книги / Обыкновенные дифференциальные уравнения

полинома с положительной вещественной частью создает при 0 ≤ ω ≤ +∞

поворот вектора f(iω) в среднем на − π .

2

Пусть m – число корней нашего стандартного полинома f(z) с положительной вещественной частью. Тогда число корней этого полинома с отрицательной вещественной частью ввиду отсутствия чисто мнимых корней равно n – m. Поэтому для суммарного поворота вектора f(iω) при

что и требовалось доказать.

2. Пусть теперь для стандартного полинома f(z) степени n без чисто мнимых корней угол поворота при 0 ≤ ω ≤ +∞ вектора f(iω) определяется формулой (6.70) и m – число его корней с положительной вещественной частью. Тогда согласно доказанному имеем

2

Сравнивая формулы (6.79) и (6.70), получаем

m = m,

т.е. в этом случае полином f(z) имеет в точности m корней на положительной полуплоскости Re z > 0.

Лемма доказана полностью.

Критерий Михайлова

Для того чтобы стандартный полином f(z) (6.69), не имеющий чисто мнимых корней, являлся полиномом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы угол поворота против хода часовой стрелки вектора f(iω) при 0 ≤ ω ≤ +∞ составлял бы

Ф< π n, 2

то f(z) не является полиномом Гурвица.

Замечание. Если стандартный полином f(z) есть полином Гурвица степени n, то, как следует из формулы (6.72), вектор f(iω) при 0 ≤ ω ≤ +∞

монотонно поворачивается против хода часовой стрелки на угол nπ .

2

161

Поскольку f (0) =a0 >0, годограф Г Михайлова полинома f(z), выходя из точки a0 положительной полуоси Re z > 0 , при 0 ≤ ω ≤ +∞ будет последова-

тельно пересекать полуоси Im z > 0 , Re z < 0 , Im z < 0 , …, проходя через n квадрантов.

на практике это обстоятельство можно проверить, построив график годографа Г полинома f (z).

Пример 7. Пользуясь критерием Михайлова, получить условия Гурвица для полинома

f (z) = z3 + pz2 + qz + r

( p, q, r действительны). Имеем

162

Объединяя неравенства(6.81) и(6.82), получимискомыеусловияГурвица: p >0, q >0, 0 < r < pq,

что согласуется с результатами, полученными ранее (см. пример 5).

6.6. Устойчивость по первому приближению

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

В этом случае система уравнений с постоянными коэффициентами

решение системы (6.83) асимптотически устойчиво. Если же хотя бы одно собственное число матрицы A имеет положительную действительную часть,

Решение. Выделяя линейную часть функций по формуле Тейлора, получаем

163

решается с помощью изложенной теоремы.

Пример 9. Исследовать устойчивость положений равновесия математического маятника с трением:

Решение. Уравнение движения маятника эквивалентно системе уравнений

правых частей системы уравнений (6.86) по x достаточно исследовать устойчивость двух ее решений: x = 0, y = 0 (решение соответствует

нижнему положению равновесия маятника).

Линеаризуем систему уравнений (6.86) в окрестности точки (0, 0). Для этого выделим из функций sin x ее линейную часть:

sin x = x − x3 + . 3!

Система первого приближения, соответствующая уравнениям (6.86), имеет вид

dx = y , dy = −x − 2ky. dt dt

Собственные числа матрицы коэффициентов для этой системы определяются из уравнения

164

Поскольку по условию k > 0, действительные части корней этого уравнения отрицательны. Следовательно, решение x = 0, y = 0 уравнений (6.86) асимптотически устойчиво.

Исследуем теперь устойчивость верхнего положения равновесия маятника, т.е. устойчивость решения x = π, y = 0 системы уравнений (6.86). Поскольку в окрестности точки x = π справедливо разложение

sin x = −( x − π )+ ( x − π )3 − … ,

3!

систему первых приближений, соответствующую уравнениям (6.86), запишем следующим образом:

d (x − π ) = y, dy = (x − π )− 2ky. dt dt

Собственные числа матрицы коэффициентов этой системы определяются из уравнения

Корни данного уравнения действительны и имеют разные знаки, поэтому решение x = π, y = 0 уравнений (6.86) (верхнее положение маятника) неустойчиво.

асимптотически устойчиво.

Решение. Линеаризуя в окрестности точки x = y = z = 0 правые части данной системы, запишем уравнения первого приближения:

Характеристическое уравнение системы уравнений (6.87) имеет вид

Для определения значений параметров α и β, при которых действительные части корней характеристического уравнения отрицательны, воспользуемся критерием Гурвица. Составим матрицу Гурвица:

165

Условия отрицательности действительных частей корней уравнения (6.88) запишем в виде системы неравенств:

т.е. удовлетворяют условию задачи, то тривиальное решение x = y = z = 0 исходных уравнений асимптотически устойчиво.

