книги из ГПНТБ / Давыдов, В. В. Динамические расчеты прочности судовых конструкций учебник

Амплитуда изгибающего момента под силой равна по формулам (3.39), (3.34)

§ 25

РАМЫ

Выбор расчетного метода. Расчет вибрации в районе машинного отделения судов иногда (в длинных отсеках) сводится к расчету виб­ рации рам, расположенных в районе фундаментов под механизмы. Необходимость определения свободных и вынужденных колебаний судовых рам может встретиться и в других случаях.

Для расчета простых рам с неподвижными узлами можно приме­ нить метод трех динамических моментов и уравнения (6.2) предыдущего параграфа.

Определение вынужденных колебаний таких рам под действием гармонических усилий сводится к решению системы алгебраических канонических уравнений (6.2), если не учитывать сопротивлений, или к решению системы уравнений (6.10), если учитывать гистерезис­ ное сопротивление. Число уравнений равно в обычных случаях числу неизвестных узловых моментов рамы. Принципиально расчет не слож­ нее обычного расчета такой же рамы на изгиб при статическом ее на­ гружении, но, конечно, требует значительно большей вычислительной работы. В случае, если узлов рамы, а следовательно, и уравнений много, полезно прибегнуть к расчетам на ЭЦВМ.

229

Определение частот свободных колебаний рамы сводится, как для многоопорных балок, к нахождению корней трансцендентного опреде­ лителя системы однородных уравнений (6.4).

Расчет сложных рам с неподвижными узлами, т. е. рам, имеющих узлы, в которых сходятся три или более стержней, при применении теоремы трех динамических моментов (6.2) требует составления до­ полнительных уравнений. Выгоднее поэтому, как и при статических расчетах, за основные неизвестные принять углы поворота узлов рамы, моменты же по концам стержней, составляющих раму, выразить че­ рез эти углы. Соответствующий метод, носящий название метода ди­ намических угловых деформаций, может быть построен аналогично методу угловых деформаций при статических расчетах.* Вынужден­ ные колебания часто встречающихся простых рам с пиллерсами, узлы которых в точках пересечения пиллерсов нельзя считать неподвиж­ ными, можно определять комбинированным методом, выбрав за ос­ новное неизвестное, помимо узловых изгибающих моментов, реакции пиллерсов. Для каждого из неподвижных узлов рамы следует соста­ вить уравнение равенства углов поворота с двух сторон от узла (урав­ нение трех моментов) и дополнительно написать условия равенства прогибов палубной и днищевой балок в местах, где они соединяются пиллерсами. Если на раму действует периодическая возмущающая сила или момент, получается система обычных алгебраических урав­ нений с правой частью, которые содержат функции аргументов v, зависящие от заданной частоты со. Уравнений этих будет столько, сколько неизвестных опорных моментов и реакций пиллерсов. Урав­ нения получаются каноническими. Дальнейший динамический расчет отдельных балок выполняется по формулам § 10.

Детали этого комбинированного метода будут ясны из приведен­ ного ниже второго примера.

Если амплитуды вынужденных колебаний получаются очень боль­ шими, что указывает на близость возмущающей частоты к одной из частот рамы, то расчет надо вести с учетом гистерезисного сопротив­

ления. Функции в этом случае зависят от комплексного аргумента v, определяющегося по формуле (6.11). В выражениях для тригономет­

рических и гиперболических функций от v, а также в уравнениях типа трех моментов и приравнивания прогибов отделяется веществен­ ная часть, которая и является решением задачи.

При определении частот свободных колебаний сложных рам и про­ стых рам с пиллерсами правые части соответствующих уравнений равны нулю и системы уравнений оказываются однородными относи­ тельно неизвестных амплитуд моментов и реакций пиллерсов.

Приравняв нулю определитель этих уравнений, получим транс­

* Необходимые уравнения этого метода и иллюстрации их применения при­ ведены в предыдущих изданиях настоящего учебника [2 ].

230

Разыскание корней этого частотного трансцендентного уравнения приходится вести подбором.

