Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Обыкновенные дифференциальные уравнения

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

2.7 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2013 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Пример 7. Найти общее решение системы:

	dx		= y + z,

dt
dy
			= z + x,
	dt
	dz	= x + y.

dt

Ищем решения

в форме

x = k1eλ t ,

y = k2eλ t , z = k3eλ t . Для

определения k1, k2 , k3

имеем три уравнения:

λ k1 − k2 − k3 = 0,

= 0,

− k1 + λ k2 − k3

= 0.

− k1 − k2 + λ k3

Приравнивая их определитель к нулю, получаем:

0 =

− 1

= λ − λ3−

−1

λ − 1

−1 −1 λ

Корни последнего уравнения есть λ 1 = 2,

λ 2 = λ 3 = −1. Простому корню

λ 1 = 2 соответствует система двух независимых уравнений, например:

2k1 − k2 − k3 = 0,

− k1 + 2k2 − k3 = 0,

откуда

k : k : k =

−1

−1 2

−1

=1:1:1.

−1

−1 −1

−1

Отсюда получаем первую систему решений, содержащую одно произвольное постоянное:

x = С1e2t , y = С1e2t , z = С1e2t .

Если в матрицу M (λ ) вставить λ				= −1 , то ее ранг окажется равным 1, и
три уравнения для определения k1, k2, k3 сведутся к одному:
			k1 + k2 + k3 = 0.
Если мы положим k1 =С2, k2 =С3,				то k3 = −(С2 + С3 ) , и мы получим еще
систему решений с двумя произвольными постоянными.
Общим решением будет:
x = С e2t + С	2	e−t ,	y = С e2t + С e−t ,		z = С e2t	− (С	2	+ С )e−t .
1	2		1	3	1		2	3

Мы получим фундаментальную систему решений, так как определитель

121

e2t	e2t	e2t		1	1	1
e−t	0 −e− t		=	1	0	−1	= 3 ≠ 0.
0 e−t		−e− t		0	1	−1

Пример 8. Решить систему:

			dx	+ x − y = 0,


			dt
			dy
				+ y − 4z = 0,
				+ y − 4z = 0,
			dt
			dz	+ 4z − x = 0.


			dt
Уравнение (5.19) имеет вид
	1 + λ	− 1	0		= λ 3 + 6λ 2 + 9λ = λ (λ + 3)2 .
	1 + λ	− 1	0
0 =	0	1 + λ	− 4
	− 1	0	4 + λ
Решение, соответствующие				простому корню λ = 0 , пишем в виде

x = a, y = b, z = c. Вставляя эти значения в данную систему, получаем для

определения a, b, c три уравнения, которые, согласно общей теории, сводятся к двум независимым, например к уравнениям:

	a − b = 0,
	b − 4c = 0.
Полагая	c = C1 (произвольному	постоянному),	находим		систему
решений, соответствующую корню λ = 0:
	x = 4C1,
	y = 4C1,
	z = C1.
				−2 −1 0
				−2 −1 0
Корень λ	= − 3 двукратный, т.е. m = 2 . Матрица M (−3) =			0	−2 −4	,
				−1	0 1
имеем ранг r = 2 . Кроме того, n = 3 .		Следовательно,	r > n − m ,		поэтому
ищем соответствующее этому корню решение в виде:
	x = e−3t (a + a t),
	1	2
	y = e−3t (b + b t),
	1	2
	z = e−3t (c + c t).
	1	2

Подставляя в заданную систему и сокращая на общий множитель e −3 t , получаем:

122

Приравнивая в обеих частях свободные члены и коэффициенты при t, получаем шесть уравнений:

− 3a − 3a		2	t + a	2	+ a + a	2	t − b − b t = 0,
	1				1		1	2
− 3b1 − 3b2t + b2 + b1 + b2t − 4c1 − 4c2t = 0,
					+ 4c1 + 4c2t − a1 − a2t = 0.
− 3c1 − 3c2t + c2

− 2a1 + a2 − b1 = 0,	− 2a2 − b2 = 0,
− 2b1 + b2 − 4c1 = 0,	− 2b2 − 4c2 = 0,
c1 + c2 − a1 = 0,	c2 − a2 = 0.

a1 = C3, b1 = C2 − 2C3, c1 = C3 −C2 .

Из трех уравнений правого столбца получаем: a2 = C2 (произвольное постоянное), b2 = −2C2 , c2 = C 2 . После этого первые три уравнения дают:

Таким образом, общее решение системы будет: x = 4C1 + C2te−3t + C3e−3t ,

y = 4C1 + C2 (−2t +1)e−3t − 2C3e−3t ,

z= C1 + C2 (t −1)e−3t + C3e−3t .

