Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Обыкновенные дифференциальные уравнения

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

2.7 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 206 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

	∂ F ( x, y, y′)	= 0 ,	(2.27)

	∂ y′		y′ надо
где после выполнения дифференцирования в левой части вместо
взять одну из функций fi ( x, y ) , определенную уравнением (2.24).			Иначе

говоря, чтобы получить уравнение геометрического места тех точек плоскости xOy, где условие Липшица не выполняется, надо исключить y′ из

уравнений (2.24) и (2.27). В итоге получаем уравнение
Φ (x, y) = 0 ,	(2.28)
называемое уравнением дискриминантной кривой.
Каждую функцию y = ϕ (x), получаемую из уравнения	(2.28) этой

кривой, нужно проверить на то, является ли она решением уравнения (2.24), и если является, то будет ли это решение особым (по определению).

Аналогично решается вопрос об особых решениях уравнения (2.24)

более общего, чем алгебраическое

относительно y′, вида.

При

этом

требуется,

чтобы функция F(x, y, y′)

и ее частные производные

∂ F

∂ y

∂ y′

были непрерывными в рассматриваемой области.

Пример 10. Найти особое решение уравнения

y = x + y′ − ln y′ .

(2.29)

Ранее (см. пример 2 в подразд. 2.2)

было найдено общее решение

y1 = ex−C + C. Найдем уравнение дискриминантной кривой:

F (x, y, y′) = x + y′ − ln y′ − y,

∂ F

≡ 1 −

= 0 .

(2.30)

y′

∂ y′

Исключаем y′ из уравнений (2.29),

(2.30):

y′ = 1 подставим в (2.29):

y2 = x + 1 ,

т.е. получили искомое

уравнение

дискриминантной

кривой.

Функция

y2 = x + 1 есть решение уравнения (2.29). Будет ли это решение

особым (по определению)? Запишем условие касания кривых

y = y1(x) и

y = y2 ( x)

в точке с абсциссой х0:

) = y

y′

) = y′

)

или

x0 −C

+ C = x0 +1,

−C

=1.

Из второго равенства имеем x0 = C. Подставляем в первое равенство: 1 + x0 = x0 + 1 . Это равенство справедливо при всех x 0 . Следовательно, при

каждом x 0 решение y = y2 ( x) касается в точке с абсциссой x 0	одной из
кривых y = y1(x) (именно при С = x0 ), т.е. согласно определению	y2 = x + 1
есть особое решение.

Второй метод нахождения особого решения

Определение. Линия L называется огибающей однопараметрического семейства кривых, если она в каждой своей точке касается той или иной линии семейства, причем в различных точках линии L ее касаются различные линии данного семейства.

Пример 11.

Рассмотрим семейство окружностей (x − C)2 + y2 = R2 . Очевидно, что огибающая будет иметь вид y2 = R2 (рис. 2.3).

0	x
–R
Рис. 2.3
Пусть общий интеграл уравнения (2.24) есть
Φ (x, y, C) = 0.	(2.31)

Если семейство кривых, изображаемое уравнением (2.31), имеет огибающую, то эта огибающая:

1)является решением дифференциального уравнения; действительно,

вкаждой точке огибающей элемент ( x, y, y′) совпадает с элементом одной

из интегральных кривых семейства (2.31); а поскольку интегральные кривые семейства (2.31) суть решения уравнения (2.24), то все элементы огибающей также удовлетворяют этому уравнению, т.е. огибающая есть решение;

2) дает особое решение; действительно, рассмотрим семейство, состоящее из дуг интегральных кривых до точки прикосновения с огибающей; через каждую точку некоторой окрестности огибающей проходит одна такая кривая; эти кривые соответствуют полю, определенному

одной из ветвей (2.25) уравнения (2.31); в точках огибающей единственность нарушается, так как через каждую ее точку проходят две интегральные кривые с общей касательной – сама огибающая и касающаяся ее кривая семейства.

Отсюда правило нахождения особого решения, если известен общий интеграл (2.31), такое же, как для нахождения огибающей: дифференцируем уравнение (2.31) по параметру С:

	∂ Φ (x, y, C)	= 0 .	(2.32)

	∂ C
Из уравнений (2.31) и (2.32) исключаем С; полученное соотношение
	ϕ (x, y) = 0		(2.33)

(если оно представляет решение) дает особое решение.

Пример 12.

Найти особое решение уравнения ( y′)2 + y2 =1. Ранее было получено общее решение (см. пример 2, в подразд. 2.1) y = sin(x + C) . Найдем огибающую этого семейства кривых, воспользовавшись формулами (2.31), (2.32):

y = sin( x + C),

= +

0 cos( x C).

