книги / Теория линейных электрических цепей. Ч. 1
.pdf
I2 |
= I11 |
+ I22 |
= 1,928 + j1,461 = 2,419e j 37,154 A, |
I3 |
= I22 |
= −0,193 − j0,66 = 0,688e− j106,3 A, |
|
I4 |
= I33 |
− I11 |
= −1,279 − j1,71 = 2,135e− j126,795 A, |
I5 |
= I33 |
+ I22 |
= 0,649 − j0,249 = 0,695e− j 20,99 A, |
I6 |
= I33 |
= 0,842 + j0,411 = 0,937e j 26 A, |
|
U J |
= I6 R6 + E = 161,9 + j90,618 = 185,535e j 29,236 B. |
||
Мгновенные значения токов ветвей и напряжения на источнике тока
Поскольку угловая частота равна ω = 2π f, а амплитуда связана с действующим значением с помощью соотношения Im = 
2I , следовательно,
i1 (t) = 3
2 sin(314t + (45 π ) /180 ) A,
где ψ i1 = (45 π ) /180 |
− начальная радиан-фаза тока i1, |
|
аналогично запишем: |
|
|
i2 (t) = 2,419 |
2 sin(314t + (37,154 π ) /180 ) A, |
|
i3 (t) = 0,688 |
2 sin(314t + (−106,3 π ) /180 ) A, |
|
i4 (t) = 2,135 |
2 sin(314t + (−126,795 π ) /180 ) A, |
|
i5 (t) = 0,695 |
2 sin(314t + (−20,99 π ) /180 ) A, |
|
i6 (t) = 0,937 |
2 sin(314t + (26 π ) /180 ) A, |
|
uJ (t) = 185,535 |
2 sin(314t + (29,236π ) /180 ) В. |
|
Баланс активных и реактивных мощностей
Комплексная мощность источников:
~ |
* |
* |
= 461,02 − j79,93 , |
Sист |
= U J J + E I3 |
||
141
**
где J и I3 – сопряженные комплексы тока. Комплексная мощность потребителей:
~ |
= Pпотр + jQпотр , |
Sпотр |
где активная мощность
Pпотр = I22 R2 + I42 R4 + I52 R5 + I62 R6 = 460,814 Вт,
реактивная мощность
Qпотр = −X C4 I42 + X L5 I52 = −79,978 вар
(в формулах мощности потребителей Ii – действующие значения токов).
Относительная погрешность расчета:
ε P |
= |
Pист − Pпотр |
100 % = 0,0447 %, |
ε Q |
= |
Qист − Qпотр |
100 % = 0,06 % . |
|
|
||||||
|
|
Pист |
|
|
Qист |
||
Построение топографической диаграммы
На рис. 3.46 представлена векторная диаграмма токов ветвей рассматриваемой схемы в соответствии с масштабом по току МI: 1 деление – 0,5 А. Диаграмма токов позволяет проверить графическим путем выполнение соотношений по I закону Кирхгофа.
В соответствии с принятыми на рис. 3.45 обозначениями рассчитываются значения потенциалов точек цепи. Потенциал точки А принимается равным нулю.
ϕ A = 0,
ϕ |
B |
= ϕ |
A +U J = 161,9 + j90,618 = 185,535e j 29, 236 B, |
ϕ |
C |
= ϕ |
B − E = 31,996 + j15,618 = 35,6e j 26,018 B, |
проверка 1: ϕ A = ϕ C − R6 I6 = 0 + j0 B,
142
ϕ D |
= ϕ B − R2 I2 = 88,636 + j35,1 = 95,33e j 21,6 B, |
ϕ E |
= ϕ D + (− jX C4 )I4 = 48,613 + j65,035 = 83,196e j 53, 22 B, |
проверка 2: ϕ A = ϕ E + R4 I4 = 0,011+ j0,055 B ≈ 0, |
|
ϕ F |
= ϕ D − jX L5 I5 = 74,868 − j0,785 B, |
проверка 3: ϕ C = ϕ F − R5 I5 = 32,034 + j15,649 B.
Выбираем масштаб по напряжению МU для построения диаграммы: 1 деление – 20 В.
|
Im(I ), A |
J |
|
|
|
|
1 |
I2 |
|
|
|
|
I6 |
|
–1 |
1 |
2 |
|
I5 |
Re(I ), A |
|
|
|
|
I3 |
|
|
–1 |
|
I4
Рис. 3.46
Рис. 3.46
На рис. 3.47 изображена топографическая диаграмма напряжений, позволяющая проверить графическим путем выполнение соотношений по II закону Кирхгофа.
На рис. 3.48 изображена совмещенная диаграмма токов и напряжений, позволяющая проверить выполнение соотношений по закону Ома в символической форме для всех пассивных элементов цепи.
143
|
|
Im(ϕ |
), В |
|
|
B |
|||
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
U R |
|
|
|
|
U R2 |
||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
20 |
|
U R |
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
6 |
C |
|
U L5 |
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
–20 |
|
20 |
|
|
U R5 |
F |
|
Re(ϕ ), В |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
–20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.47 |
|
|
|
||||
|
|
Рис. 3.47 |
|
|
|
||||
|
Im(I ), A |
Im(ϕ |
), В |
|
|
B |
|||
|
|
J |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
I2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
I6 |
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
Re(I ), A |
||
–1 |
А |
|
|
C |
|
2 |
|||
|
|
|
|
||||||
–40 |
|
|
|
|
40 |
F |
|
Re(ϕ ), В |
|
|
|
|
I |
|
|
|
|||
|
|
–20 |
5 |
|
|
|
|||
|
I3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I4 |
Рис. |
|
3.48 |
|
|
|
||
|
|
|
3.48 |
|
|
|
|||
144 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод узловых потенциалов
Для рассматриваемой цепи (см. рис. 3.45), содержащей 4 узла, система, составленная в соответствии с методом узловых потенциалов, должна содержать 3 уравнения. Выберем в качестве опорного узел 4, приняв его потенциал равным нулю (рис. 3.49).
1
+ |
|
I2 |
R2 |
I3 |
J3 |
|
|||
J |
C4 |
L5 |
E |
|
+ |
R4 |
|
2 |
R5 |
|
|
I4 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I6 |
I5 |
R6 |
. 3.4 |
Рис. 3.49 |
Имеем:
Y 11ϕ 1 + Y 12ϕ 2 + Y 13ϕ 3 = J11 ,Y 21ϕ 1 + Y 22ϕ 2 + Y 23ϕ 3 = J22 ,Y 31ϕ 1 + Y 32ϕ 2 + Y 33ϕ 3 = J33.
Так как в цепи имеется ветвь с идеальным источником ЭДС, потенциал узла 1 известен и определяется как ϕ 1 = E . Таким образом,
число неизвестных потенциалов сокращается до двух, и, соответственно, число совместно рассматриваемых уравнений в системе сократится до двух:
|
+ Y 23ϕ 3 |
= J22 − Y 21ϕ 1, |
Y 22ϕ 2 |
||
|
+ Y 32ϕ 2 |
+ Y 33ϕ 3 = J33 − Y 31ϕ 1 , |
Y 31ϕ 1 |
145
собственные узловые проводимости: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Y 22 |
= |
|
1 |
+ |
|
1 |
+ |
|
|
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
R2 |
R4 − jX C4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R5 + jX L5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Y 33 |
= |
1 |
+ |
|
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
R4 − jX C4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
R6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
общие узловые проводимости: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Y 12 = Y 21 = − |
1 |
; Y 13 = Y 31 |
= 0 ; Y 23 = Y 32 |
= − |
|
1 |
; |
|||||||||||||||||
|
R4 |
− jX C4 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
узловые токи: J22 = 0; J33 |
= −J . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Решив систему уравнений, определим неизвестные ϕ |
2 и ϕ 3 . |
|||||||||||||||||||||||
Далее используя обобщенный закон Ома, рассчитаем токи ветвей: |
||||||||||||||||||||||||
I2 = |
ϕ 1 − ϕ 2 |
; |
I4 = |
ϕ 3 − ϕ 2 |
; |
|
I5 = |
|
ϕ 2 |
|
; I6 |
= − ϕ 3 . |
||||||||||||
|
|
|
R5 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
R4 − jX C4 |
|
|
|
+ jX L5 |
R6 |
|
|||||||||
Ток I3 определим по I закону Кирхгофа:
I3 = I5 − I6 .
Напряжение на источнике тока определим по II закону Кирх-
гофа:
U J = I6 R6 + E
или через определенные потенциалы узлов U J = ϕ 1 − ϕ 3 .
Метод наложения
С применением принципа суперпозиции рассчитывается ток I2 . Поскольку в цепи два источника, для определения искомого тока строятся две подсхемы, каждая из которых содержит только один из
146
источников, при этом второй исключается в соответствии с правилами, изложенными в п. 3.4.7.
