Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Обыкновенные дифференциальные уравнения

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

2.7 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2011 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Вычислим выражения последовательных производных от y по x через производные по t, использовав теоремы о производной сложной функции и производной обратной функции:

dy = dy dt = e−t dy ;

dx dt dx

d	2 y		d
		= e−t		e−t
dx2
			dt

dy			2		y
		−2t d					dy
	= e					−		;
				2
dt		dt					dt

мы замечаем, что выражения первой и второй производной по x содержат множители e –t и e –2t. Допустим, что k-я производная имеет вид

где α 1, α 2 ,...,α d k +1y

dxk +1

k −1

= e

−kt d

+ α 1

+ ... + α k −1

k −1

k −1 – постоянные. Тогда производная (k + 1)-го порядка

k +1

= e

−t d d

= e

−(k +1)t d

+ (α

− k)

+ ... − kα

k +1

k −1

dt dx

т.е. опять множитель e−(k +1)t впереди, а в скобке – линейная комбинация производных от (k + 1)-го до первого порядка с постоянными коэффициентами. Итак, это свойство доказано для всякого натурального k. Когда мы будем вычисленные нами производные подставлять в уравнение (4.65), нам

придется при всяком k умножать	d k y	на a xk = a ekt; при этом
придется при всяком k умножать		на a xk = a ekt; при этом
	dxk	k	k
	dxk

показательные множители, содержащие t, сократятся, и мы получим линейное уравнение с постоянными коэффициентами.

Пример 12.

x2	d2 y	+ 3x	dy		+ y = 0 .

	dx2		dx
				d 2 y				dy
Замена переменного x = et дает						+ 2			+ y = 0; характеристическое
				dx2			dx
уравнение k 2 + 2k + 1 = 0 имеет равные корни								k1 = k2 = −1. Общее решение
в функции от t:

y = e−t (C1 + C2t) ,

а в функции от x:

y= 1 (C1 + C2 ln x). x

Заметим, что в преобразовании уравнения, в случае отсутствия кратных корней характеристического уравнения, частные решения имеют вид: ekt = (et)k; следовательно, в исходном уравнении они имеют вид xk. Поэтому можно непосредственно задаться этим видом частного решения и подставить его в уравнение (4.65). При этом

101

xm	d m (xk )	= k (k −1)...(k − m + 1)xk , m ≤ k ,
	dxm

внося эти выражения в уравнение (4.65), после сокращения на xk, получим алгебраическое уравнение n-й степени для определения k:

k(k −1)...(k − n +1) + a1k(k −1)...(k − n + 2) + ... + an−2k(k −1) + an−1k + an = 0 . (4.66)

Из предыдущих рассуждений очевидно, что уравнение (4.66) совпадает с характеристическим уравнением для дифференциального уравнения в переменном t. Каждому действительному простому корню k уравнения (4.66) соответствует частное решение xk уравнения (4.65), двойному корню соответствуют два решения xk и xklnx, …, корню кратности r соответствуют r решений xk, xklnx, xk(lnx)2, …, xk(lnx)r–1. Паре простых сопряженных корней

α	± iβ уравнения (4.66) будут, таким образом, соответствовать два решения
уравнения (4.65): y = xαcos(βlnx) и y = xαsin(βlnx). Если корни α									± iβ	имеют
кратность r, то уравнение (4.65) будет иметь частные решения:									xα cos(β		ln x),
xα	sin(β ln x) , …,		xα		(ln x)r −1 cos(β	ln x) , xα	sin(β ln x), xα (ln x)sin(β ln x),				…,
xα	(ln x)r−1 sin(β ln x).
	Пример 13.
					x2 y′′ + 3xy′ + 5y = 0.
	Разыскивая частное решение в форме						y = xk, приходим к квадратному
уравнению для k:			k(k −1) + 3k + 5 = 0, или k 2 + 2k + 5 = 0 . Отсюда k = −1 ± 2i.
Общее решение		y =		1	(C cos(2ln x)+ C sin(2ln x))			.
		y =			(C cos(2ln x)+ C sin(2ln x))
				x	1	2
	Замечание 1. Уравнение (4.65) можно рассматривать и для x									(−∞ ;0) .

