гдеEq – единичнаяматрицапорядкаq и I1( p) – еепервыйединичныйкосойряд, то
etJ q (λ |
∞ |
t |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
t |
p p |
|
p! |
|
|
q ) = ∑ |
|
|
(λ |
|
E |
|
+ I |
(q) ) p |
= ∑ |
|
|
∑ |
|
|
λ p −r I |
(q) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p =0 |
p! |
|
q |
|
q |
|
1 |
|
|
|
p =0 |
p! r =0 r!( p − r)! q |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(q) |
r |
∞ |
|
|
p−r |
|
|
|
(П2.9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∑ |
Ir t |
|
|
∑ |
(λ qt) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как известно, |
|
|
|
|
|
|
|
r=0 |
r! |
|
|
r=0 ( p − r)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r ≥ e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I (q) |
= [I (q) ]r |
= 0 при |
q |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(λ qt) |
p−r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
= eλ qt . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p=r |
( p − r)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому из формулы (П2.9) окончательно получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eq −1 |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
etJq (λ q ) |
= eJqt ∑ |
t |
|
Ir(q) |
(q =1,..., m), |
|
(П2.10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r=0 |
|
r! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где I0(q) = Eq .
Формулы (П2.8) и (П2.10) и дают нормальную форму матрицы.
Замечание. |
Из формул (П2.8) и (П2.10) при t = 1 |
вытекает, |
|
что если |
λ q (q= 1, ..., m) – |
собственные значения |
матрицы |
A , |
то |
eλ |
q |
являются |
собственными значениями матрицы |
e A , |
причем |
, |
|
так как |
eλ |
q ≠ |
0 |
, |
порядки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соответствующих клеток Жордана матриц A и e A одинаковы. |
|
|
|
Пример. Написать нормальный вид матрицы etA , где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = 0 |
|
2 |
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку матрица A в данном случае есть клетка Жордана, то на |
основании формулы (П2.4) получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1! |
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
etA = e2t (E + |
t |
I |
+ |
I |
|
) = e2t 0 1 |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1! |
|
|
|
|
|
|
1! 1 |
2! |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. Из формул (П2.8) и (П2.10) можно получить оценку нормы матрицы eAt .
Пусть
Используя I или II норму, на основании формулы (П2.8) при t ≥ 0 получаем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eq −1 |
t≤ |
r |
eAt |
|
≤ |
|
S−1 |
|
max |
|
exptJq (λ q ) |
|
|
|
S≤ |
|
cmax |
eλ qt |
∑ |
|
ceα t P(t), |
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
r=0 |
r! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где P(t) – некоторый целый полином степени Так как при любом ε > 0 имеем
то из формулы (П.2.11) находим
eAt 
≤ ce(α+ε )t при 0≤
где с = с(ε) – некоторая положительная постоянная.
Оценка вида (П2.12) имеет место также и для III нормы.
Отметим, что если характеристические числа матрицы A , обладающие наибольшими вещественными частями α, имеют простые элементарные делители, то при t ≥ 0 справедлива улучшенная оценка:
Некоторые свойства экспоненциала матрицы
Найдем det e At . На основании формулы (П2.8) получаем
|
|
|
|
|
|
n |
|
det eAt = det S−1 det etJ1 (λ 1 )... det etJm (λ m ) det S = ∏ det etJq (λ q ). |
|
|
|
|
|
|
|
q=1 |
|
Поскольку в силу формулы (П2.10), очевидно, имеем |
|
|
det etJq (λ |
q ) = eeJqt |
(q =1, ..., m), |
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
det eAt = exp(t∑eqλ q ), где e1 +…+em = n. |
(П2.14) |
|
|
q=1 |
|
|
|
|
|
Собственные значения λq являются корнями характеристического |
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
det(λ E− A)= 0, |
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
λ − a11 |
− a12 |
... |
− a1n |
|
|
|
|
|
|
|
−a21 |
λ − a22 |
... |
− a2n |
|
= 0. |
|
|
... |
... |
... |
... |
|
|
|
|
−an1 |
−an2 |
... |
λ − ann |
|
|
|
Отсюда получаем
n |
n−1 |
...+ −( 1) |
n |
det A= 0. |
(П2.15) |
λ − (a11+ a22+ ...+ ann )λ |
+ |
|
m
Поскольку выражение ∑eqλ q , очевидно, представляет собой сумму всех
q=1
корней уравнения (П2.15), где каждый корень берется слагаемым столько раз, сколько составляет его кратность, то
m
∑eqλ q= a11+ a22+ ...+ ann= SpA.
q=1
Таким образом, из формулы (П2.14) имеем
dete At = etSpA,
где
n
SpA = ∑a jj – след матрицы A .
j =1
Найдем производную матричной функции eAt по параметру t. Поскольку элементы матрицы
∞ |
A |
p |
|
eAt = ∑ |
|
t p |
(П2.16) |
|
|
p=0 |
p! |
|
представляют собой целые функции от t, то законно почленное дифференцирование ряда (П2.16) по t и, следовательно, имеем
d |
|
∞ |
A |
p |
t p −1 = Ae At = e At A. |
|
e At = |
∑ |
|
|
(П2.17) |
|
( p −1)! |
dt |
p =1 |
|
|
Из формулы (П2.17) следует, что матрица
X (t) = e At
удовлетворяет дифференциальному уравнению
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dX |
= AX , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
причем X(0) = E. |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n)-матрица X (t) C1 коммутирует |
В более общем случае, |
если (n × |
со своей производной X '(t) , получаем |
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
d |
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
e X (t ) |
= |
∑ |
|
[ X (t)]p |
= ∑ |
|
[ X (t)]p−1 X ′(t) = |
|
|
|
|
|
( p −1)! |
|
dt |
|
|
dt p =0 |
p! |
|
|
|
|
p=1 |
|
= e X (t ) X ′(t) = X ′(t)e X (t ) .
Учебное издание
СОКОЛОВ Владимир Александрович
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Учебное пособие
Редактор и корректор Е.И. Герман
Подписано в печать 10.09.2014. Формат 60×90/16. Усл. печ. л. 12.25. Тираж 20 экз. Заказ № 156/2014.
Издательство Пермского национального исследовательского
политехнического университета.
Адрес: 614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, к. 113.
Тел. (342) 219-80-33.