Исключаем С, находим огибающую y2 =1. Таким образом, особые решения данного уравнения – прямые y = −1 и y =1.

Глава 3. Дифференциальные уравнения высших порядков

Самое общее указанного выше типа имеет вид

F(x, y, y′,..., y(n) )= 0 .

Мы будем рассматривать уравнение, разрешенное относительно старшей производной:

			y(n) =	f (x, y, y′,..., y(n−1) )		,			(3.1)
и начальные условия						,			(3.1)
и начальные условия
y(x ) = y		0	, y′(x	) = y′ , ...., y(n−1)	(x ) = y			(n−1)	(3.2)
0		0	0	0	0			0 .	(3.2)
Уравнение (3.1)	вместе			с условиями	(3.2)		называется		начальной

задачей, или задачей Коши.

Определение. Решением уравнения (3.1) называется n раз непрерывно-

дифференцируемая функция, удовлетворяющая этому уравнению.

3.1. Теорема существования и единственности

Теорема Коши – Пикара

Пусть

функция

f (x, y, y′,..., y(n−1) ) непрерывна

по

всем

своим

аргументам в ограниченной, замкнутой области D

x − x0

≤

y(k )

− y(k )

≤ b, k= 0,1, ... , n− 1 (a> 0, b> 0).

Пусть, далее, эта функция удовлетворяет условию Липшица по

аргументам

y, y′,..., y(n−1)

области D ,

т.е.

для

любых

двух

точек

(x,

′,...,

(n−1) ) и (x,

′,...,

(n−1) ) из области D выполняется неравенство

f (x,

(n−1) )−

f (x,

(n−1) )

n−1

′,...,

≤ K ∑

(k) −

(k)

K > 0 .

k=0

Тогда

задача

Коши

(3.1), (3.2)

имеет

единственное решение,

x [x0 − h; x0 + h],

определенное

для

где

h = min a;

M = max f (x, y, y′,..., y(n−1) ) .

Эта теорема является следствием теоремы существования и единственности решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений.

Сведем уравнение (3.1) к системе n дифференциальных уравнений первого порядка с n искомыми функциями.

Для этого, наряду с

искомой

функцией y, рассмотрим еще

n – 1

вспомогательных функций

y1, y2 ,..., yn −1 , связанных с

y и

между собой

соотношениями:

= y

dy1

= y

, …,

dyn−2

= y

(3.3)

n−1.

Из соотношений (3.3) следует,

что функция

является

k-й

производной от функции y,

yk = d k yk = y(k) (k = 1, 2, … , n – 1). dxk

Поэтому		y(n) =	dyn−1	и уравнение (3.1) примет вид
Поэтому		y(n) =		и уравнение (3.1) примет вид
			dx
				dyn−1	= f (x, y, y ,..., y	n−1	)	.	(3.4)
					= f (x, y, y ,..., y		)
				dx	1
				dx
Уравнения (3.3) и (3.4) представляют систему									n дифференциальных
уравнений первого порядка с n искомыми функциями									y, y1, y2 ,..., yn−1 .
Однако		система (3.3) и (3.4) имеет				ту особенность, что только
в последнем	уравнении правая часть есть функция								от x, y, y1, y2 ,..., yn−1

наиболее общего вида; в уравнениях (3.3) правые части имеют специальную форму. В целях наибольшей симметрии и имея в виду, что системы дифференциальных уравнений будут самостоятельным объектом нашего изучения, мы проведем доказательство существования для системы n дифференциальных уравнений первого порядка нормальной формы в наиболее общем виде; при этом для полной симметрии в обозначениях мы

вместо обозначений		y, y1, y2 ,..., yn−1					для искомых функций		введем
обозначения: y1, y2 ,..., yn .
Таким образом, мы будем рассматривать систему:
	dyk	= f	k	(x, y , y ,..., y		n	)	(k = 1, 2, …, n).	(3.5)

	dx			1	2
					системы			(3.5) называется совокупность
Определение. Решением

непрерывно-дифференцируемых функций y1(x), y2 (x),..., yn (x) ,	обращающих
систему (3.5) в систему тождеств.
Систему (3.5) мы будем рассматривать вместе с начальными
условиями:
yk ( x0 ) = yk0 (k = 1, 2, ... , n).	(3.6)

Как и в случае уравнения n-го порядка, задача (3.5), (3.6) называется начальной задачей, или задачей Коши.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши (3.5), (3.6)

Пусть функции f k

(k = 1, 2, ... , n) непрерывны по

всем

аргументам

вограниченной замкнутой области D:

x − x0

≤ a ;

yk − yk0

≤

b (k = 1,

2, …, n).