Расчет составляющей I ′2 по схеме (рис. 3.50):
|
I4′ = J |
|
|
|
|
|
|
|
R6 |
|
|
, |
|
|
|
R |
+ R |
− jX |
|
|
+ |
R2 (R5 + jX L5 ) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
C4 |
|
|
|
||||||||
|
|
6 |
4 |
|
|
|
R2 |
+ R5 + jX L5 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
I2′ |
= I4′ |
|
R5 + jX L5 |
|
|
|
= 0,315 + j0,731 |
|
А. |
||||
R |
+ R |
+ jX |
L5 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Рис. 2.6 |
′ |
|
|
|
|
|
I ′ |
I |
′ |
I |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
I ′′ |
|
|
|||
|
|
5 |
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R5 |
|
|
|
4 |
|
|
|
J3 |
R2 |
|
|
|
|
|
R4 |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|||
+ |
|
L5 |
|
|
|
|
|
||
|
|
R6 |
|
|
|
||||
J |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
C4 |
|||
|
|
|
C4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I ′ |
R4 |
|
|
|
I ′′ |
I 4′ |
R6 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
I ′′
2
I5′′
R5 R2
L5
E
|
Рис. 3.50 |
|
|
|
|
|
Рис. 3.51 |
||
|
Рис. 3.50 |
|
|
|
|
|
Рис. 3.51 |
||
Расчетсоставляющей |
I 2′′ |
(рис. 3.51): |
|||||||
I 2′′ = |
|
|
|
E |
|
|
|
|
= 1,613 + j0,73 A . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(R |
+ jX )(R |
|
|
|
||||
|
R2 + |
− jX + R ) |
|||||||
|
5 |
|
L5 |
4 |
C4 |
6 |
|
|
|
|
|
R5 + jX L5 + R4 − jX C4 |
+ R6 |
||||||
Искомый ток |
I2 определяется как |
||||||||
|
|
I2 |
= I2′ + I2′′ |
= 1,928 + j1,461 A . |
|||||
147
Метод эквивалентного генератора
На основе теоремы об активном двухполюснике определяется
ток I2 .
Напряжение холостого хода на зажимах активного двухполюсника определяется по II закону Кирхгофа (рис. 3.52):
UХХ − I5x (R5 + jX L5 ) = E , следовательно:
UХХ = I5x (R5 + jX L5 ) + E .
Ток I5x определяется по формуле
|
I5x |
= J |
|
R6 |
= 0,662 |
+ j0,419 A . |
|
|
+ R4 + R5 |
+ j( X L5 − X C4 ) |
|
||||
|
|
R6 |
|
|
|
||
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
+ |
U ХХ |
|
I3х |
|
Z вх |
|
|
|
|
|
|
|
||
J |
J3 |
C4 |
L5 |
E |
J3 |
C4 |
L5 |
|
+ R4 |
|
+ R4 |
||||
|
I4х |
D |
R5 |
|
R5 |
||
|
A |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
I6х |
I5х |
|
|
|
R6 |
R6 |
Рис. 3.52 |
|
3.53 |
Рис. 3.52 |
|
Рис. 3.53 |
Напряжение холостого хода
U xx = 150,407 + j139,24 B .
Определение входного сопротивления пассивного двухполюс-
ника (рис. 3.53):
Z вх = |
(R5 + jX L5 |
)(R4 + R6 − jX C4 ) |
= 46,305 + j8,317 Ом. |
R5 + jX L5 |
|
||
|
+ R4 + R6 − jX C4 |
||
148
C учетом Z 2 = R2 искомый ток определяется как
I2 |
= |
U |
ХХ |
= 1,928 |
+ j1,461 A . |
|
Zвх |
+ Z 2 |
|||||
|
|
|
|
149
4. РЕЗОНАНСНЫЕ РЕЖИМЫ РАБОТЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
Резонанс – явление сильного возрастания амплитуды колебания под влиянием внешнего воздействия, при котором частота внешних колебаний совпадает с частотой системы.
Впассивных электрических цепях явление резонанса может иметь место только в том случае, если они содержат оба вида накопителей энергии (катушки индуктивности и конденсаторы).
Врежиме резонанса на входе цепи напряжение и ток совпадают по фазе, т.е. условием резонанса является равенство угла сдвига фаз
нулю ( ϕ вх = 0 ). Учитывая, что ϕ вх |
= arctg |
X экв |
в последовательной це- |
|
|||
|
|
Rэкв |
|
пи, ϕ = arctg Bэкв в параллельной цепи, условиям возникновения резо-
Gэкв
нансов соответствуют соотношения: реактивное сопротивление Xэкв = 0 либо реактивная проводимость Bэкв = 0.
В электрических цепях возможны два вида резонансов: резонанс напряжений и резонанс токов. При резонансе напряжений при определенных параметрах цепи наблюдается значительное превышение напряжения на индуктивности и на конденсаторе над входным напряжением цепи. При резонансе токов в индуктивности и конденсаторе токи в некоторых случаях могут быть значительно больше входного тока цепи. Поэтому такие резонансы называют соответственно резонансом напряжения и резонансом тока.
4.1. Резонанс напряжений
Резонанс напряжений наблюдается в последовательных цепях. Рассмотрим режим резонанса напряжений для последовательной RLC- цепи.
Для схемы на рис. 4.1 справедливо
Uвх = U R +U L +UC = RI + j(X L − X C )I . |
(4.1) |
150