книги / Обыкновенные дифференциальные уравнения

Таким образом, методом полной индукции доказано, что ни одно из последовательных приближений не выйдет из области D, если

x0 − h ≤ x ≤ x0 + h .

Теперь нужно показать, что существует предел последовательности yn

,

и что предельная функция удовлетворяет уравнению (1.42) и начальным условиям. Для того чтобы показать существование предела (1.47) последовательности {yn}, достаточно доказать сходимость ряда:

действительно, n-я частная сумма этого ряда Sn = yn , и если мы докажем, что ряд (1.48) сходится к функции Y (x) , то этим самым и будет доказано соотношение (1.47).

Оценим абсолютные величины членов ряда (1.18):

Докажем, что для любого целого положительного n справедливо неравенство

31

Для этого применим метод полной индукции: допустив, что неравенство (1.49, n) справедливо для n, докажем его справедливость для n + 1. Мы имеем:

(последнее неравенство получаем на основании условия Липшица).

т.е. неравенство (1.49n) справедливо и для n + 1. А поскольку данное неравенство оправдывается для n = 2 и n = 3, то оно верно для каждого натурального числа n. Заменяя еще x − x 0 его наибольшим допустимым

значением h, мы приходим к заключению, что каждый член ряда (1.48) не превосходит соответствующего члена числового ряда с положительными членами:

Итак, ряд (1.50) сходится. Поскольку все члены ряда (1.48) по абсолютной величине меньше членов числового ряда (1.50), то ряд (1.48) не только сходится, но и, в силу критерия Вейерштрасса, сходится равномерно для всех х, удовлетворяющих условию x − x0 ≤ h. Каждый член ряда (1.48) есть непрерывная функция верхнего предела. Следовательно,

Y = lim y n

n → ∞

существует и является непрерывной функцией от x.

Докажем, что полученная таким образом функция Y (x) удовлетворяет данному уравнению (очевидно, что начальное условие удовлетворено, так

как Y ( x0 ) = lim yn ( x) = y0 ).

n→ ∞

Возьмем равенство (1.46n):

x

yn (x) = y0 + ∫ f (x, yn−1 )dx

x0

и перейдем к пределу при n → ∞ .

32

будет выполнено для тех пар точек (x, y′) и (x, y′) области D, для которых выполняется неравенство y′ − y′′ < δ (в силу условия Липшица достаточно

взять δ = ε ). Далее из равномерности стремления последовательности yn

N

к пределу возникает возможность для выбранного δ так подобрать натуральное число n0, чтобы при n – 1 > n0 для всех значений x в интервале (x0 − h, x0 + h) имело место неравенство

функция Y допускает производную по x, так как в правой части тождества (1.51) стоит интеграл от непрерывной функции, допускающий производную по верхнему пределу. Дифференцируя (1.51), получаем

dY = f (x,Y ), dx

т.е. Y(x) удовлетворяет данному уравнению (1.42). Первая часть теоремы доказана.

2. Единственность решения задачи Коши (1.42), (1.43).

Допустим, что кроме решения Y(x) существует еще другое решение Z(x), удовлетворяющее тому же начальному условию: Z (x0 ) = y0 . Без ограничения общности можно предположить, что значения x, для которых

33

Y (x) ≠ Z(x) , находятся вправо от x0 в любой близости от точки x0 (иначе за точку x0 мы взяли бы ту точку, в любой близости которой значения Y (x) и Z(x) перестают быть равными, или заменили бы x на – x ).

Покажем, что наше допущение приводит к противоречию. Возьмем

наибольшего значения θ >0, причем не может быть ξ = x0 , так как при x = x0

Таким образом, при выполнении условий теоремы существует единственное решение задачи Коши (1.42), (1.43).

Продолжение решения задачи Коши (1.42), (1.43)

34

Пусть M1 = max f (x, y) , тогда по теореме Коши – Пикара существует

совпадают и равны y0(1) . В силу единственности оба решения будут также

совпадать в общей части отрезков I и I1. Таким образом, найденное решение является продолжением ранее полученного на отрезке I решения на вторую половину отрезка I1.

Пусть теперь x0(2) = x0(1) + h1, y(x0(2) )= y0(2) и точка (x0(2) , y0(2) ) Q. Мы можем по начальному условию определить решение на отрезке I2, имеющего общую половину с I1, т.е. продолжить решение на вторую половину отрезка I2 и т.д.

Аналогичное рассуждение может быть проведено и для убывающих значений x.

Таким образом, можно продолжить решение до границы области Q. Пример. С помощью метода последовательного приближения найти

решение задачи Коши

y′ = y, y(0) =1.

x

Эта задача Коши эквивалентна уравнению y(x) =1+ ∫ y(τ )dτ .

0

На его основе строим последовательные приближения: y0 =1,

...

yn =1 + x + x2 + ... + xn , 2! n!

....

Очевидно, что lim yn (x) = ex = y(x) .

n→ ∞

35

Теорема существования решения задачи Коши (1.42), (1.43) (Теорема Пеано)

принцип неподвижной точки Шаудера. Введем предварительно следующие определения.

Определение. Последовательность функций

f n ( x1 ) − f n ( x2 ) < ε .

Теорема Арцела. Из всякой последовательности равномерно ограниченных и равностепенно непрерывных на [a,b] функций можно выбрать равномерно сходящуюся подпоследовательность.

Эта теорема является критерием компактности в пространстве C [a, b] непрерывных на [a, b] функций.

Ее доказательство приведено, например, в [11].

Теорема Шаудера. Если вполне непрерывный оператор F отображает ограниченное замкнутое выпуклое множество B банахова пространства Y на свою часть, то существует неподвижная точка этого отображения, т.е. такая точка y B , что Fy = y.

Доказательство этой теоремы, а также соответствующие определения также приведены в [11].

Перейдем теперь к доказательству теоремы Пеано, воспользовавшись теоремами Арцела и Шаудера.

Уравнение (1.52) вместе с начальным условием эквивалентно интегральному уравнению

36

предельного перехода под знаком интеграла при равномерной сходимости

Покажем, наконец, что оператор F преобразует этот шар в себя. Действительно,

Таким образом, оператор F удовлетворяет всем условиям теоремы Шаудера. Поэтому существует неподвижная точка этого оператора, т.е. такая функция y(x) , что

y( x) ≡ y0 + x∫ f (τ , y(τ ))dτ .

x0

Это равенство равносильно двум равенствам:

dy(x) = f (x, y(x)), y(x0 ) = y0, dx

чем и завершается доказательство теоремы Пеано.

37

Глава 2. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной

многочлена в некоторой области D есть непрерывные функции от x и y, допускающие по y непрерывные частные производные.