Пусть далее в области D эти функции удовлетворяют условию Липшица

относительно аргументов

, y

,..., y

n , т.е. для любых двух точек

…

(x, y′

, y′

, y′ )

и	(x, y′′, y′′	,	…	, y′′	)	″	″	″
и	1 2		…	n		y1	, y2	,..., yn

fk (x, y1′, y2′ ,..., yn′ ) −

изобластиD имеютместонеравенства:

					n
f		(x, y′′, y′′	,..., y′′ )	≤	K ∑	y′ − y′′
f		(x, y′′, y′′	,..., y′′ )	≤	K ∑	y′ − y′′
	k	1 2	n			i i	, K > 0.	(3.7)
	k	1 2	n			i i	, K > 0.	(3.7)
					i =1

Тогда задача Коши (3.5), (3.6) будет иметь единственное решение

				x [x0 − h; x0 + h], где		b
y1(x), y2	(x),..., yn (x) , определенное для				h = min a;		,
y1(x), y2	(x),..., yn (x) , определенное для				h = min a;		,
		fk ( x, y1, y2 ,..., yn )				M
M = max			.
M = max			.
D
1≤ k≤	n

Замечание. Если функции fi имеют в области D непрерывные частные производные по y1, y2, …, yn, то по теореме Лагранжа о конечном приращении, имеем:

∂ fi

(x, y′, y′

,...,y′

) −

(x, y′′, y′′,...,y′′) =

(y′

− y′′) +...+

(y′

− y′′)

1 2

∂ yn

, (3.8)

∂ y1

( )

где знак

показывает, что аргументы yk

(k = 1, 2, …, n) должны быть

заменены через

k =

y′

( y′′

k −

y′

)

0 <θ <1.

В силу непрерывности частные

k + θ

производные являются ограниченными. Мы можем взять наибольшее

значение абсолютных величин всех этих производных	∂ fi	(i, k = 1, 2, …, n)

	∂ yk

в области D за постоянную K и получить из (3.8) неравенство вида (3.7). Таким образом, условие Липшица выполняется при существовании и

непрерывности в области D частных производных ∂∂ fi (i, k = 1, 2, …, n). yk

Доказательство теоремы проводится методом последовательных приближений Пикара и является непосредственным обобщением доказательства теоремы Коши – Пикара для уравнения I порядка.

I. Существование решения задачи Коши (3.5), (3.6).

Вычисляем последовательные приближения одновременно для всех искомых функций. За приближения нулевого порядка берем постоянные yi(0) ; далее приближения первого порядка будут:

y1(1) (x) = y1(0) + ∫ f1(x, y1(0) ,..., yn(0) )dx

...

(3.9, а)

yn(1) (x) = yn(0) + ∫

fn (x, y(0) ,..., yn(0) )dx

Очевидно, что построенные функции являются непрерывными.

Покажем, что первое приближения,

при

x − x0

≤ h,

не выходят из области

D. Действительно,

yi(1) − y1(0)

∫ fi (x, y1(0) ,..., yn(0) )dx

≤ M

x − x0

≤

Mh ≤

b, (i = 1, 2, …, n)

(в силу определения числа h).

Далее определяем вторые приближения:

y1(2) (x) = y1(0) + ∫ f1(x, y1(1) ,..., yn(1) )dx

...

(3.9, б)

yn(2) (x) = yn(0) + ∫

fn (x, y(1) ,..., yn(1) )dx

Таким образом, m-е приближения определяются через приближения (m – 1)-го порядка такими формулами:

y1(m) (x) = y1(0)

...

yn(m) (x) = yn(0)

x
+ ∫	f1(x, y1(m−1) ,..., yn(m−1) )dx
x0

x	fn (x, y(m−1)	.	(3.9, m)
+ ∫	fn (x, y(m−1)	,..., yn(m−1) )dx
x0	1
x0

Допуская, что (m – 1)-е приближение оказались непрерывными функциями от x, мы видим, что m-е приближения, как неопределенные интегралы от непрерывных функций, также оказываются непрерывными. Легко доказать, что если (m – 1)-е приближение не выходит из области D при

x − x0 ≤ h, то это же имеет место для приближений порядка m. Действительно, в силу предположения о (m – 1)-х приближениях, мы имеем:

f ( x, y (m −1)		,..., y	(m −1) )	≤ M	при	x − x	0	≤ h (i = 1, 2, …, n)


i	1		n
i	1		n

и формулы (3.9, m) в таком случае дают

yi(m) − y1(0) = ∫ fi (x, y1(m −1) ,..., yn(m −1) )dx ≤ M x − x0 ≤ Mh ≤ b .

