книги / Обыкновенные дифференциальные уравнения

Рассмотрим отрезок [x0 ; x0 + h1 ], где h1

меньшее или равное h. По допущению, Φ (x) ≠ 0 , следовательно, положительные значения в интервале [x0 ; x0 + h1] для значений x , сколь угодно близких к x0 , значит, при сколь угодно малом h1 . В силу известного

(i = 1, 2, …, n).

Складывая последние неравенства для i = 1, 2, …, n, находим:

противоречию, так как h1 может быть взято сколь угодно малым, в частности можно взять h1 ≤ nK1 ; тогда правая часть окажется ≤ θ , и мы получаем θ < θ.

Это противоречие доказывает единственность решения. Теорема доказана.

61

новую начальную точку и, исходя из нее, определить дальнейший отрезок интегральной кривой при значениях x в некотором интервале

Таким образом, мы продолжили наше решение, определив его на большом интервале; это продолжение возможно до тех пор, пока мы не подойдем сколь угодно близко к границе той области, в которой функции fi

являются непрерывными и удовлетворяют условию Липшица по соответствующим аргументам.

Вернемся теперь к уравнению (3.1):

y (n) = f (x, y, y′,…, y (n−1) ) .

Определение. Общим решением уравнения (3.1) называется функция y = φ(x, C1, C2, …, Cn), зависящая от n произвольных постоянных C1, C2, …, Cn и удовлетворяющая двум условиям:

1) эта функция удовлетворяет уравнению (3.1) при любых постоянных

C1, C2, …, Cn;

2) каковы бы ни были начальные условия (3.2), можно единственным образом определить произвольные постоянные C1 = C10 , C2 = C20 ,…, Cn = Cn0 так, что функция y = ϕ (x, C10 , C20 , ..., Cn0 ) будет удовлетворять этим начальным

где выполняются условия теоремы существования и единственности.) Определение. Общее решение уравнения (3.1) в неявном виде

Φ ( x, y, C1 , C 2 ,…, C n ) = 0

называется общим интегралом этого уравнения.

62

3.2.Уравнения n-го порядка, разрешаемые в квадратурах

I. Уравнение вида

легко интегрируется в квадратурах. Действительно, из уравнения (3.17) последовательным интегрированием получаем:

n раз

Формула (3.18) дает общее решение уравнения (3.17); при этом из промежуточных формул очевидно, что формула (3.18) представляет решение такой задачи Коши – найти решение уравнения (3.17), удовлетворяющее начальным данным: при x = x0

т.е. общее решение. Найдем теперь решение задачи Коши. Для определения C1 и C2 имеем систему уравнений

Следовательно, искомое решение имеет вид

y = (x − 2)e x + x + 3 .

Нетрудно заметить, что первый член правой части в формуле (3.18)

63

представляет частное решение уравнения (3.17), которое вместе со своими производными до (n – 1)-го порядка обращается в нуль при

Это выражение (3.19), содержащее n-кратную квадратуру по x, может быть преобразовано к такому виду, где содержится только одна квадратура по параметру.

Начнем со случая n = 2; обозначая для большей ясности переменные интегрирования в двух интегралах различными буквами, имеем:

x x

y = ∫ dx ∫ f ( z)dz .

x0 x0

z

Рис. 3.1

Рассматривая правую часть последнего выражения как двойной интеграл в плоскости xOz, мы видим, что он распространен на площадь заштрихованного треугольника (рис. 3.1). мы можем переменить порядок интегрирования, взяв пределы по x от z до х, а по z – от x0 до x (формула Дирихле), имеем:

x x x x x

y = ∫ dz ∫ f (z)dx = ∫ f (z)dz ∫ dx = ∫ (x − z) f (z)dz.

x0 z x0 z x0

Рассмотрим далее случай n = 3:

x x x

y = ∫ dx ∫ dx ∫ f (x)dx.

x0 x0 x0

По предыдущему, два внутренних интеграла мы можем заменить одним по параметру z , т.е. написать:

x x

y = ∫ dx ∫ (x − z) f (z)dz.

x0 x0

Интеграл опять распространяется на тот же треугольник плоскости xOz; меняя порядок интегрирования и изменяя пределы, находим:

64

n−1раз

тогда получаем:

т.е. та же формула справедлива для n. Итак, окончательно имеем для всякого натурального n:

(формула Коши). Формула (3.20) представляет решение уравнения (3.17), удовлетворяющее начальным условиям:

y = 0, y′ = 0, ..., y( n−1) = 0 при x = x0 .