П р и м е р определения собственной частоты. Найти частоту свободных симметричных колебаний низшего тона рамы, показанной на рис. 47. Соотно­ шения между моментами инерции стержней, интенсивностями распределенных

ИГ'ТГ,

231

Подбором находим р = 4,305 и, следовательно, по формуле (6.7)

й середине днищевой балки рамы, показанной на рис. 48 (слева) под действием

Пиллерсы, соединяющие точки 3, 4 и 5, 6, считать невесомыми, несжимае­ мыми, не препятствующими углам поворота бимса и флора, но обеспечиваю­ щими равенство вертикальных смещений этих точек.

Так как возмущающая сила приложена на оси симметрии рамы, она вызовет только симметричные колебания. Примем за неизвестные моменты в углах рамы М г cos о /, УИ2 cos сoi и реакции пиллерсов R cos сot, амплитуды их показаны на

рис. 48 справа.

Необходимо будет составить всего три уравнения: два уравнения равенства углов поворота стержней в точках 1 и 2 и уравнение равенства прогибов в точ­ ках 3 и 4.

232

Вычислим сначала аргументы v для стержней рамы по формуле (6.1)

Подготовим необходимые для составления уравнений значения деформаций. Амплитуда угла поворота первой (днищевой) балки в узле 1 * (положительными

233

Если подставить тригонометрические и гиперболические функции* то по­

Составим уравнения равенства амплитуд углов поворота в узлах / и 2 и равенства вертикальных смещений узлов 3 и 4, т. е. приравняв выражения (б) и (в), (г) и (д), а также (е) и (ж), получим

m

Подставив числовые значения моментов инерции, получим следующую си­ стему канонических уравнений

1,038 Мх + 0,134 М 2 — 0,174 = — 0,106 Р1;

0 ,134 Мх + 2,296 М2 — 0,445 RI = 0;

— 0,174 Mi — 0,445 Л4а + 0,153 RI = 0,0275 Р1.

Решив эту систему на ЭЦВМ, получим

М г = 0,064133 Р1 = 0,960 тс-м;

М2 = 0,056022 Р1 = 0,840 тс-м

R = 0,26975 Р = 0,538 тс.

Далее не составит труда найти амплитуду изгибающего момента в днище­ вой балке в точке приложения силы Р cos со<.

Согласно формулам (3.39) и (3.37) амплитуда этого изгибающего момента рагна

Если бы сила 2 тс была приложена к раме статически, то из статического расчета рамы получилось бы

Мх = 0,680 тс-м; М2 = 0,875 тс-м; R = 0,454 тс.

Изгибающий момёнт в точке, где действует сила, Мизг = — 2,04 тс-м. Н а­ пряжения в этой точке сгмакс = 300 кгс/см2.

Коэффициент динамичности в этом случае равен

§ 26

ПЕРЕКРЫТИЯ

Метод приравнивания прогибов. Вынужденные колебания пере­ крытий при не очень большом числе узлов (не более 10— 15) удобно определять методом приравнивания прогибов. Прежде чем изложить идею метода, введем некоторые, сокращающие запись уравнений обозначения.

Пронумеруем все балки перекрытия и все точки пересечения ба­ лок, а также точки, в которых приложены возмущающие силы, как показано для простейшего перекрытия, состоящего из трех балок, на рис. 49. На перекрытие это действует всего одна возмущающая сила Р cos соt, приложенная в точке 2. На этом же рисунке справа балки перекрытия отделены друг от друга и в местах пересечения

235

(узлах) показаны усилия взаимодействия — реакции. Направление этих внутренних усилий взаимодействия можно назначать произ­ вольно, следует лишь внимательно следить за тем, чтобы одно и то же усилие, прилагаемое к двум балкам, между которыми возникает это усилие, было изображено силами, направленными в противопо­ ложные стороны.

Условимся реакциям приписывать номера тех точек, в которых они приложены R xcos соt — в точке 1 , R 3cos at — в точке 3 и т. д.

Прогиб свободно опертой балки под действием пульсирующей со­ средоточенной силы Р cos a t (см. рис. 49) определяется выражением

(3.37)

R} cosat.

