книги из ГПНТБ / Давыдов, В. В. Динамические расчеты прочности судовых конструкций учебник

т. е. если отклонение ф (t) выражается функцией косинуса, то откло­

нение ф ( / + — ) — функцией синуса. Но из (а)

следовательно [сопоставляя (б) и (в)], получим, что

Поэтому силу гистерезисного сопротивления можно считать не только пропорциональной отклонению, которое будет иметь место через четверть периода, но и скорости в данный момент

В случае, если постоянная сила трения Q, как это обычно бывает, невелика, ее приближенно также можно считать зависящей от скоро­ сти

Qsi ky(t),

смотрении свободных колебаний при наличии сухого трения (§ 2, с. 27). Коэффициент k следует подобрать так, чтобы работа действитель­

ной силы трения за полный цикл одного колебания

Wx= — 4Qa

равнялась работе условной силы ky, за такое же время.

При равенстве этих работ будет одинаковым и поглощение энергии, обусловленное этим видом сопротивления при обоих выражениях для

получим

W2= — ka2n<d.

30

Приравнивая Wx = W%, найдем

ал о

и приближенно выражение, учитывающее силу сухого трения в урав­ нениях (1.21) и (1.22), примет вид

Произведя замену в уравнении (1.21) выражений для гистерезис­ ного сопротивления и постоянной силы трения их значениями (г) и (д), получим

Поскольку все функции теперь относятся к одному и тому же мо­ менту времени, подчеркивание их зависимости от времени можно опу­ стить.

Поделив последнее уравнение на М и введя обозначение

Интеграл уравнения (1.24) состоит из общего интеграла такого же уравнения, но без правой части

Ф + 2рф + ^2ф = 0, (ж)

который отображает собственные затухающие колебания, и из част­ ного интеграла уравнения (1.24). Общий интеграл зависит как от на­ чального отклонения массы и ее скорости в момент t = О, так и от на­ чальной фазы возмущающей силы. Частный интеграл определяет вы­ нужденные колебания.

Поскольку собственные колебания рано или поздно затухнут, нас интересует чаще всего лишь вынужденные колебания, т. е. только частный интеграл уравнения (1.24).

31

Будем его искать в форме

где А, В — некоторые постоянные, подбираемые так, чтобы решение удовлетворяло уравнению (1.24).

Подставив (з) в (1.24), получим

—Л со2 cos соt —Boo2 sin соt —2рсоЛ sin at +

+2 р а В cos соt + Я2Л cos a t + Я2В sin соt = f cos сot.

Это уравнение должно быть справедливо в любой момент времени. Подбирая моменты времени так, чтобы либо sin со^, либо cos со / равня­ лись нулю, получим два уравнения для определения А и В

в косинусоиду с амплитудой, равной геометрической сумме амплитуд объединяемых зависимостей

32

(з), прибавить общий интеграл уравнения (ж), имеющий вид (1.7). Выполнив это, будем иметь

т. е. колебаниям при отсутствии возмущающей силы. При нулевых

начальных условиях ф0 = Фо = 0 эти колебания отсутствуют. Второй член отображает сопровождающие колебания. Они зависят

от амплитуды и частоты возмущающей силы и не зависят от начальных условий. Они происходят с собственной частотой и всегда в начале движения сопровождают вынужденные колебания. Так же, как и сво­ бодные колебания, они сравнительно скоро затухают. Последние два слагаемых соответствуют вынужденным колебаниям.

Качественный анализ явления. Вынужденные колебания происхо­ дят всегда с частотой возмущающей силы со. Это основное свойство вы­ нужденных колебаний позволяет при экспериментальном обследовании вибрации установить ее причину и разыскать ее источник. Вынуж­ денные колебания — незатухающие, их амплитуды неизменны в тече­ ние. всего времени действия гармонической возмущающей силы.

Амплитуду вынужденных колебаний, т. е. множитель в выражении (1.25) при функции косинуса при наличии силы сухого трения

следует рассчитывать методом последовательных приближений. Сна­ чала нужно положить Q = 0 и вычислить по (1.30) амплитуду а; най­ денное значение следует подставить в правую часть (1.30) и найти но­ вое значение а (второе). Найденное (второе) значение снова подставить в правую часть, найти третье значение и продолжить этот процесс, пока вычисленное значение будет мало отличаться от подставленного.

Аналогично следует поступать и при вычислении амплитуды для колебаний в случае квадратичной зависимости возмущающей силы от частоты

4Q \а

лЫа }

34

сутствует и гистерезисное сопротивление, то из выражения (1.30) по­ лучим

Первый множитель последнего выражения при неизменных F и N есть величина постоянная.

Второй множитель

1

(1.33)

носит название динамического множителя или коэффициента дина­ мичности и представляет собой поправочный коэффициент, на кото­ рый нужно помножить статическое отклонение, чтобы получить амплитуду вынужденных колебаний. Динамический множитель—функ­ ция трех величин: собственной и вынужденной частот Я. и со и коэффи­ циента г, учитывающего вязкое сопротивление.

При низких частотах возмущающей силы, когда со X, действие силы близко к статическому, т. е. амплитуда близка к аст, а коэффи­ циент динамичности — к единице.

При частотах возмущающей силы, близких к собственной частоте со ~ %, наблюдается резкое увеличение амплитуд вынужденных ко­ лебаний, так называемое явление резонанса, играющее важную роль в динамических расчетах.