166

Глава 7. Линейные уравнения в частных производных первого порядка

Пусть искомая функция z зависит от нескольких независимых переменных: x1, x2 , ..., xn (n ≥ 2).

Уравнение, связывающее искомую функцию, независимые переменные и частные производные от искомой функции, называется уравнением с частными производными. Оно имеет вид

Здесь F – данная функция своих аргументов.

Порядок старшей частной производной, входящей в уравнение, называется порядком уравнения с частными производными.

Наиболее общее уравнение с частными производными первого порядка с n независимыми переменными может быть написано в форме

7.1.Линейное однородное уравнение

вчастных производных первого порядка

Рассмотрим уравнение вида

(мы их будем предполагать непрерывными и непрерывно дифференцируемыми в рассматриваемой области), а f обозначает искомую функцию. Это уравнение называется линейным однородным уравнением в частных производных. Решением уравнения (7.1) называется

дифференцируемая функция от x1, x2,..., xn , которая при подстановке в

уравнение (7.1) обращает его в тождество. Запишем, наряду с дифференциальным уравнением в частных производных (7.1), систему обыкновенных дифференциальных уравнений в симметричном виде:

Задачи интегрирования уравнения (7.1) и системы уравнений (7.2) есть задачи эквивалентные. Справедлива следующая теорема (доказательство приведено в [1]):

167

Левая часть любого первого интеграла системы (7.2) есть решение уравнения (7.1); обратно, всякое решение уравнения (7.1), приравненное произвольной постоянной, дает первый интеграл системы (7.2).

Найдем вид наиболее общей функции, удовлетворяющей уравнению (7.1). Для этого заметим такое свойство оператора X[ f ]. Пусть

Ф(ψ 1ψ, 2 , ...ψ , k ) есть некоторая дифференцируемая функция своих аргументов, которые, в свою очередь, являются дифференцируемыми функциями независимых переменных x1, x2,..., xn . Тогда легко видеть, что

есть некоторая определенная система (независимых) интегралов системы уравнений (7.2), определенная в некоторой области D

По указанной теореме ψ 1ψ, 2, ...ψ , n−1 являются частными решениями уравнений (7.1), т.е. мы имеем тождества:

В силу свойства (7.3), будем иметь тождественно:

X [Ф] = 0,

т.е. выражение (7.6) является решением уравнения (7.1).

Таким образом, мы встречаемся при изучении уравнения в частных производных со следующим фактом: решение такого уравнения может содержать произвольные функции, тогда как решения обыкновенных дифференциальных уравнений заключали лишь произвольные постоянные. Нашей ближайшей задачей будет установить, что выражение (7.6) является общим решением уравнения (7.1), а также выяснить, какие дополнительные данные нужно ввести, чтобы из бесконечного множества решений, даваемых выражением (7.6), выделить одно определенное решение (задача Коши).

Докажем, что формула

где Ф есть произвольная дифференцируемая функция своих аргументов, дает общее решение уравнения (7.2), т.е. в этой формуле содержится любое частное решение.

168

место тождества (7.5), которые в раскрытом виде перепишутся следующим образом:

X1, X2,..., Xn есть линейная однородная; она допускает не равные нулю решения, и, следовательно, определитель этой системы (тождественно) равен

Заметим, что в функциональном определителе, стоящем в левой части равенства (7.10), заведомо один из миноров первой строки не равен тождественно нулю; действительно, если система (7.2) имела неособые начальные значения

Отсюда следует, в силу той же основной теоремы о якобианах, что соотношение (7.11) может быть разрешено относительно функции Ψ , и мы получаем:

Ψ = Φ (ψ 1ψ, 2, ...ψ , n−1 ).

169

Итак, всякое решение уравнения (7.1) дается (в окрестности точки x10 , x20 , ..., xn0 ) формулой (7.7). Теорема доказана. Можно сказать, что формула

(7.7) дает общее решение уравнения (7.1).

Замечание. Из доказательства полученной теоремы можно вывести

области в тождественный нуль, так как уравнение может быть разрешено относительно ϕ n.

Задача Коши для линейного уравнения в частных производных первого порядка с n независимыми переменными x1, x2, …, xn

Для уравнения

новые переменные, может быть в окрестности точки x10 , x20 , ..., xn0 разрешена относительно x1, x2,..., xn−1 .

170