Поскольку неравенство доказано для m = 1, оно справедливо для

любого натурального m. Таким образом, все последовательные приближения

(3.9, m) принадлежат области D при изменении x в отрезке x

[x0 − h; x0 + h].

Докажем далее, что последовательные приближения образуют сходя-

щуюся последовательность, т.е. что lim

yi(m ) ( x)

существует (i = 1, 2, …, n).

m →

∞

Для этого, как и в случае одной функции, рассмотрим ряды:

(0)

(1)

(0)

(2)

(1)

(m)

(m −1)

(x) − y

+ y

(x) +...+

(x) +...

(i = 1, 2, …, n) (3.10)

Оценим абсолютные величины членов этих рядов, начиная со второго,

пользуясь для этой оценки условием Липшица. Имеем:

yi(1) (x) − yi(0)

∫ fi ( x, y1(0) ,..., yn(0) )dx

≤

x − x0

∫x [fi ( x, y1(1) ,..., yn(1) ) − fi ( x, y1(0) ,..., yn(0) )]dx

yi(2) ( x) − yi(1) ( x)

≤

fi (x, y1(1) ,..., yn(1) ) −

fi (x, y1(0) ,..., yn(0) )

≤

∫

(3.11, а)

yi(1) (x) − yi(0)

и на основании условия Липшица и полученных оценок для

yi(2) (x) − yi(1) (x)

y1(1) − y1(0)

x − x0

∫ K (

+ ... +

yn(1) − yn(0)

)dx

≤

∫ MnK

x − x0

= MnK

2 (3.11, б)

(i = 1, 2, …, n).

Допустим, что для члена yi(m−1) (x) − yi(m−2) (x)

мы уже получили оценку:

y(m−1)

(x) − y(m−2) (x)

≤

M (nK)(m−2)

x − x

(m−1)

(3.11, m–1)

(m −1)!

(i = 1, 2, …, n);

покажем, что аналогичная оценка, с заменой m – 1 на m, справедлива для следующего члена. Действительно,

yi(m) ( x) − yi(m −1) (x)

∫x [fi ( x, y1(m −1) ,..., yn(m −1) ) − fi ( x, y1(m −2) ,..., yn(m −2) )]dx

≤

fi (x, y1(m −1) ,..., yn(m −1) ) −

fi (x, y1(m −2) ,..., yn(m −2) )

≤

∫

≤

(3.11, m)

x − x0

m −1

x − x0

(m −1)

(m −2)

m −1

≤ K

∫

∑

− yl

≤

M (nK )

∫

(m −

1)!

= M (nK )

x0 l =1

Таким образом, мы доказали, что оценка (3.11, m) справедлива для всякого натурального m. Замечая далее, что x − x0 ≤ h, мы видим, что все

члены рядов (3.10), начиная со второго, соответственно не больше по абсолютной величине, чем члены знакоположительного числового ряда

∞	h	m
∑ M (nK )m−1			.

m=1	m!

Этот последний ряд, как легко проверить, сходится; следовательно, ряды (3.10) сходятся равномерно для значений x в отрезке x0 − h ≤ x ≤ x0 + h; поскольку их члены есть непрерывные функции, и суммы их будут функциями непрерывными. Обозначим их через Yi (x) (i = 1, 2, …, n).

Yi (x) = yi(0)	∞
Yi (x) = yi(0)	+ ∑( yi(l) − yi(l −1) ) = lim yi(m) (x) .
	l =1	m→ ∞

Докажем, что функции Y1(x) , Y2 (x) ,…, Yn (x) дают искомую систему решений системы дифференциальных уравнений (3.5).

По самому определению yi(m) (x) мы имеем yi(m) (x0 ) = yi(0) , следовательно,

lim yi(m ) ( x0 ) = Yi ( x0 ) = yi(0) , m → ∞

т.е. предельное функции Yi (x) удовлетворяют начальным условиям.