Легко, обратно, убедиться дифференцированием в справедливости обоих этих утверждений.

общее решение, связанное с задачей Коши, мы должны прибавить квадратный трехчлен относительно x – x0; получим:

65

Если мы просто желаем получить общее решение (содержащее три производные постоянные), то достаточно заметить, что, в силу произвола

в последнем выражении являются совершенно произвольными, и мы можем написать искомое общее решение в виде

Разрешив его относительно y(n) , мы приведем его к виду (3.17), и все последующие рассуждения имеют силу. Но иногда удается разрешить это уравнение в элементарных функциях лишь относительно x или, в более общем случае, выразить x и y в функции параметра t; тогда интегрирование уравнения (3.21) может быть тоже сведено к квадратурам, выраженным явно. Пусть параметрические уравнения, эквивалентные уравнению (3.21), есть

если из этих двух соотношений исключить t, получим общий интеграл уравнения (3.22).

Пример 3.

e y′′ + y′′ = x .

66

Последняя формула вместе с выражением для x , x = et + t, дает параметрическое представление общего решения данного уравнения.

приводится к квадратурам при любом натуральном n.

1. Предположимсначала, чтоуравнение(3.23) разрешеноотносительно y(n) :

Вводим новую функцию z: z = y(n–1); уравнение (3.24) примет вид z′ = f (z) .

Из этого уравнения получаем с помощью разделения переменных его общий интеграл:

Допустим, что это соотношение разрешено относительно z: z = ϕ (x,C1).

Заменяя z его значением z = y(n−1) , получим уравнение (n – 1)-го порядка:

y(n−1) = ϕ (x,C1) ,

67

которое рассмотрено в п. I.: при его интегрировании появятся еще (n – 1) произвольных постоянных, и мы получим общее решение уравнения (3.23) в виде

y = ∫ dx∫ dx...∫ ϕ (x,C1)dx + C2 xn−2 + C3xn−3 + …+ Cn−1x + Cn .

nраз

2.Если уравнение (3.23) неразрешимо в элементарных функциях

откуда x получается квадратурой:

=ψ ′(t)dt +

x∫ ϕ (t) C1 .

Далее последовательно находим:

параметра t и n произвольных постоянных C1,C2 ,C3 ,…,Cn следовательно, получено общее решение.

Пример 4.

Исключая параметр φ, получаем общий интеграл:

(x − C1)2 + ( y − C2 )2 = a2,

68

представляющий уравнение семейства всех окружностей радиуса a на плоскости.

IV. Уравнение вида

то один из методов его интегрирования таков: умножив обе части на 2z′, получаем 2z′z′′ = 2 f (z)z′ , или в дифференциалах:

d(z′2 )= 2 f (z)dz ,

откуда z′2 = 2∫ f (z)dz + C1 .

Последнее уравнение можно разрешить относительно производной и разделить переменные:

Этот интеграл при замене z на y(n−2) получает вид

Φ (y(n−2) , x,C1,C2 ) = 0 ,

т.е. уравнение вида (3.21); оно интегрируется, как мы уже знаем, квадратурами, причем это интегрирование дает еще n–2 произвольных постоянных, и мы получим общее решение уравнения (3.26).

то интегрирование совершается следующим образом. Мы имеем два равенства:

dy(n−1) = y(n)dx , dy(n−2) = y(n−1)dx ,

связывающих две неизвестные функции от t, а именно – x и y; исключая делением dx, получаем дифференциальное уравнение для y(n−1) :

y(n−1)dy(n−1) = y(n)dy(n−2)

69

или, в силу уравнений (3.29),

поступать следующим образом: делим 1 на обе части последнего равенства:

в левой части освобождаемся от иррациональности в знаменателе, затем умножим обе части на − С1 ; получаем:

Складывая это уравнение с исходным и деля его на 2, получаем: