книги / Теория линейных электрических цепей. Ч. 1
.pdf4.2.1. Частотные и резонансные характеристики параллельного RLC-контура
Зависимости реактивных и полной проводимостей цепи, а также угла сдвига фаз между током и напряжением от частоты приведены на рис. 4.13.
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
BL(ω ) |
|
|
Y(ω ) |
|
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π /2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
G(ω |
) |
|
ω 0 |
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω 0 |
|
|
|
ω |
-π /2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B(ω |
) |
|
|
|
|
|
|
|
-BC(ω ) |
|
|
|
Рис. 4.13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 4.13 |
|
|
|
|
|
|
Активная проводимость не зависит от частоты, индуктивная |
||||||||
проводимость обратно пропорциональна частоте ВL (ω ) = |
1 , |
емкост- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω L |
|
ная проводимость прямо пропорциональна частоте BC (ω |
) = ω C , реак- |
|||||||||
тивная проводимость B(ω |
) = ВL (ω |
) − BC (ω ) |
имеет три характерные час- |
|||||||
тоты – |
два полюса |
ω |
= 0 |
и ω = ∞ , при которых B = ∞ , |
и один нуль |
|||||
ω = ω |
0 , |
когда B = 0 . |
Значения |
реактивных |
проводимостей |
BL (ω ), |
||||
BC (ω |
), B(ω ) при значениях частоты ω = 0, ω |
0 , ∞ |
приведены в табл. 4.3. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 4 . 3 |
||
ω |
|
BL = |
1 |
|
|
B = ω C |
|
B = B − B |
||
|
|
ω L |
|
C |
|
|
L |
C |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
|
∞ |
|
|
|
0 |
|
|
∞ |
|
ω 0 |
|
BL =BC |
|
BС =B L |
|
|
0 |
|
||
∞ |
|
0 |
|
|
|
∞ |
|
|
∞ |
|
161
Как и в рассмотренном выше случае резонанса напряжений, при достижении резонансной частоты в резонансе токов происходит изме-
нение характера реактивной проводимости (рис. 4.13 и 4.14.). |
|
|
||||||||
Если при ω |
< ω |
0 цепь имеет |
индуктивный характер |
( B > 0 , |
||||||
ϕ > 0 ), то при ω |
> ω |
0 цепь имеет емкостный характер ( B < 0 , ϕ |
< 0 ). |
|
||||||
В частном случае, когда G = 0 , при резонансной частоте проис- |
||||||||||
ходит скачкообразное |
(релейное) |
изменение |
угла |
сдвига |
фаз |
|||||
ϕ (ω ) = arctg В(ω |
) от + π |
2 до − π |
2 или так называемое «опрокидыва- |
|||||||
G(ω |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ние фазы» (см. рис. 4.14). |
|
|
|
|
|
|
|
|||
B |
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π /2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
BC(ω ) |
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|B(ω |
)| |
|
|
ω 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ω |
|
|
BL(ω ) |
ω |
-π /2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
Рис. 4.14 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Учитывая, что |
IL = UвхBL ; IC = UвхBC ; |
IG = UвхG; |
I = UвхY , |
вид |
||||||
резонансных кривых IL (ω ), I C(ω |
), IG (ω ), I (ω |
) аналогичен соответст- |
||||||||
вующим частотным зависимостям. При частоте |
ω = ω 0 |
резонансный |
LC-контур выполняет роль фильтра-пробки, проводимость которого, а следовательно, и ток на входе фильтр-пробки, равны нулю, а сопротивление – бесконечности.
В случае, если в качестве источника используется источник тока, резонансные кривые имеют вид, подобный резонансным кривым при последовательном соединении RLC-элементов, построить такие кривые студентам предлагается самостоятельно.
162
|
|
|
|
|
|
4.2.2. Резонанс токов в контуре с потерями |
||||||||||||
|
Рассмотрим резонанс токов в схеме с параллельными ветвями |
|||||||||||||||||
R1 − L и R2 − |
C (рис. 4.15, |
а). `Входная проводимость такого контура |
||||||||||||||||
равна: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y = 1 + 1 = |
1 |
+ |
|
1 |
|
= R1 − jX L + R2 + jX C . |
||||||||||
|
|
|
Z 1 |
|
Z 2 R1 |
+ jX L |
R2 − jX C |
R12 + X L2 |
R22 + X C2 |
|||||||||
|
Заменим |
данную |
схему |
эквивалентной, |
приведенной на |
|||||||||||||
|
I |
|
|
|
|
|
|
рис. 4.15, б. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этой схеме приняты следующие обо- |
||||||||
U |
|
R1 |
I |
R2 |
значения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
X L |
|
|||||
|
I |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
G1 = |
|
; |
BL = |
; |
||||
|
|
L |
|
|
|
C |
|
|
2 |
2 |
2 |
2 |
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
+ X L |
|
R1 |
+ X L |
(4.14) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
X C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
I |
|
а |
|
|
|
|
|
|
G2 = R22 + X C2 |
; |
BC = |
R22 + X C2 . |
|||||
|
|
|
I |
|
|
|
I2 |
|
|
Для данной схемы справедливо |
||||||||
U |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
I = I1 + I2 = U (G1 − jBL )+ |
|
|||||||||
I |
G1 |
|
BL |
G2 |
BC |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
C |
|
1 |
|
2 |
(4.15) |
|||||
|
I |
|
I |
|
I |
|
|
|
+U (G |
+ jB |
) = U (G |
+ G )− |
||||||
|
G |
L |
G |
C |
|
|
− jU (BL − BC ) = IG1 + IG2 |
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
+ IL + IC. |
||||||||
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Рис. 4.15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Рис. 4.15 |
|
|
|
В режиме резонанса |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ вх |
= arctg BL − BC |
= 0 . |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G1 + G2 |
|
|
|
|
||
|
|
Это возможно, если будет выполнено условие |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
B = B − B |
= X L |
− X C |
= 0 , |
|
|
(4.16) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
C |
Z 2 |
Z 2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
соответственно |
IL + IC = 0; |
IL = IC |
и происходит компенсация реактив- |
|||||||||||||||
ных составляющих тока. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
163
При резонансе полная мощность, которая потребляется контуром, минимальна и носит активный характер,
S = UI = P = U 2 (G1 + G2 ) = U 2G . |
(4.17) |
В режиме резонанса ток на входе параллельного контура принимает минимальное значение для данной цепи при неизменном на-
пряжении U и равен I0 = U (G1 + G2 ) = UG . |
При проводимости G → 0 |
ток I → 0. Сопротивление такой цепи Z → ∞ |
. Для резонансной частоты |
ω 0 такой контур принято называть фильтром-пробкой (или токовой пробкой).
Величина резонансной частоты для приведенной схемы опреде-
ляется из условия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
ω 0 L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
ω |
0C |
|
. |
(4.18) |
|||
|
R12 + (ω 0 L)2 |
|
|
|
1 |
2 |
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
ω 0C |
|
Приведя к общему знаменателю и умножив обе части на ω 0, после преобразований получим
|
|
|
1 |
L |
− R12 |
1 |
ρ 2 − R2 |
|
ω |
|
= |
C |
(4.19) |
||||
|
|
= |
|
1 . |
||||
|
0 |
|
LC |
L |
− R22 |
LC ρ 2 − R22 |
|
|
|
|
|
C |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Анализ выражения (4.19) показывает, что при разных резистивных сопротивлениях R1 ≠ R2 резонанс в такой схеме возможен только, если оба сопротивления одновременно больше или меньше ρ . В про-
тивном случае выражение под корнем отрицательно, резонансная частота мнимая и не имеет физического смысла.
При R1 = R2 ≠ ρ резонанс наступает при той же частоте, что и в простейшем колебательном параллельном контуре без потерь.
164
Представляет особый интерес случай, когда R1 = R2 = ρ . В этом
случае при любом значении частоты реактивная проводимость контура равна нулю, т.е. цепь находится в резонансе на любой частоте. Это так называемый всеволновой (безразличный) резонанс. Цепь при этом обла-
дает замечательным свойством постоянства активной проводимости, и в ней отсутствует реактивная проводимость при всех частотах, в то время как каждая ветвь этой цепи имеет величины G1 (ω ) , G2 (ω ) и
BL (ω ) , BC (ω ) , зависящие от частоты.
Энергетические процессы при всеволновом резонансе протекают значительно сложнее, чем это происходит в простых RLC-цепях. В этом случае энергия в катушке и энергия в конденсаторе одновременно достигают максимума и одновременно убывают до нуля. Таким образом, в рассматриваемой цепи при таком резонансе совсем не совершается обмена энергией между катушкой и конденсатором, в течение части периода происходит поступление энергии из источника одновременно в электрическое поле конденсатора и в магнитное поле катушки, а также на выделение теплоты в сопротивлениях R1 и R2. В другую часть периода энергия, возвращаясь одновременно из конденсатора и из катушки, преобразуется в теплоту в сопротивлениях R1 и R2. В то же время энергия продолжает поступать из источника, причем она также поглощается в виде теплоты в сопротивлениях R1 и R2.
Векторная диаграмма строится на основе соотношения (4.14). При построении совместим с вещественной осью напряжение U , тогда векторная диаграмма будет иметь вид, представленный на рис. 4.16, если учесть, что IL = IC .