В этом случае необходимо сделать замену независимой переменной x = −et . Замечание 2. Подобно тому как для линейных уравнений с постоянными коэффициентами можно найти частное решение в случае

правой части специального вида f (x) = eα x Pn (x) , так и для уравнения Эйлера такое нахождение возможно, если правая часть имеет вид f (x) = xα Pn (lnx).

Пример 14. Найти общее решение неоднородного уравнения Эйлера

		x3y′′′ − x2 y′′ + 2xy′ − 2y = x3, x > 0 .		(4.67)
Структура общего решения (как и для всякого линейного уравнения)
имеет вид y =		+ y* . Найдем общее решение		соответствующего
	y
			y
однородного уравнения:
		x3y′′′ − x2 y′′ + 2xy′ − 2y = 0 .

102

Составляем характеристическое уравнение:


					k(k −1)(k − 2) − k(k −1) + 2k − 2 = 0					или
					(k −1)(k2 − 3k + 2) = 0 ,					(4.68)
откуда k	= k		= 1, k	= 2	. Тогда		= (C + C ln x)x + C x2 .
откуда k	= k	2	= 1, k	= 2	. Тогда	y	= (C + C ln x)x + C x2 .
1		2	3		1			2	3

Найдем частное решение y* уравнения (4.67). Для этого перепишем уравнение (4.68) в виде

k 3 − 4k 2 + 5k − 2 = 0.

По этому уравнению составим левую часть уравнения с постоянными коэффициентами, а правую часть получим из правой части уравнения (4.67)

заменой x = et :

y − 4y + 5y − 2y = e3t

(4.69)

Поскольку α = 3

не является

корнем характеристического

уравнения, то

частное решение

уравнения

(4.69)

ищем в виде

Подставляя

(t) = Ae

в уравнение (4.69),

находим

A =

следовательно,

(t)

, а

частное

решение уравнения

(4.67)

y*(t) =

x3. Таким

образом,

общее

решение

уравнения (4.67) имеет вид

y = (C + C ln x)x + C x2 +

II. Уравнение Лагранжа.

(ax + b)n y(n) + a (ax + b)n−1 y(n−1) +...+ a

(ax + b)y′ + a y = 0

(4.70)

n−1

где a, b, a1, a2, …, an – действительные постоянные.

Как и в случае уравнения Эйлера, замена независимой переменной ax + b = et (ax + b >0) приводит уравнение (4.70) к уравнению с постоянными коэффициентами, а потому частное решение уравнения (4.70) следует искать

в виде y = (ax + b)k .

Пример 15. Найти общее решение уравнения

(x	+	1)2 y′′	−	2(x	+	1)y′	+	2y	=	0, x	1
											> − .
Будем искать частные решения в								виде y = (x +1)k . Подставим эту
функцию в исходное уравнение:
(x +1)2 k(k −1)(x +1)k −2 − 2(x +1)k(x +1)k −1 + 2(x +1)k = 0.
Разделив обе части на		(x +1)k ,			получим				характеристическое уравнение
k(k −1) − 2k + 2 = 0 или, откуда k1 = 1, k2 = 2.

103

Следовательно, общее решение (k −1)(k − 2) = 0 есть

y= C1(x +1) + C2(x +1)2.

III.Уравнение Чебышева

(1− x2)y′′ − xy′ + n2 y = 0,

где n – действительное число.

Пусть x −( 1;1). Сделаем замену независимого переменного x = cos t.

Тогда

y′ =

= −

dt sint

dt dx

d 2 y

dy 1

dy cost

y′′ =

−

dt2

sin2 t

dt sint dx

dt sin3 t

Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получаем

d 2 y + n2 y = 0 . dt2

Его общее решение, очевидно, имеет вид

y(t) = C1 cos nt + C2 sin nt.

Возвращаясь к переменной x , находим общее решение исходного уравнения:

y(t) = C1 cos(narccosx) + C2 sin(n arccosx).

Замечание. В случае x (1+; ∞ ) производится замена x = cht, а если x −(∞ ;1), то x = – cht. В итоге получаем уравнение

d 2 y − n2 y = 0 . dt2

104

Глава 5. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Рассмотрим систему из n дифференциальных уравнений в нормальной форме

dy k

= f

( x, y , y

,..., y

)

, k = 1, 2, …, n.

(5.1)

Рассмотрим также начальные условия:

y ( x

) = y 0

, y

( x

) = y0 ,

…,

( x

) = y 0 .

