книги / Обыкновенные дифференциальные уравнения

комплексных корней характеристического уравнения (4.38) соответствует два действительных частных решения уравнения (4.34) вида (4.43).

Пример 6.

y′′′ + y = 0.

II. Пусть среди корней уравнения (4.38) существуют кратные.

В этом случае количество различных в ряду (4.39) чисел будет меньше n, и, соответственно, число линейно независимых частных решений вида (4.40) будет меньше n; этих решений недостаточно для получения общего решения. Для получения недостающих решений изучим выражение линейного оператора L от произведения двух функций uυ .

По формуле Лейбница имеем:

……..

(uυ )′′= uυ′′+ 2uυ ′+′ υ u ′′,

Умножая первую строку на 1, вторую на a1, …, последнюю на a n и складывая получим:

91

Операторы Lr = 1, 2, …, n составлены из L по правилу, аналогичному правилу дифференцирования многочлена, только роль показателей играют указатели порядка производной.

Формула (4.44) применима к любому линейному оператору. Если, в частности, коэффициенты a1, a2, …, an есть постоянные, то каждому оператору Lr соответствует характеристический многочлен Fr(k), причем

Пусть теперь k1 есть корень характеристического уравнения (4.38) кратности m1; тогда, как известно,

F (k1) = 0; F ′(k1) = 0; ... F (m1 −1) (k1) = 0; F (m1 ) (k1) ≠ 0 .

Если в выражении (4.47) взять показатель m при x меньшим, чем m1, то все члены в скобке правой части обратятся в нуль; следовательно, мы получаем m1 частных решений дифференциального уравнения (4.34), соответствующих корню k1:

Аналогично, если имеются другие корни характеристического уравнения, k 2

Совокупность решений (4.48) и (4.49) даст в общем случае кратных корней n частных решений. Остается доказать, что они линейно независимы, т.е. образуют фундаментальную систему.

92

Допустим, что между этими решениями существует тождественно линейное соотношение

где коэффициенты A(jr) – постоянные. Без ограничения общности можно предположить, что в многочлене Pp(x) по крайней мере один коэффициент отличен от нуля. Разделим обе части этого соотношения на ek1x :

Дифференцируя последнее (предполагаемое) тождество m1 раз по x, мы вместо первого многочлена получим нуль, а все многочлены, стоящие множителями при показательных функциях, заменяются новыми многочленами тех же степеней, и мы получим новое тождество:

содержит уже p – 1 слагаемых; продолжая тот же процесс, мы придем, наконец, к тождеству

Но тождество (4.52) невозможно, так как e(k p −k p−1)x ≠ 0 , а многочлен R p ( x), будучи той же степени, что и Pp ( x ), имеет по крайней мере один

коэффициент отличным от нуля и не тождественно равен нулю.

Доказав линейную независимость частных решений (4.48) и (4.49), мы можем написать общее решение уравнения (4.34) в случае кратных корней в виде

p

y = ∑Gr (x)ekr x = 0 , (4.53)

r=1

где Gr (x) есть многочлен степени mr −1 с произвольными коэффициентами. Число произвольных постоянных в выражении (4.53)

m1 + m 2 + ... + m p = n,

т.е. порядку уравнения, как и должно быть.

В случае комплексных кратных корней характеристического уравнения выражение (4.53) неудобно, так как оно окажется комплексной функцией действительного переменного x. Заметим, что комплексные корни войдут попарно сопряженными с одинаковой кратностью. Если корень k1 = α + β i

93

(β ≠ 0) имеет кратность m1 , то сопряженный корень k2 = α − β i имеет ту же кратность. Соответствующая корню k1 совокупность решений (4.48) будет:

Подобные решения могут быть построены для любого из остальных корней. Таким образом, мы всегда получим действительные решения в числе, равном порядку уравнения.

Пример 7.

y′′′ − y′′ − y′ + y = 0.

+(C3 + C4x)sin2x.

4.5.Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

Метод нахождения общего решения y однородного уравнения (4.34) указан выше. Частное решение y* уравнения (4.54) может быть найдено методом вариации произвольных постоянных. Однако, если правая часть f(x) имеет специальный вид, то y* определяется без интегрирования, а лишь с помощью

алгебраических операций.

Начнем с теоремы, относящейся к любому линейному уравнению с правой частью.

Теорема. Пусть y1* и y2* соответственно частные решения уравнений:

Ly = f1(x), Ly = f2 (x) .

94

Рассмотрим два случая:

I. α не является корнем характеристического уравнения (4.38): F(α ) ≠ 0 .

Докажем, что в этом случае существует частное решение того же вида, что и правая часть, а именно:

покажем, что их можно определить так, чтобы выполнялось следующее тождество по x:

Вычислим левую часть, применяя формулу (4.47):

Приравнивая выражение (4.58) многочлену Pm(x) и отождествляя коэффициенты при одинаковых степенях x, получим m + 1 уравнений с m + 1 неизвестными qm, qm–1, ..., q0:

95

Поскольку по условию α не является корнем характеристического уравнения, F(α )≠ 0. Система дает возможность последовательно вычислить

qm, qm–1, ..., q0:

(разрешимость системы (4.59) относительно qm, qm–1, ..., q0 можно сразу усмотреть из того, что ее определитель (F(α ))m+1≠ 0.

II. Пусть теперь α является корнем характеристического уравнения

кратности r ≥ 1.

уравнения eαx, умноженное на многочлен степени m, естественно искать частное решение в этом случае в виде

Подставляя это выражение в уравнение (4.55) и требуя, чтобы (4.60) было решением уравнения, мы приходим к условию

96

Подставляя это выражение в равенство (4.61) и приравнивая после этого коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях равенства (4.61), снова получаем систему m + 1 уравнений для определения qm, qm–1, ...,

q0:

Определитель системы (4.62):

Cr + Cr + − ... Cr [F (r) (α )]m+1 ≠ 0 ,

m r m r 1 r

поэтому все неизвестные qi (i = 0, 1, 2, …, m) определяются однозначно, и мы получаем решение вида (4.60).

Итак, мы приходим к следующему результату: частное решение линейного уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью

специального вида Pm (x)eα x может быть найдено в виде xrQm(x)eα x , где r ≥ 0, есть кратность корня α характеристического уравнения, Qm есть многочлен той же степени, что Pm .

На практике для нахождения частного решения обычно записывают его в форме (4.56) или (4.60) с неопределенными коэффициентами у многочлена Qm (x) . Подставляя это выражение частного решения в заданное уравнение, сокращая на eαx и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получают систему линейных уравнений для этих коэффициентов. По доказанному, эта система всегда имеет определенные решения.

Пример 9. Решить уравнение

y′′′ + y′′ = x2 +1+ 3xex .

Согласно теореме 3 (см. стр. 76) будем искать частные решения двух

сначала первое уравнение; в правой части нет показательного множителя, следовательно, α = 0; но нуль есть двукратный корень характеристического уравнения; поэтому мы, согласно изложенному выше, должны искать частное решение в виде y1* = x2Q2 ( x) = a2 x4 + a1 x3 + a0 x2 . Находим:

y1*′ = 4a2 x3 + 3a1x2 + 2a0 x,

97

Переходим ко второму уравнению; здесь α = 1 не является корнем характе-