5.4.Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами

иправой частью специального вида

	dyi		n
	dyi		+ ∑aij y j = fi (x) , i =1, 2,..., n.	(5.23)
	dx		+ ∑aij y j = fi (x) , i =1, 2,..., n.	(5.23)
	dx		j =1
Выше показано, что общее решение системы (5.23) имеет вид
			n
	yi	= ∑Ck yi(k) + yi* , i =1, 2, ..., n,
			k =1
где yi(k) , i, k =1, 2, ..., n, есть фундаментальная система				решений

соответствующей однородной системы (5.17), а yi* i =1, 2, ..., n – какое-либо частное решение системы (5.23).

Найдем yi* в зависимости от вида функций fi (x) . Поскольку система

(5.23) может быть приведена к одному линейному неоднородному уравнению n-го порядка с постоянными коэффициентами, то можно воспользоваться соответствующими утверждениями о виде частного решения для указанного уравнения.

I. Пусть	fi (x) = Pm(i) (x)eα x	, где	Pm(i) (x)	– многочлены степени mi ,
	i		i

i =1, 2, ..., n. Тогда

123

1) если α не является корнем характеристического уравнения (5.19), то

yi* отыскивается в виде

yi* =Qm(i) (x)eα x ,

где

Qm(i) (x)

– многочлены степени

m = max mi , i =1, 2, ..., n;

2) если

α является

корнем характеристического

уравнения

(5.19)

кратности S, то yi* = Qm(i)+S (x)eα x , i =1, 2, ..., n.

i =1, 2, ..., n.

II.

Пусть

(x) = (P(1) (x)cosβ x+ P(2) (x)sinβ x)eα x ,

Тогда

1) если

числа

α ±

β i

не

является

корнями

характеристического

уравнения (5.19), то

= (Q

x)eα x ,

yi*

m(i ) (x)sinβ

m(i ) (x) cosβ x+ Q

где m = max(mi ,li ), i =1, 2, ..., n;

2) если числа α

± β i

является корнями характеристического уравнения

(5.19) кратности S, то

(i)

α x

(x)cosβ x + Q

=1, 2, ..., n.

yi =

(x)sinβ x e

, i

m+S

Пример 9. Указать вид частного решения y* , z* неоднородной системы

− 4y + z = e

+ sin x),

y′

z′ − y − 2z = xe3x cos x.

Характеристическое уравнение имеет вид

−4 + λ

= 0 или (λ −3)2

=0, т.е. λ

= λ

= 3.

−1

−2 + λ

Найдем сначала вид частных решений y* , z*

системы

− 4 y + z

y′

= xe

= 0,

z′ − y − 2z

α = 3 является двукратным корнем характеристического уравнения, т.е. S = 2. Степень многочлена в правой части m = 1. Поэтому:

y* = (a x3

+ b x 2 + c x + d

)e3x ,

= (a

+ b

2 + c

x + d

)e3x .

Теперь можно указать вид частных решений y2* , z2* системы

−

4 y

e3 x sin x,

y′

z′ − y − 2z = xe3 x cos x.

Числа α ± β i = 3 ± i

не

являются

корнями характеристического

уравнения, т.е. S = 0. Наибольшая степень многочленов в правых частях m = 1.

124

Поэтому

y2* = (a3 x + b3 )e3x cos x + (c3 x + d3 )e3x sin x,

z2* = (a4 x + b4 )e3x cos x + (c4 x + d4 )e3x sin x.

Таким образом, y* , z* имеют вид

y* = y1* + y2* , z* = z1* + z2*.

125

Глава 6. Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений

6.1. Основные понятия теории устойчивости

Рассмотрим нормальную систему обыкновенных дифференциальных уравнений

	dy j	= f j (t, y1,..., yn ) , ( j =1,...,n).					(6.1)
		= f j (t, y1,..., yn ) , ( j =1,...,n).					(6.1)
	dt
Переходя к матрично-векторным обозначениям
			y
			= 1	≡	colon( y ,..., y ),
		y	= 1	≡	colon( y ,..., y ),
					1	n
			y
			n

f (t,

) = colon f (t,

),...,

(t,

)

и учитывая, что

d y

= colon( y ,

, y

систему (6.1) можно записать в виде матрично-векторного уравнения

= f (t,

(6.2)

Будем предполагать, что для системы (6.2) выполнены условия теоремы Коши – Пикара, т.е. задача Коши для указанной системы с начальным условием

y(t0) ≡

y0 при любом t0 (a+∞;

) имеет единственное решение.