(5.2)

Ранее было показано, что если функции

fk (x, y1, y2 ,..., yn ) непрерывны

в ограниченной замкнутой области D,

содержащей точку

(x, y10 , y20 ,..., yn0 ),

и удовлетворяют в этой области условию Липшица по аргументам y1, y2 ,..., yn, то задача Коши (5.1), (5.2) имеет единственное решение, определенное для x [x0− h; x0+ h] (теорема Коши – Пикара).

Дадим теперь определение общего решения системы (5.1). Определение. Общим решением системы (5.1) называется совокупность

функций

= ϕ

(x,C ,C

,..., C

= ϕ

2 (x,C1

,C2

,..., Cn ),

(5.3)

...

= ϕ

(x,C

,..., C

удовлетворяющая следующим условиям:

1) функции (5.3) удовлетворяют системе (5.1) при любых константах C1,

C2, …, Cn;

2) каковы бы ни были начальные условия (5.2), можно единственным

образом определить	C = C0	,C = C0 ,...,C = C0				что функции (5.3)	при
	1 1	2	2	n	n так,
таких константах будут удовлетворять этим начальным условиям (5.2).
При этом предполагается,				что	точка	(x, y10 , y20 ,..., yn0 ) D,	где
выполняются условия теоремы Коши – Пикара.
Частным случаем системы (5.1) является одно уравнение n-го порядка,
разрешенное относительно старшей производной:
	y( n )	= f ( x, y,		y′, y′′, ..., y( n−1) ).

Как показано выше, введением новых функций:

y1 = y′, y2 = y′′, ..., yn−1 = y( n−1)

оно заменится следующей системой n уравнений:

105

= y

dy1

= y

,...,

dyn −2

= y

n −1

dyn −1

= f (x, y, y , y

,..., y

n −1

)

Покажем, что и обратно, нормальная система n уравнений первого порядка (5.1) эквивалентна одному уравнению порядка n.

5.1. Метод исключения неизвестных

Продифференцируем первое из уравнений (5.1) по x:

d 2 y

∂ f

∂ f dy

+ ... +

∂ f

dx2

∂ x

∂ y1

∂ y2

∂ yn

Заменив

dyk

через их выражения fk(x, y1, y2, …, yn), получим:

2 y

∂ f

∂

+ ... +

∂ f

dx2

∂ x ∂

∂ y2

∂ yn

т.е. выражение вида

d 2 y

= F (x, y , y ,...,y )

(5.42)

dx2

Полученное уравнение (5.42) снова дифференцируем по x; принимая во внимание уравнения (5.1), получим:

3 y

∂ F

f +

+ ...

n ,

dx3

∂ x

∂ y1

∂ y2

∂

или

d3 y

= F (x, y , y ,...,y )

(5.43)

dx3

Продолжая этот процесс, получим далее

d 4 y

= F4 (x, y1, y2,...,yn )

(5.44)

dx4

…

d n−1y

= F

−1

(x, y , y

,..., y

)

(5.4n–1)

dxn−1

d n y

= F (x, y , y ,...,y )

(5.4n)

dxn

Предположим, что из системы (А) n – 1 уравнений, составленной из

первого уравнения

системы (5.1)

из

(5.42),

(5.43), …, (5.4n–1), можно

106

			dy		d n−1y
определить n – 1 величин	y2 , y3 ,..., yn через	x, y1,	1	,...,	1	: внося эти выра-
					dxn−1
			dx

жения в (5.4n), мы получим уравнение вида:

d n y					dy		d n−1y
	1	= Φ	x, y ,		1	,...,		1
	n							n−1
dx				1	dx		dx		,	(5.5)

т.е. одно уравнение n-го порядка. Из самого способа его получения следует, что если y1(x), y2 (x),..., yn (x) представляют решение системы (5.1), то y1 удовлетворяет уравнению (5.5). Обратно, если мы имеем решение y1(x)

	dy		d n−1y
уравнения (5.5), то, дифференцируя это решение, мы вычислим	1	,...,	1
			dxn−1 .
	dx
Подставим значения, как известные функции от x , в систему (А);			мы, по

предположению, можем разрешить эту систему относительно y2 , y3 ,..., yn , т.е.

получить выражения y2 , y3 ,..., yn

как функции от

x . Остается показать,

что

функции y1, y2 ,..., yn

удовлетворяют системе (5.1).