Докажем, что эти функции удовлетворяют системе равенства (3.9, m) мы можем написать:

(m) = (0) + x { (m −1) (m −1) −

yi ( x) yi ∫ fi ( x, y1 ( x),..., yn ( x)) fi (x,Y1 (x),...,

+ ∫ fi ( x,Y1( x),..., Yn ( x))dx

(3.5). В силу

Yn (x))}dx +

(3.12)

(i = 1, 2, …, n).

Оценим абсолютную величину первого интеграла:

∫x (fi (x, y1(m−1) ,..., yn(m−1) ) − fi (x,Y1,...,Yn ))dx

≤

fi (x, y1(m−1) ,..., yn(m−1) ) − fi (x,Y1,...,Yn )

≤

∫

≤

(3.13)

(m−1)

≤

− Y1

+ ... +

− Yn

∫

(последнее неравенство есть следствие условия Липшица). Поскольку функции yi(m−1) (x) (m = 1, 2, …, n) сходятся в интервале (x0 − h; x0 + h) равномерно к

Yi (x)

(i = 1, 2, …, n), то для любого заранее заданного ε можно найти такое N,

что при	m – 1 > N для		всякого значения x в				рассматриваемом интервале
выполняются неравенства
		y(m−1) (x) −Y (x)		<	ε	(i = 1, 2, …, n)


		i	i		nKh

и тогда	для первого		интеграла в		формуле		(3.12) получается, в силу

неравенства (3.13), оценка при x − x0 ≤ h:

	∫x ( fi (x, y1(m−1) , ..., ym(m−1) ) − fi	( x, Y1, ..., Yn ))dx	<	ε	hnK = ε .
				nKh
	x0

Следовательно, при m → ∞		предел этого интеграла равен нулю.
С другой стороны, по доказанному,		lim yi( m ) ( x) = Yi ( x) ,			и равенства (3.12)
		m → ∞

дают в пределе

Yi (x) = yi(0) + ∫ fi ( x,Y1,..., Yn )dx (i = 1, 2, …, n).

Дифференцируя обе части по x (производная левой части существует , так как существует производная правой части – производная интеграла от непрерывной функции по верхнему пределу), мы получаем тождества:

dYi = fi (x,Y1(x),...,Yn (x)) (i = 1, 2, …, n), dx

т.е. функции Yi (x) , действительно, удовлетворяют системе (3.5).

II. Единственность решения задачи Коши (3.5), (3.6).

Докажем, что полученное решение, удовлетворяющее данным начальным условиям, будет единственным. Допустим, что кроме системы

решений Y1(x) , Y2 (x) ,…, Yn (x) существует еще одна система решений

Z1(x) ,

Z 2 (x) ,…, Z n (x), причем Y (x ) = Z

(x ) = y0

(i = 1,

2, …,

n) и

не все

Zi (x)

тождественно равны Yi (x) .

Таким

образом,

силу

нашего допущения

(непрерывная) функция

( x) =

Y1 ( x) − Z1 ( x)

Y2 ( x) − Z 2 ( x)

+ ... +

Yn ( x) − Z n ( x)

(3.14)

не равна тождественно нулю в отрезке

0 − h; x0 + h]. Без

ограничений

общности мы можем допустить, что Φ

(x) ≠

0 при значениях x,

сколь угодно

близких к

x0 и, например, больших,

чем

x0 (если бы при x0 ≤ x ≤

было

Φ (x) = 0 ,

а неравенство выполнялось бы впервые для значений x,

больших,

чем x1, и сколь угодно близких к нему, то мы заменили бы в последующих рассуждениях x0 через x1).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 206 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202314.42 Mб0Общий курс путей сообщения..pdf
#
12.11.20232.04 Mб3Объектно-ориентированное программирование. ООП на языке C++.pdf
#
12.11.202316.61 Mб11Объектно-ориентированное программирование..pdf
#
19.11.202364.37 Mб0Объемно-пространственная композиция..pdf
#
19.11.202343.61 Mб0Объемные наноструктурные металлические материалы..pdf
#
12.11.20232.7 Mб1Обыкновенные дифференциальные уравнения..pdf
#
12.11.202314.47 Mб10Одноковшовые погрузчики..pdf
#
12.11.202319 Mб0Оказание первой помощи пострадавшим при несчастных случаях на производстве..pdf
#
12.11.20233.2 Mб7Оксидные композиционные материалы..pdf
#
12.11.202319.41 Mб0Они прошли дорогами войны Об участниках Великой Отечественной войны - сотрудниках Пермского политехнического института..pdf
#
13.11.202324.39 Mб9Они трудились во имя Победы О тружениках тыла в годы Великой Отечественной войны - сотрудниках Пермского государственного технического университета..pdf