В этом случае имеет место интегральная непрерывность решений системы

(6.2): если y (t )

(a < t < b) есть решение системы (6.2), то для любых ε> 0 и

[α, β]

( a , b )

существует

δ>0

такое, что

решение z(t) ,

определяемое

начальным условием z(γ) = z0 , где

[α, β] и

z(γ) − y(γ)

<δ,

будет иметь

смыслпри α ≤ t≤

β, причем

z(t) − y(t)

< ε для t

[α, β] (рис. 6.1).

ε	δ

ε δ

α		γ		β
		Рис	. 6.1

126

Здесь в качестве нормы вектора можно взять любую из трех норм:

= max

x j

1≤

j≤ n

= ∑

x j

j=1

III

∑ x j

2 .

j=1

В дальнейшем мы будем использовать также следующие нормы

матрицы A = [a jk ]:

= max ∑

a jk

= max

∑

a jk

1≤ j≤ n k =1

1≤ k≤ n

j =1

III

∑∑ a2 jk .

j =1

k =1

Определение 1. Решение

(t)

(a < t < ∞ )

системы (6.2) называется

устойчивым по Ляпунову при t

→

+∞

(или, кратко, устойчивым), если для

любых ε>0 и t0 (a+∞,

) существует δ=δ(ε, t0) такое, что

1) все решения

(t) системы (6.2) (включая решение

(t) ), удовлет-

воряющие условию

(t0 ) −

(t0 )

< δ,

(6.3)

определены в промежутке t0 ≤ t < ∞ ;

2) для этих решений справедливо неравенство

(t) −

(t)

< ε при t0 ≤ t<∞ .

(6.4)

Иными словами,

решение

(t)

устойчиво, если достаточно близкие

к нему в любой начальный момент t0

решения

(t)

целиком погружаются

в сколь угодно узкую ε-трубку, построенную вокруг решения η(t) (рис. 6.2).

ε	δ
ε		η(t)

Рис. 6.2

127

Из неравенств (6.3)

и (6.4) следует, что всегда можно выбирать δ ≤

ε.

В частности

при

(t, 0) ≡

тривиальное решение (положение

равновесия)

(t)≡

(a < t < ∞ ) устойчиво, если для любых ε>0 и t0

(a∞, )

существует δ= δ(ε, t0 ) > 0 такое, что из неравенства

< δ

y(t0 )

следует неравенство

y (t) < ε при t0 < t < ∞ .

Заметим, что из устойчивости нетривиального решения η(t) не следует его ограниченность; обратно, из ограниченности решения, вообще говоря, не

следует его устойчивость.

Определение 2. Если число

δ>0 можно выбрать

не зависящим от

начального момента t0 T , т.е.

δ = δ(ε), то

устойчивость называется

равномерной в области T.

Определение 3. Решение

(t) (a < t < ∞ )

будем называть неустой-

чивым по Ляпунову, если для некоторых ε>0, t0 (a∞,

) и любого δ> 0

существует решение

(t) (хотя бы одно) и момент t1 =t1(δ) >t0 такие, что

yδ

(t0 ) −

(t0 )

< δ и

(t1) −

(t1)

≥ ε.

yδ

Из отрицания определения 1 вытекает, что следует считать также

неустойчивым решение

(t) , непродолжаемое при t → ∞

, или такое, для

которого в любой окрестности точки η(t0 ) найдется точка y0 , порождающая в момент времени t0 решение y(t) , непродолжаемое при t0 ≤ t <∞ .

Аналогично, тривиальное решение (положение равновесия) η ≡ 0 неустойчиво (рис. 6.3), если для некоторых ε > 0 , t0 (a∞, ) и любого δ> 0 существует решение yδ(t) и момент t1 >t0 такие, что

yδ(t0 ) < δ, yδ(t1) ≥ ε.

yδ(t)

Рис. 6.3

128

Определение

Решение

(t) (a

< t < ∞ )

называется асимптотически

устойчивым при t → ∞ ,

если:

1) это решение устойчиво по Ляпунову и

2) для любого t0

(a∞, ) существует ∆

=∆ (t0) >0 такое, что все решения

(t) t0 ≤ t< ∞ ,

удовлетворяющие условию

(t0 ) −

(t0 )

< ∆ ,

обладают

свойством

lim

(t ) −

(t )

= 0.

(6.5)

t → ∞

Таким

образом,

асимптотическая

устойчивость есть

«устойчивость

с нагрузкой»,

т.е.

устойчивость

при наличии

дополнительных

условий.

В частности,

тривиальное решение

(t) ≡

асимптотически устойчиво, если

оно устойчиво и

lim

(t) = 0 при

(t0 )

< ∆ .

t → ∞

(t)

Определение 5. Если решение

(a < t < ∞

)

асимптотически

устойчиво при t →

∞

и все решения

(t) ,

t0 ≤ t<∞

, t0 > a ,

обладают

свойством (6.5), (т.е. ∆

= ∞ ), то решение

(t)

называется асимптотически

устойчивым в целом.

Замечание

Если

решение

системы

(t)

(a < t < ∞ )

(6.2)

непрерывной правой частью устойчиво для какого-либо фиксированного момента t0 (a∞, ), то оно будет устойчиво для любого другого момента

t'0

(a,∞ ) ,

. .

т е является устойчивым в смысле определения

Действительно, пусть при

(t0 ) −

< δ

ε( , t0<)ε .

(t0 )

(6.6)

имеем

(t) −

(t)

< ε для t0 ≤

t< ∞

(6.7)

В силу свойства интегральной непрерывности существует δ' = δ(ε, t'0 ) > 0

такое, что если

(t '

0 ) −

(t '

0 )

< δ' ,

(6.8)

то

[t0′, t0 ].

(t) −

(t)

< δ (ε, t0 )= δ при t

Поэтому на основании формул (6.6) и (6.7) из неравенства (6.8)

вытекает неравенство

(t) −

(t)

< ε при t0 ≤

t< ∞ .

129

Таким образом, можно ограничиваться проверкой устойчивости решения, а также его асимптотической устойчивости, лишь для некоторого заданного начального момента t0.

Отсюда также получаем, что если решение η(t) (a < t < ∞ ) неустойчиво при t = t0, то оно является неустойчивым для любого другого

момента t0 (a∞, ).

В дальнейшем для теорем устойчивости мы, как правило, начальный момент t0 будем считать фиксированным.

6.2. Устойчивость линейных дифференциальных систем

Рассмотрим линейную дифференциальную систему

dy j	= ∑a jk (t) yk + f j (t)		j = (1,…, n),
	n
		,
dt	k =1	,

где a jk (t) , f j (t ) непрерывны в интервале (a, ∞ ) . Введя векторно-матричные обозначения

y = colon[ y1,…, yn ], A(t) = [a jk ],

f (t) = colon[ f1(t),…, fn (t)],

систему (6.9) можно записать более просто:

dy = A(t) y + f (t) . dt

Пусть

X (t) =[x jk (t)] (det X (t ) ≠ 0)

(6.9)

(6.10)

(6.11)

являестя фундаментальной матрицей (иными словами, фундаментальной

системой решений, записанной в виде (n × n)					матрицы) соответствующей
однородной дифференциальной системы
	dx	= A(t)		,
			x		(6.12)

	dt

т.е. матрица, состоящая из n линейно независимых ее решений:

(1)

x (t) = colon[x11 (t),…, xn1 (t)];

(n)

x (t) = colon[x1n (t),…, xnn (t)].

В записи [ x jk (t)] первый индекс j обозначает номер координаты,

а второй k-номер решения, так что в фундаментальной матрице (6.11) решения располагаются по столбцам.

Покажем, что матрица X (t) удовлетворяет матричному уравнению

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2013 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202314.42 Mб0Общий курс путей сообщения..pdf
#
12.11.20232.04 Mб3Объектно-ориентированное программирование. ООП на языке C++.pdf
#
12.11.202316.61 Mб11Объектно-ориентированное программирование..pdf
#
19.11.202364.37 Mб0Объемно-пространственная композиция..pdf
#
19.11.202343.61 Mб0Объемные наноструктурные металлические материалы..pdf
#
12.11.20232.7 Mб1Обыкновенные дифференциальные уравнения..pdf
#
12.11.202314.47 Mб10Одноковшовые погрузчики..pdf
#
12.11.202319 Mб0Оказание первой помощи пострадавшим при несчастных случаях на производстве..pdf
#
12.11.20233.2 Mб7Оксидные композиционные материалы..pdf
#
12.11.202319.41 Mб0Они прошли дорогами войны Об участниках Великой Отечественной войны - сотрудниках Пермского политехнического института..pdf
#
13.11.202324.39 Mб9Они трудились во имя Победы О тружениках тыла в годы Великой Отечественной войны - сотрудниках Пермского государственного технического университета..pdf