книги / Обыкновенные дифференциальные уравнения
..pdfβ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 6.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 6.9 |
|||||||||||||
Пример 6. Определить область асимптотической устойчивости для |
||||||||||||||||||||||||||
системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
dx |
= −x |
+ α y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
dy |
= β x |
− y + α z, |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
dz |
= β y− z, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.68) |
|||||||||||||
где α и β – действительные параметры. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Характеристическое уравнение для системы (6.68) имеет вид |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
λ + 1 |
|
|
−α |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
−β |
|
|
|
|
λ + 1 |
−α |
= |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
−β |
λ + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
или |
|
+ λ2+ |
−(1 α 2 β )] = 0 . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
(λ + 1)[λ |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда λ 1= − 1, а по теореме Виета |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
λ |
+ λ |
|
|
= − |
2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
−1 |
α2 |
β . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
λ |
λ |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, Reλ 2< 0 и |
Reλ 3< 0, |
если |
1 – 2αβ > 0. Поэтому асимп- |
|||||||||||||||||||||||
тотическая устойчивость будет иметь место, |
если 1 – 2αβ > 0, т.е. α β < |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
(рис. 6.9).
Критерий Михайлова
Если степень полинома f(z) сравнительно большая, то применение критерия Гурвица становится затруднительным ввиду необходимости подсчета определителей высоких порядков. В это случае для определения
157