Рис. 49. К методу приравнивания прогибов

Представим его в виде произведения некоторого коэффициента податливости 6 на величину силы

В выражении (6.12a) индексы /, g, h последовательно обозначают: f — номер точки, в которой определяется прогиб; g — номер точки, в которой приложена сила, вызывающая этот прогиб (внешняя воз­ мущающая или реакция со стороны балки, пересекающейся с рассмат­ риваемой в данной точке), и, наконец, h — номер балки.

Параметр v зависит от размеров и материала балки, а также от частоты возмущающей силы и определяется формулой (3.32)

В методе приравнивания прогибов за основные неизвестные прини­

236

Одно уравнение получим, приравняв прогибы балок 1 и 2:

8П (Vi) Ri cos at -f б13(vx) R3cos at = — 6n (v2) Rxcos at -f

+ 612 (v2) P cos at,

или сократив на cos at

[бц (Vi) + ^ii (v2)l ^ 1 + ^13 (vi) Rs = ^12 (V2) P ■

Другое уравнение получим, приравняв прогибы балок 1 и 3:

^31 (vi) ^ i + ^зз (vi) R3 = —S33(v3) R3,

или

^3i (vi) Ri + [^33 (vi) + S33(v3)] R3= 0.

Из полученных двух уравнений находятся R t и R3, т. е. раскры­ вается динамическая неопределимость конструкции, после чего мо­ жет быть рассчитана каждая балка перекрытия. По формулам главы 3 можно вычислить и изгибающие моменты в любых сечениях.

Системы уравнений, раскрывающие неопределимость, всегда по­ лучаются каноническими, поскольку

что облегчает их решение. При числе уравнений более четырех-пяти следует прибегнуть к их решению на ЭЦВМ.

В случае учета гистерезисного сопротивления прогиб в точке /

балки h от силы Rgeiat, действующей в точке g, равен

« „ r a v ”.

где аргумент vft по формуле (3.51) равен

a vh определяется по формуле (6.13).

Для раскрытия статической неопределимости составляют условия

равенства прогибов в узлах. Уравнения эти сокращают на еш и по­ лучают уравнения для амплитуд узловых реакций. Тригонометриче­

ские и гиперболические функции комплексного аргумента \ h подстав­ ляют в эти формулы по зависимостям (3.52). В уравнениях равенства прогибов избавляются от мнимости в знаменателе и затем отделяют интересующую нас вещественную часть, откидывая мнимые члены.

После разыскания всех узловых реакций находят изгибающие моменты от всех сил, внешних и реактивных, по формуле (3.37), под­

ставляя в нее комплексный аргумент v по зависимости (6.15), поль­ зуясь теми же формулами перехода (3.52). После чего отделяют вещест­ венную часть, которая и является решением задачи.

При определении свободных колебаний перекрытия влияние сопро­ тивления на частоту очень незначительно и можно его не учитывать. При отсутствии возмущающей силы в уравнения приравнивания про­

237

гибов входят только члены, зависящие от реакций /?xcos X/, R 2cosM, . ..

Прогибы эти в точке / балки h от реакции Rgcos a t равны: bfg(nh) RgCosXt,

где цЛ— аргумент свободных колебаний по формуле (3.8), равный

(616>

Из условия равенства прогибов балок в узлах получается система однородных уравнений, и задача об определении частоты свободных колебаний сводится к решению трансцендентного характеристического уравнения, получающегося из условия равенства нулю определителя этой системы (уравнение частоты).

При решении уравнения частоты надо предварительно все аргу­ менты рй для различных балок выразить через какую-нибудь одну величину, например

После этого трансцендентное уравнение частот будет содержать только один неизвестный параметр р. Найдя значения его для неко­ торого /-го тона свободных колебаний, можно найти и собственную частоту свободных колебаний Kjt которая по формуле (6.17) равна

При числе узлов перекрытия, равном п, получится определитель n-го порядка. Решение трансцендентного уравнения частоты может быть выполнено подбором.

238