Действительно,

условие

разрешимости

системы

(А)

относительно

y2 , y3 ,..., yn состоит в том,

что якобиан

D( f1, F2 ,..., Fn −1)

отличен от нуля при

D( y2 , y3 ,..., yn )

рассматриваемых значениях

y2 , y3 ,..., yn. В наших предположениях функции

y1(x), y2 (x),..., yn (x) обращают

тождества

все

уравнения

системы

(А);

в частности, имеем

тождество

dy1

= f (x, y , y

,..., y

)

Дифференцируя

это

n .

2 y

∂ f

∂ f dy

∂ f

тождество по

получаем:

+ ... +

но

dx2

∂ x

∂ y1

∂ y2

∂ yn

в силу (5.42) имеем тождество

d 2 y

∂ f

= F

+ ... +

dx2

∂ y1

∂ y2

∂ yn

∂ x

Вычитая одно тождество из другого, находим:

∂ f

∂

∂ f

−

+ ...

− f

= 0

∂ y1 dx

∂ y2 dx

∂ yn dx

Аналогично, дифференцируя тождество (5.42) по x и вычитая из

полученного результата тождество (5.43), получим:

∂ F

∂

∂ F

−

− f 2

+ ... +

−

f n

= 0

∂ y1 dx

∂ y2 dx

∂ yn dx

и т.д., наконец,

∂ F

n −1

−

n −1

−

f 2

+ ... +

n −1

∂ y1

∂ y2

∂ yn

dy		n
			−	f n	= 0 .
	dx

107

Замечая, что в силу тождества dydx1 = f1 первые члены всех равенств исчезают, и рассматривая оставшиеся равенства как систему n – 1 уравнений

с n – 1 неизвестными dyk − fk , заключаем (так как по условию определитель dx

системы не равен нулю), что имеют место тождества dy2 = f2,..., dyn = fn , т.е. dx dx

y1(x), y2 (x),..., yn (x) действительно решения системы (5.1).

Таким образом, при сделанных предположениях интегрирование одного уравнения n-го порядка (5.5) дает возможность путем дифференцирований и разрешений найти решение системы (5.1).

Пример 1. Найти общее решение системы уравнений

dy		= z,


dx
	dz	= −y.

dx

Дифференцируем первое уравнение:			d 2 y	=	dz		используя второе,
						;
			dx2
					dx
находим:	d 2 y	+ y = 0, откуда y = C1 cos x + C2 sin x; далее из первого уравнения

	dx2

z= dy = −C1 sin x + C2 cosx. dx

Пример 2. Проинтегрировать систему уравнений

x = y

+ sin t,

y =

2 y

Продифференцируем первое уравнение: x = 2yy + cost.

Заменяя y из

второго

уравнения, получаем

x = x + cos t.

Найдем

= C1et + C2e−t ,

а x* = −

cost. Следовательно,

x = C et

+ C e−t −

cost. Из первого уравнения:

y2 = x − sint = C et − C

e−t −

sint

108

5.2. Системы линейных дифференциальных уравнений

Рассмотрим систему из n линейных уравнений

	dyi	n
	dyi	+ ∑a (x) y	j	= f	(x)
		+ ∑a (x) y		= f	(x)
	dx	ij		i		,	(5.6)
	dx	j =1				,	(5.6)
где i = 1, 2, …, n, aij ( x), f i ( x)		– непрерывные функции. Если не все					fi (x)

тождественно равны нулю, то линейная система (5.6) называется

неоднородной; если же все fi (x) ≡			0 , то система
	dyi		n
	dyi	+ ∑a (x) y		j	= 0
		+ ∑a (x) y			= 0
	dx		ij			(5.7)
	dx		j =1			(5.7)

называется линейной однородной, соответствующей системе (5.6).

В указанных предположениях соответствующая задача Коши для системы (5.6) (а следовательно, и для системы (5.7)) имеет единственное решение, поскольку выполнены, очевидно, все условия теоремы Коши – Пикара (в области непрерывности функций aij ( x), f i ( x) , i, j = 1, 2, …, n).

Свойства линейных однородных систем

Теорема 1. Если совокупность функций yk(1) , k = 1, 2, …, n, есть частное решение системы (5.7), то совокупность функций Cyk(1) (где C – произвольная постоянная) – также частное решение системы.