Точное значение резонансной частоты, при которой и амплитуды, и динамический множитель достигают максимальных значений, мо­

жет быть получено, если производную подкоренной величины по —

амплитуды настолько быстро изменяет свое направление, что система «не успевает» за ней следовать, и амплитуды колебаний оказываются

об изменении динамического множителя.

Следует отметить, что при сопротивлении г > - р = кривые ампли-

У

туд и динамического множителя монотонно убывают с возрастанием о (см. нижнюю кривую при г = 32 с-1).

Явление резонанса наблюдается и в случае, когда амплитуда воз­ мущающей силы растет пропорционально квадрату частоты. В этом случае и при наличии лишь вязкого сопротивления (г =j=0, к = Q =0)

Характер зависимости динамических амплитуд от частоты возму­ щающей силы со для частного случая А, = 39 с-1, аот = 0,625 мм и различных сопротивлениях показан на рис. 10, б.

• В этом случае формула. (1.34) дает мнимую резонансную частоту.

36

Максимальных значений амплитуда колебаний достигает при ©pt несколько больших Я

Итак, в случае, когда амплитуды возмущающих усилий пропорциональны квадрату возмущающей частоты, амплитуды колебаний возрастают от нуля до некоторого максимального значения (резонанс), а после резонанса уменьшаются, стремясь при неограниченном воз­ растании со к определенному пределу аоо.

Сказанное, разумеется, справедливо при относительно небольших

X

сопротивлениях г < -^-=, когда формула (1.36) дает вещественное зна­

чение ©р. При более высоком сопротивлении г амплитуды колебаний монотонно возрастают по мере возрастания со и достигают максималь­ ного значения а при со = оЪ.

Как видно из формул (1.25) и (1.28), отклонения при колебаниях

видно из выражений (1.27), невелик, т. е. фазы возмущающей силы и отклонения почти совпадают: масса отклоняется в ту же сторону, в ко­ торую действует сила, и, когда сила достигает своего наибольшего значения, наибольшего значения достигает и отклонение.

При резонансе со ~ Я из (1.27) следует, что у ~ 90°. Нетрудно понять, что в этом случае с фазой возмущающей силы совпадает фаза скорости, т. е. в каждый момент времени направления возмущающей силы и скорости совпадают, сила все время стремится увеличить ско­ рость и, как результат этого, отклонения оказываются весьма боль­ шими.. Силы инерции и силы упругости находятся в противофазе и взаимно уравновешивают друг друга.

При очень большой возмущающей частоте м Я в фазе с силой находится ускорение, отклонение же отстает на полпериода (у ss 180°) и находится в противофазе с силой: масса отклоняется в сторону, противоположную направлению силы.

В промежуточных случаях опоздание по фазе зависит как от со­ противления, так и от близости к резонансу. Чем меньше сопротивле­ ние и чем дальше возмущающая частота © от собственной Я, тем ближе ■у к своим крайним пределам: 0 и 180°. При отсутствии сопротивления у — 0, если ©<Я, и у = 180°, если ©>>Я. Чем больше сопротивление и чем ближе © к Я, тем ближе у к резонансному опозданию, т. е. к 90°.

При гистерезисном сопротивлении амплитудно-частотные харак­ теристики (см. рис. 10) и явление прохождения резонанса будут та­ кими же. Значения амплитуд колебаний для этого случая можно по­

37

где ас1 и ат имеют прежние значения. Наибольших значений ампли­

туда, вычисленная по формуле (1.37), т. е. при резонансе, имеет место, очевидно, при сор = к. Применительно к формуле (1.38)

при различных частотах в предположении, что на указанный груз действует вертикальная сила, пропорциональная квадрату частоты, с амплитудой 1 кН

Наибольшие амплитуды колебаний, согласно формуле (1.36), имеют место

при

39,2

:39,4с- 1 .

2-42

/39,22

Амплитуды колебаний для нескольких частот вычисляем в таблич­ ной форме по формуле (1.35) (табл. 1).

Аналогично вычислены и остальные амплитуды, по которым по строена верхняя из кривых, изображенных на рис. 10, б.

38

Амортизация возмущающих усилий. Работающий поршневой дви­ гатель вследствие своей неуравновешенности и непостоянства крутя­ щего момента прилагает к своему фундаменту периодически изменяю­ щиеся усилия, которые могут вызвать нежелательные колебания кор­ пуса судна.

Для уменьшения этого вредного явления иногда применяется уста­ новка двигателей на амортизаторы — упругие связи, помещаемые между станиной двигателя и судовым фундаментом (рис. 11).

При учете лишь вязкого сопротивления для колебаний двигателя

1 ♦ t

77/7777777777777777Т/

Рис. 11. Установка двигателя на амортизаторе с вяз­ ким сопротивлением

Усилие в пружинах амортизатора будет пропорционально откло­ нению Л/'ср, а сила вязкого сопротивления — скорости /?ф. Суммарное усилие, передающееся фундаменту, составит, учитывая, что N = МК2

и R = 2гМ ,

co0

Функции синуса и косинуса разных амплитуд, но одного аргу­ мента могут быть объединены в одну функцию синуса или коси­ нуса с амплитудой, равной геометрической сумме амплитуд состав­ ляющих гармоник

39