книги из ГПНТБ / Давыдов, В. В. Динамические расчеты прочности судовых конструкций учебник

Для передачи вычислений на ЭЦВМ удобно умножить (5.59) на обратную матрицу масс

поскольку в таком виде частоты колебаний К2 могут быть найдены как собственные числа матрицы

аординаты функции формы как соответствующие им вектора.

Ввиде (5.60), (5.61) машины дают собственные числа в порядке их убывания.

Если нас интересуют низшие частоты, уравнение (5.59) следует преобразовать, умножив его на матрицу податливости, обратную мат­

Собственные числа матрицы

210

машина выдает в порядке убывания

Р,>Р2> ■ ■ ■> Р п+1

на ЭЦВМ.* В качестве исходных надо ввести данные табл. 19. При этом значения Г и / " получаются по формулам конечных разностей типа (5.55а), а интенсивность масс для любых тонов с учетом присое­ диненной воды по данным § 19.

По приведенным в предыдущем параграфе данным [столбец 20 табл. 14 и столбцы 2, 3 и 6 табл. 18] для судна с указанными на с. 189 элементами на машине БЭСМ-4 методом конечных разностей были по­ лучены частоты первых двух тонов

Без учета сдвига и вращения сечений было получено:

§ 22

ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ЧАСТОТ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ

В период составления эскизного проекта судна полезно прикинуть частоту свободных колебаний корпуса по приближенным формулам. Если известен момент инерции сечения эквивалентного бруса на ми­ деле / мид (см4), то число свободных колебаний первого тона в минуту по формуле Шлика ** для морских судов равно

где D — водоизмещение, т* L — длина судна, м.

* Применительно к уравнению (5.8) или, что то же, (5.54) при отсутствии

влевой части четвертого слагаемого.

**S с h 1 i с k. The Further Investigation on the vibration of Steamers. Trans.

Inst. Navel Architects. 1894.

211

Наименьшее значение коэффициента, стоящего перед корнем в фор­ муле (5.64), относится к судам с полными образованиями, для судов же с острыми образованиями следует взять наибольшее значение (340). По формуле Тодда—Марвуда,* учитывающей влияние присоединен­ ных масс воды и надстроек, число свободных вертикальных колебаний первого тона в минуту равно

где

В— ширина судна, м;

Т— средняя осадка, м.

И, — высота от днища до палуб, м (рис. 44);

lj — длина соответствующих частей этих палуб, м;

Небольшие надстройки в носу, корме и в середине судна можно

большую погрешность. Для приближенных ориентировочных расче­ тов можно воспользоваться тем, что для ряда морских грузовых су­ дов оказываются довольно стабильными следующие соотношения:

отношение частот свободных колебаний порожнем и в грузу равно около 1,2;

отношение частоты колебаний второго тона к частоте колебаний первого тона лежит обычно в пределах 2,2— 2,4.

отношение частот свободных горизонтальных колебаний первого тона и вертикальных того же тона находится обычно в пределах

1 ,4 - 1 ,8 .

Если известны круговые частоты (с ') свободных колебаний пер­ вого и второго тонов и к 2, то для приближенного суждения о частоте вертикальных колебаний любого высшего /-го тона можно восполь­ зоваться формулой Н. Н. Бабаева **

212

где

Речной Регистр РСФСР * для вертикальных колебаний первого

тона в минуту рекомендует использовать формулу Шлика, вводя в нее поправку на присоединенную массу воды, как по формуле Тодда

^ 1 ,2 -f-^ -j, и коэффициенты, определяемые по судну-прототипу,

имеющему подобное распределение масс и жесткостей.

§ 23

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Ниже излагаются два метода определения вынужденных колеба­ ний корпуса судна: метод решения в форме ряда по главным колеба­ ниям и метод решения в замкнутой форме путем численного интегри­ рования основных дифференциальных уравнений с помощью ЭЦВМ.

В обоих методах принимается, что колебания корпуса вызываются сосредоточенными гармоническими нагрузками (силой или моментом), но по основным предпосылкам методы несколько отличаются, что обусловлено чисто математическими осложнениями. В первом методе, позволяющем учесть оба вида сопротивления — внутреннее и внешнее, упругие деформации, обусловленные сдвигом, не учитываются (вво­ дятся лишь поправки на сдвиг к собственным частотам), во втором методе учитывается деформация от сдвига, что особенно существенно для легких судов с новыми режимами движения. Может быть учтено и сопротивление (внутреннее), хотя его учет значительно осложняет

решение.

Решение в форме ряда. Дифференциальное уравнение колебаний непризматической балки с учетом как внутреннего, так и внешнего сопротивлений было получено в главе 3 — уравнение (3.15), с. 113. Когда вынужденные колебания вызываются сосредоточенной силой или моментом, это уравнение имеет вид

Будем считать, что сосредоточенная комплексная сила приложена в сечении х = а

Реш —Р (cos co^ + isin cot),

причем к корпусу фактически приложена лишь ее действительная часть.

Предполагается также, что разысканию вынужденных колеба­ ний предшествуют расчеты свободных колебаний: найдены частоты и

* Речной Регистр РСФСР. Часть II. Корпус, гл. 1.5. «Временные требова­ ния по расчетной проверке вибрационной прочности корпусов и нормы вибра­ ции судовых конструкций». Москва, 1966.

2 1 3

-формы колебаний с учетом сдвига (желательно методом конечных раз­ ностей).

