59) превра­ щается в

при

р л аЕ1

12

частота становится равной нулю. В последнем выражении нетрудно узнать формулу Эйлера для сжимающей силы, при которой теряется устойчивость балки. Очевидно, что устойчивость будет потеряна уже при / = 1. Уменьшая в выражении (3.63) жесткость балки в пределе до нуля (EI 0), можно получить формулу для частоты колебаний натянутой нити (струны)

справедливой для малых поперечных колебаний.

Аналогия с задачей об устойчивости. Уравнение (3.56) для форм свободных колебаний упругой балки при наличии продольной силы

математически аналогично уравнению сложного изгиба балки, лежа­ щей на упругом основании, при отсутствии распределенной попереч­ ной нагрузки

* Кроме простейшего случая свободно опертой балки, для которой про­ дольная сила не меняет форм колебаний.

136

Уравнения отличаются лишь знаком последнего слагаемого. Но можно представить себе основание, которое обладает свойством ока­ зывать на балку усилия, не препятствующие прогибам, а отталкиваю­ щие ее от равновесного прямолинейного состояния. Отталкивание при этом тем больше, чем сильнее отошел элемент балки от первона­ чальной прямой оси. Для такого «отталкивающего» или «отрицатель­ ного» упругого основания коэффициент жесткости надо считать отри­ цательным (&<0).

Конструкции с отрицательной жесткостью упругого основания встречаются в расчетах судовых пластин (отрицательная жесткость обусловлена сжимающими напряжениями, направленными перпенди­ кулярно усилию Т *).

Однако, между уравнениями колебаний (3.65) и сложного изгиба балки на упругом основании (в) существует и другое различие. В уравнении колебаний между Т и Я;- имеет место жесткая зависимость; например, для свободно опертой балки зависимость (3.63).

В уравнении же сложного изгиба (в) Т и k могут быть, вообще го­ воря, любыми. Жесткая связь между этими параметрами возникает лишь в том случае, если бы мы стали разыскивать соотношение между продольной силой Т и жесткого упругого основания, при которых

В этом случае аналогия была бы полной и позволила бы считать решенными обе задачи, если решена хотя бы одна из них; так, если найдены частоты колебаний при заданной продольной силе, то тем самым для такой же балки, идентично закрепленной по концам, най­ дена и критическая жесткость упругого основания. Сопоставив по­ следние слагаемые уравнений (3.65) и (г), получим

Наоборот, если установлено соотношение между критической си­ лой и критическим значением жесткости упругого основания, при ко­ торых происходит потеря устойчивости балки, то для такой же балки при такой же продольной силе можно считать известными и частоты собственных колебаний:

Для балки свободно опертой по концам связь между продольной силой и частотой дается формулой (3.63) при j = 1

* См. с. 263.

137

Исключая из двух последних выражений К, легко получить значение жесткости упругого основания, при которой при задан­ ной продольной силе произойдет потеря устойчивости

или критической силы при заданной жесткости

Для балки с жестко заделанными концами, для которой частотное уравнение (3.62) достаточно сложно, удобно воспользоваться имею­ щимся решением для критического состояния аналогичной балки на упругом основании.* Для такой балки в табл. 11 приведено соотно­ шение между параметрами икр, икр, характеризующими критическую продольную силу Гкр и соответствующую ей критическую жесткость упругого основания

Пр и мер . Определить низшую частоту жестко заделанной балки длиной 4 м, сжатой силой 360 кН (36700 кгс). Момент инерции поперечного сечения

138

Т а б л и ц а 11

§> 3

ПРОДОЛЬНЫЕ И КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Продольные колебания. Продольные упругие колебания стержней представляют собой попеременные сжатия и растяжения в продольном направлении отдельных их участков по длине. Подобные колебания могут возникнуть при действии на стержень продольной периодиче­ ской силы или при продольном ударе по одному из концов стержня

(рис. 27).

На выделенный из стержня элемент длиной dx (этот элемент пока­ зан отдельно в увеличенном масштабе) действуют в продольном на­ правлении три усилия: усилие, создаваемое нормальными напряже­ ниями ах по левому сечению, аналогичное усилие от напряжений

139

ал-дохдх по правому сечению и даламберова сила инерции при

дх

продольном перемещении и (х , t)

— oxF + (°x+ — dx) F— m — dx = 0.

Поскольку масса единицы длины стержня равна произведению площади сечения на плотность т = рF, а напряжение и продольное перемещение связаны законом Гука

приведенное выше уравнение может быть представлено в виде

функции и (х, t) необходимо к уравнению (3.70) присоединить гра­ ничные и начальные условия.

Граничные условия отображают состояние концов или определен­ ных поперечных сечений стержня. Например, если сечение с коорди­ натой х = 0 неподвижно, т. е. левый конец стержня жестко закреплен, необходимо, чтобы продольное перемещение в этом сечении в любой мо­

140

Интеграл (3.71) удовлетворяет дифференциальному уравнению (3.70) при любом виде функций f1 и / 2 аргументов zx = vt — х и z2 = = у/ + х. Самый же вид функций должен быть разыскан из гранич­ ных и начальных условий. Этот вид интеграла удобен для решения задач о продольном ударе стержней.*

Вскроем физический смысл параметра v. Рассмотрим для этого случай, когда / 2 = 0 и, следовательно,

u(x, t) = h{vt— x).