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|||
I |
= jUB |
IG2 |
= UG2 |
||
I |
|
|
|||
|
C |
C |
I |
U |
|
|
|
|
2 |
||
|
|
|
I1 |
|
+1 |
|
|
|
|||
I L |
= − jUBL |
|
|
|
|
|
|
|
|
I G1 |
= UG1 |
|
|
|
Рис. 4.16 |
||
|
|
|
Рис. 4.16 |
|
165
|
|
|
|
|
|
|
4.3. Резонансы в сложных цепях |
|
|
|||||||||||
|
L1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В сложных схемах, содержащих по- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
следовательные |
и |
параллельные |
соедине- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ния ветвей с индуктивностью и емкостью, |
||||||||||
|
|
|
L2 |
|
|
|
|
C |
может наблюдаться как резонанс напряже- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ния, так и резонанс токов. Покажем это на |
||||||||||
|
|
|
. 4.17 |
|
|
|
|
|
|
примере схемы, приведенной на рис. 4.17. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Входное сопротивление такой цепи |
|||||||||||
|
|
Рис. . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jω |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L2 |
ω |
|
|
|
ω L2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
||||
|
|
|
|
Z вх |
= jω L1 + |
|
|
|
|
|
|
L1 − ω |
2 L C −1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = j ω |
. |
(4.20) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω L2 |
− |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
ω |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
этой |
цепи |
резонанс напряжений |
возможен при |
условии |
|||||||||||||
ω |
0 L1 − |
ω |
0 L2 |
= 0 |
, при этом резонансная частота |
|
|
|
||||||||||||
ω 02 L2C −1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω 0 |
= |
|
L1 + L2 . |
|
|
|
(4.21) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L1L2C |
|
|
|
|
|
|
|
Входная проводимость этой цепи |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
Y |
вх |
= |
1 |
= − j |
|
|
ω 2 L2C −1 |
= − jB . |
|
(4.22) |
||||||
|
|
|
|
|
|
Z |
вх |
|
|
ω 3 L L C − ω L − ω |
L |
экв |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
1 |
|
2 |
|
|
|
При резонансе токов эквивалентная реактивная проводимость параллельного участка Вэкв = 0. При этом резонансная частота
ω ′0 = |
1 |
(4.23) |
. |
||
|
L1C |
|
Численные значения частот в режиме резонанса токов и напряжений различны для одной и той же схемы.
166
В цепях с несколькими RLC-контурами, соединенными произвольно, возможно получение нескольких резонансных режимов (токов и напряжений). Анализ таких цепей осуществляется путем расчета входного комплексного сопротивления цепи Z вх , которое представляет
собой дробь. Известно, что условие резонанса напряжений X экв = 0 , т.е. Im(Z вх ) = 0 . Следовательно, равенство нулю числителя Im(Z вх ) дает резонансную частоту для резонанса напряжений. Условие резонанса токов формулируется: Bэкв = 0 или Im(Y вх ) = 0 , т.е. Im(Z вх ) = ∞ . Следовательно, равенство нулю знаменателя Im(Z вх ) дает резонансную частоту для резонанса токов. Таким образом, задача сводится к определению нулей и полюсов Im(Z вх (ω )).
4.4.Задачи и вопросы
Типовые задачи
Задача 1.
Дано: для схемы (рис. 4.18) известны следующие параметры
X L1 = X L4 = X C2 = X C3 = 50 Ом; R1 = R2 = 50 Ом; U = 100 В.
Найти: ток в ветви с индуктивностью (IL). Построить топографическую диаграмму напряжений.
Решение
1. В идеальном параллельном контуре (3-я и 4-я ветви), наблюдается резонанс токов (п. 4.2). При этом его входное сопротивление равно бесконечности и входной контур, обхватывающий 1-ю и 2-ю ветви, обтекается одним и тем же током I. В этом контуре, в свою очередь, наблюдается резонанс напряжений (п. 4.1). Таким образом, входное сопротивление цепи – чисто активное:
Z вх = R1 + jX L1 + R2 − jX C2 = R1 + R2 = 100 Ом.
2. Ток на входе цепи
I = U = 100 =1 А.
Z вх 100
167
3. Напряжение в параллельном соединении:
|
|
|
|
U |
= (R |
− jX |
)I = (50 − j50) 1 = 50 − j50 В. |
||||
|
|
|
|
ce |
2 |
|
С2 |
|
|
|
|
|
a |
R1 |
X L1 |
c |
|
|
|
+j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IC |
|
||
|
|
b |
|
|
I |
IC |
I L |
6 |
|
|
|
|
|
|
R2 |
e(f) |
9 |
||||||
U |
|
I |
|
|
|
|
|
I |
|||
|
|
|
|
d |
X C3 |
X L4 |
1 |
|
b |
||
|
|
|
X |
|
5 |
U ce |
|||||
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
2 4 |
7 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
I L d |
|
|
|
|
f |
|
|
e |
|
|
|
3 |
c |
||
|
|
|
Рис. 4.18 |
|
|
|
Рис. 4.19 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.19 |
||
|
|
4. Ток в ветви с индуктивностью: |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
IL |
= Uсе = 50 − j50 = −1− j1 А. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
jX L4 |
j50 |
|
|
|
Действующее значение тока:
IL = (−1)2 + (−1)2 = 1,41 А.
U = 100 В 8 a +1
5. Топографическая диаграмма напряжений, совмещенная с векторной диаграммой токов, представлена на рис. 4.19. Токи IL и IC , бу-
дучи равными по величине и противоположными по фазе, компенсируют друг друга. Цифры указывают очередность построения векторов.
Задача 2.
Дано: для схемы (рис 4.20) U = 100 В; R1 = 10 Ом; X C2 = 5 Ом;
X L3 = 50 Ом .
Найти:
1) при каком значении сопротивления R2 в цепи наступит резо-
нанс;
2) входной ток I этого режима.
168
|
|
R1 |
|
|
|
|
a |
R1 |
L |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
I3 |
|||
|
I |
R2 |
|
|
|
|
|
|
I1 |
|
I2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
U |
|
|
|
|
X L |
|
|
|
R2 |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|||
|
|
X C2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.21 |
|
||
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Значение сопротивления R2 найдем из условия резонанса в |
|||||||||||
параллельном соединении: |
R2 + jX C2 = R2 + jX С2 = |
|
|
|||||||||
|
|
Y 2 |
= |
1 |
|
|
||||||
|
|
|
R |
− jX |
С2 |
R + jX |
C2 |
R2 |
+ X 2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
С2 |
|
|
= |
|
R2 |
+ j |
|
X С2 |
= G2 + jB2 ; |
R2 |
+ X 2 |
R2 |
+ X 2 |
|||
2 |
С2 |
2 |
С2 |
|
|
|
Y 3 |
= |
|
|
1 |
|
|
= − j |
1 |
|
; |
|
|
|
||
|
|
jX L3 |
|
X L3 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
B23 = B2 + B3 = |
|
X С2 |
− |
|
1 |
|
= |
|
5 |
|
− |
1 |
= 0 ; R2 |
= 15 Ом; |
|||
R2 |
+ X 2 |
|
X |
L3 |
R2 |
+ 25 |
|
50 |
|||||||||
2 |
С2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2. Эквивалентная активная проводимость параллельного соединения второй и третьей ветвей:
G |
|
= G |
+ G = |
R2 |
+ 0 = |
15 |
= 0,06 Ом-1; |
|
R22 + X C2 |
|
|||||
|
23 |
2 |
3 |
152 + 52 |
|
3. Эквивалентное сопротивление параллельного соединения второй и третьей ветвей:
R23 |
= |
1 |
= |
1 |
= 16,67 Ом; |
|
0,06 |
||||
|
|
G23 |
|
4. Входное сопротивление цепи:
169
Z вх = R1 + R23 = 10 +16,67 = 26,67 Ом;
5. Входной ток цепи:
|
= |
U |
= |
100 |
= 3,75 |
А. |
|
I |
|
|
|||||
Z вх |
26,67 |
||||||
|
|
|
|
|
Задача 3.
Дано: для схемы (рис. 4.21) заданы параметры
R1 = 20 Ом; R2 = 500 Ом; L = 0,2 Гн; С = 4 мкФ.
Найти:
1)резонансную частоту и входное сопротивление цепи;
2)качественно построить топографическую диаграмму напряжений, совмещенную с векторной диаграммой токов.
Решение
1. Условием резонанса напряжений в разветвленной цепи является равенство нулю мнимой части ее входного сопротивления:
Im(Z вх ) = 0 .
2. Входное сопротивление:
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
R2 |
|
− j |
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
jR2 |
|
|
|
||||
ω C |
|
ω |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Z вх = R1 + jω L + |
|
|
|
|
= R1 + jω L + |
|
|
|
C |
− |
|
2 ω C |
|
. |
||||||||
R2 |
− j |
1 |
|
2 |
|
|
|
1 2 |
2 |
1 |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
ω C |
|
|
R2 |
+ |
|
ω |
|
|
|
|
R2 |
+ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
ω C |
|
Выделяем мнимую часть и приравниваем ее к нулю:
|
|
R2 |
1 |
|
|
|
||
|
|
ω C |
|
|||||
ω L − |
|
2 |
|
= 0 . |
||||
2 |
|
|
|
1 2 |
||||
|
R2 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
ω C |
|
Решение этого уравнения относительно частоты дает
170