Будем искать вынужденные колебания в комплексном виде в форме ряда

по формам свободных главных колебаний f,- (х), а в конце решения выделим действительную его часть.

Подставив предполагаемое решение (б) в (а), получим

еш S <*/ [(1 + V ) - £ г [E1 - ^ г ) + (toRl— ml<a*)fi = 0. (в)

В полученном уравнении для форм колебаний разных тонов коэф­ фициенты сопротивлений могут быть различными, неодинаковыми могут быть и интенсивности масс, поскольку количество присоединен­ ной воды для разных тонов различно. В связи с этим величины х, R, т в ряде (в) и снабжены индексами /.

При разыскании свободных колебаний без сопротивлений подста­ новка решения в форме ряда

в уравнение (а) дала бы

Поскольку последнее равенство должно выполняться в любой мо­ мент времени, необходимо, чтобы каждое слагаемое ряда в отдельности равнялось нулю, т. е.

(г)

С известной степенью приближенности можно последнее равенство считать справедливым и для случая колебаний с учетом сопротивле­ ний. Воспользуемся им, чтобы из (в) исключить производные, т. е. подставим (г) в (в)

00

еш 2 ai [(1 + И/О mflff + iaiRj—myco2] = 0.

Пли, обозначив

получим

(Д)

214

Для того чтобы избавиться от бесконечного ряда и найти параметры ау-, умножим полученный ряд (д) на fk (х) dx и проинтегри­ руем его по длине судна.

В силу приближенного условия ортогональности форм колебаний

{ Я

Аналогичная операция производилась выше, в § 11 при изучении вынужденных колебаний призматических балок; там же (см. с. 125 и рис. 26) пояснено, почему в результате указанной операции появляется в уравнении (е) ненулевая правая часть.

Сокращая уравнение (е) на еш и возвращаясь для произвольного тона колебаний к индексу /, найдем амплитуду /-го члена ряда (б)

где Nj — обобщенная жесткость

о

Подставив (ж) в (б) и освобождаясь от мнимых слагаемых, путем несложных преобразований,* получим

Таких же, как при получении формулы (3.44), с. 126.

215

Если бы колебания вызывались возмущающим моментом М cos &>t, действующим в сечении х = а, мы получили бы

ОО

при тех же фазовых углах (5.69).

П р и м е р . Определить амплитуду колебаний корпуса в шпации 18—19 судна, элементы которого приведены на с. 189, вызываемую периодической

силой Р cos со/, приложенной в шпации 19—20 (Р = 5 кН, со = 30 с-1 ). Собственные частоты и формы колебаний первых двух тонов взяты из табл. 18;

учесть гистерезисное сопротивление с коэффициентом xt = х2 = х = 0,35. Вычисления ведем по формуле (5.68), несколько преобразив ее, а именно

произведя в ней замену

cos (со/ — Р/) = cos Р/ cos со/ + sin рj sin со/.

После указанной замены получим

Поскольку учитывается всего два тона, каждая из сумм будет содержать по два слагаемых. Вычисления располагаем в порядке операций, предусмотрен­ ных формулой.

Определение вынужденных колебаний в шпации 18—19

2 1 6

Если надежные сведения о коэффициентах сопротивления г и х . отсутствуют, можно вести расчет без их учета, а для получения ампли­ туды колебаний при резонансе пользоваться динамическим множите­ лем, понимая под ним коэффициент, на который надо умножить ста­ тическое отклонение, чтобы получить действительную амплитуду ко­ лебаний в данном сечении при резонансе.

При учете в формуле (5.68) общего члена ряда будем иметь

Pf (а) / (*)

'Чдин-

N

Для величины Т1дин предложено много формул (см. [1], [2], [18. Том 3] и др.). Неплохие результаты дает для водоизмещающих су­ дов формула

150 и- 250

'Чдин

Ядин

где пдин — резонансное число колебаний в секунду.

Решение в замкнутой форме. Как указывалось в начале настоящего параграфа, определение вынужденных колебаний с учетом деформа­ ций сдвига путем численного интегрирования основных дифференци­ альных уравнений значительно осложняется, если учитывать сопро­ тивление колебаниям.

* Без учета сопротивления амплитуда была бы не 0,115, а 0,225 мм.

217

свободных колебаний, к одному дифференциальному уравнению от­ носительно функции изгибной формы

Входящая в уравнение интенсивность распределения масс корпуса по длине т (х) может быть, как известно, различной для разных то­ нов колебаний, поскольку она зависит не только от масс самого кор­ пуса, но и от масс присоединяющейся к колебаниям воды, а последние зависят от тона колебаний.

Определяя вынужденные колебания излагаемым методом, следует вводить в уравнение (5.73) массы, соответствующие тому тону, частота которого ближе всего к частоте заданной возмущающей силы, или осреднять массы двух соседних собственных тонов, между частотами которых заключается возмущающая частота.

Для судов на подводных крыльях (для которых метод Рэлея— Папковича не применим, так как учет сдвига необходим) корпус не касается воды и интенсивность массы не зависит от того, в каком диа­ пазоне собственных частот находится возмущающая частота.

Граничные условия и условия сопряжения зависят от места при­ ложения возмущающей силы или момента по длине судна.

В случае, если сосредоточенная гармоническая сила Р cos at при­ ложена в крайней кормовой точке (вибрация от пульсирующих уси-

218