Теорема 2. Если yk(1) и yk(2) , k = 1, 2, …, n, есть два частных решения системы (5.7), то yk(1) + yk(2) – также частное решение системы (5.7).

Справедливость этих теорем следует из основных правил дифференцирования.

Рассмотрим n частных решений системы (5.7):
yk(1) , yk(2) ,..., yk(n) , k = 1, 2, …, n.					(5.8)
Определение. Система функций (5.8) называется линейно независимой
на (a; b), если система тождеств
n			(k ) = 0
∑α	k	y		, i = 1, 2, …, n	(5.9)
k =1			i

(где α 1, α 2 ,..., α n – постоянные числа) имеет место на (a; b) лишь в случае,

когда α 1 = α 2 = ... = α n = 0 .

В противном случае система (3) называется линейно зависимой на (a;

b).

109

yi (x0 ) = 0 , i = 1, 2, …, n.

x (a;b).

n найдутся отличные от

Определение. Определитель

y1(1) W (x) = y1(2)

...

y1(n)

y2(1) ...		yn(1)
y2(2) ...		yn(2)
...	...	...
y2(n) ...		yn(n)

называется определителем Вронского функций (5.8).

Теорема 3. Если система функций вида (5.8) линейно независима на

(a; b), то W(x) ≡ 0 на (a; b).

Доказательство. Рассмотрим равенства (5.9) как систему из n алгебраических уравнений с n неизвестными α 1, α 2 ,..., α n . В силу линейной

зависимости функций (5.8) среди чисел α 1, α 2 ,..., α нуля, а потому определитель системы (5.9) будет равен нулю для каждого

Следовательно, W(x) ≡ 0 на (a; b).

Теорема 4. Если частные решения системы (5.7) функции (5.8) линейно независимы на (a; b), то W(x) ≠ 0 , для каждого x (a;b).

Доказательство. Воспользуемся методом от противного. Предположим, что существует точка x0 (a;b) такая, что W (x0 ) = 0 . Тогда система (5.9) при x = x0 имеет решение α 1, α 2 ,..., α n , причем среди чисел α k есть отличные от нуля.

Рассмотрим функцию

	n
	= ∑α		y(k)
y	= ∑α	k	y(k)	(5.10)
i		k	i , i = 1, 2, …, n.	(5.10)
	k =1

Функция (5.10), очевидно, является решением системы (5.7) и согласно равенствам (5.9) удовлетворяет начальным условиям

В силу теоремы Коши – Пикара система (5.7) имеет только одно решение, удовлетворяющее данным начальным условиям. Тривиальное

решение yi ≡			0 , i = 1, 2, …, n, как раз этим условиям удовлетворяет, а потому
решение		i	, i = 1, 2, …, n, совпадает с тривиальным, и из равенств (5.10)
решение	y	i
следует
			n		y(k ) ≡ 0
			∑α	k	y(k ) ≡ 0		, i = 1, 2, …, n.
			k =1	k	i		, i = 1, 2, …, n.
			k =1
Следовательно, система функций (5.8) линейно зависима, что
противоречит условию. Таким образом, W(x) ≠ 0 для всех x								(a;b).
Теорема 5. Если W (x0 ) ≠					0	для некоторого x0 (a;b) ,		то W(x) ≠ 0 для
любого x (a;b).
						110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2011 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202314.42 Mб0Общий курс путей сообщения..pdf
#
12.11.20232.04 Mб3Объектно-ориентированное программирование. ООП на языке C++.pdf
#
12.11.202316.61 Mб11Объектно-ориентированное программирование..pdf
#
19.11.202364.37 Mб0Объемно-пространственная композиция..pdf
#
19.11.202343.61 Mб0Объемные наноструктурные металлические материалы..pdf
#
12.11.20232.7 Mб1Обыкновенные дифференциальные уравнения..pdf
#
12.11.202314.47 Mб10Одноковшовые погрузчики..pdf
#
12.11.202319 Mб0Оказание первой помощи пострадавшим при несчастных случаях на производстве..pdf
#
12.11.20233.2 Mб7Оксидные композиционные материалы..pdf
#
12.11.202319.41 Mб0Они прошли дорогами войны Об участниках Великой Отечественной войны - сотрудниках Пермского политехнического института..pdf
#
13.11.202324.39 Mб9Они трудились во имя Победы О тружениках тыла в годы Великой Отечественной войны - сотрудниках Пермского государственного технического университета..pdf