Для какого-нибудь фиксированного момента времени t = t1 функ­ ция

u = f1(vt1—x)

представляет собой некоторую определенную систему продольных перемещений, различных в разных местах стержня. В следующий мо­ мент времени /2 = tx + At будет иметь место другое распределение перемещений; однако оно в точности совпадает с первоначальным (для tj) и только сдвинуто относительно него. Действительные аргу­ менты функции

zx— vtx— x и z2 — v ( / i At) — (x-j-Дл:)

будут одинаковыми, если положить Ах — vAt. В этом случае

z2 = zx.

Таким образом, любая функция сложного аргумента z = vt—х отображает упругую волну, двигающуюся слева направо со скоростью

(3.73)

Для стали параметр v, т. е. скорость распространения упругих волн (равная скорости передачи удара по стержню и скорости распро­ странения звука в данном металле), составляет приблизительно 5 км/с.

Функция / 2 (vt + х) соответствует аналогичной волне, но двигаю­ щейся в сторону убывания абсцисс (справа налево).

Собственные колебания стержня со свободными концами. Решение в форме бесконечного ряда (3.72) иллюстрируем примером определе­ ния собственных частот колебаний стержня со свободными концами. Функции еру (/), т. е. главные координаты, естественно считать гармо­ ническими функциями времени

Фу = Ai cos (Xjt -fay),

* Несколько конкретных задач излагается в книге С. П. Т и м о ш е н к о . Колебания в инженерном деле. Пер. с англ. М., «Наука», 1967.

141

/=i

если обозначить

Поскольку полученный бесконечный ряд должен быть равен нулю

влюбой момент времени, необходимо, чтобы каждое слагаемое ряда

вотдельности равнялось нулю

fi + Iх/// = о.

Полученное линейное дифференциальное уравнение имеет общий интеграл

fi (х) = a.j cos \ijX+ bj sin p;x,

причем произвольные постоянные ay- и bj должны быть найдены из граничных условий. В данном случае, поскольку концы стержня

свободны, должно быть: при х = 0 и х = / — = 0, т. е. f,(x) = 0.

дх

Условия эти дают:

lijbj = 0\

—dj\ij sin \JLjl + bjHj cos Цу/ = 0,

откуда

bj = 0 sin p/Z = 0,

т. е.

Параметр ау остается неопределенным и может быть взят равным единице af = 1.

Таким образом, колебательное движение описывается следующей зависимостью продольных перемещений от положения сечения и вре­

142

где связанная с формой частота Xj определяется формулой

(3.75)

Крутильные колебания. Исходное дифференциальное уравнение крутильных колебаний призматического стержня * может быть со­ ставлено в виде условия динамического равновесия элемента стержня, выделенного двумя поперечными сечениями, находящимися на рас­ стоянии dx друг от друга.

К указанному элементу по его левому поперечному сечению при­

ложен скручивающий момент М, а по правому М + — d x — проти-

дх

воположного направления. Следовательно, суммарный внешний вра­ щающий момент равен

дх

Если через J обозначить погонный момент инерции массы стержня, а через Q (х) — угол закручивания, то условие динамического равно­ весия рассматриваемого элемента, очевидно, будет следующим:

где второе слагаемое отображает момент даламберовых сил инерции. Скручивающий момент, как известно, пропорционален относи­

тельному углу закручивания

если ввести обозначение

Сопоставив полученное дифференциальное уравнение с уравне­ нием (3.70) для продольных колебаний, видим, что эти уравнения с математической точки зрения совершенно одинаковы и отличаются лишь смыслом входящих в них величин. Поэтому применительно к крутильным колебаниям можно повторить все сказанное выше о продольных колебаниях: о двух возможных формах решения, об уп­ ругих крутильных волнах и скорости их распространения и т. д. В ча-

* Явления стесненного кручения, которые иногда могут иметь место, учи­ тывать не будем.

143

стности, собственные частоты крутильных колебаний стержня со сплошным круглым сечением диаметра d со свободными концами, для которого

будут равны

(3.77)

§ 14

МЕТОД ПАРЦИАЛЬНЫХ ОТКЛИКОВ

Сущность метода. Для решения задач о вынужденных колебаниях упругих систем и, в частности, непризматических балок можно при­ менить метод парциальных откликов, развитый В. С. Чувиковским [22, 23]. Этим методом могут быть рассчитаны поперечные, крутильные

и продольные колебания балок. Основная идея этого метода, назы­

ваемого также методом прогонки, за­ ключается в том, что балка разде­ ляется по длине на несколько элемен­ тов (частей балки); каждая такая часть, называемая парциальной сис­

рой равна единице), приложенной в этом сечении, в предположении, что часть балки справа или слева от рассматриваемого сечения отсутст­

вует.

На рис. 28 показаны парциальные отклики для случая продольной пульсирующей (изменяющейся по гармоническому закону) единичной силы (Т = 1), направленной вправо. Рассматриваемое сечение левой части сдвинется вправо на величину А' (х), а то же сечение, если рас­ сматривать правую часть при отсутствии левой, сдвинется тоже вправо на величину А" (х).

Парциальные отклики в случае поперечных колебаний призмати­ ческой балки показаны на рис. 29 от срезывающей V силы и на рис. 30—от изгибающего момента.

Парциальными откликами в сечении х для левой части балки от срезывающей силы V cos a>t будут прогиб Ау(х) и угол поворота,

144

I