книги / Теория линейных электрических цепей. Ч. 1

5.4.Расчет параллельных цепей

синдуктивно связанными элементами

На рис. 5.9 представлена схема с двумя параллельными ветвями R1 , L1 и R2 , L2 с взаимоиндуктивностью M. Запишем уравнения

Y 1экв, Y 2экв – проводимости первой и второй ветвей с учетом взаимоиндукции;

Y экв – проводимость всей схемы с учетом магнитных связей. При встречном включении

I = I1 + I2 , E = Z1I1 − Z M I2 , E = Z 2 I2 − Z M I1 .

181

где верхний знак соответствует согласному включению индуктивно связанных элементов. Из (5.15) следует, что при согласном включении эквивалентное сопротивление больше, чем при встречном включении. При параллельном соединении так же, как и при последовательном соединении индуктивно связанных катушек может на одной из них наблюдаться емкостный эффект. Однако на входе цепи двух

параллельно включенных катушек с взаимоиндукцией ток I отстает от напряжения, т.е. всегда цепь носит индуктивный характер.

5.5.Расчет разветвленных цепей

синдуктивно связанными элементами

Расчет разветвленных цепей ведут с помощью метода уравнений Кирхгофа, метода контурных токов. Можно использовать и метод эквивалентного генератора, если исследуемая ветвь не охвачена магнитной связью. Метод узловых потенциалов не применим, так как токи в ветвях зависят не только от напряжений между узлами, к которым присоединены ветви, но и от токов других ветвей, с которыми они магнитно связаны.

Вкачестве примера запишем уравнения по законам Кирхгофа

ипо методу контурных токов для схемы на рис. 5.10.

182

b

Рис. 5.10

В схеме два узла и два независимых контура. С учетом этого составим одно уравнение по I закону Кирхгофа и два по II закону Кирхгофа, что даст возможность определить токи в трех ветвях этой схемы.

183

При составлении уравнений при согласном включении катушек напряжение самоиндукции U Lk = X Lk Ik и напряжение взаимоин-

дукции U km = X km Im записываются с одним и тем же знаком.

При записи уравнений по методу уравнений Кирхгофа и методу контурных токов можно также воспользоваться следующим правилом: если направление обхода контура по катушке k и направление тока Im по индуктивно связанной катушке m относительно од-

5.6. Эквивалентная замена индуктивных связей

Внекоторых случаях анализ и расчет электрических цепей с взаимоиндукцией можно упростить, если заменить в них часть схемы

синдуктивными связями на эквивалентную, не содержащую их. Покажем этот прием, который называется развязкой индуктивных связей, на примере схемы рис. 5.11.

Всхеме на рис. 5.11 имеет место магнитная связь между элементами 1 и 2. Представим электрическую цепь на рис. 5.11, а в виде схемы рис. 5.11, б. Для этой схемы справедливо

Верхний знак соответствует случаю, когда одноименные зажимы подключены к одному узлу. Исключим в (5.18) из первого уравнения I2 , а из второго – I1 :

184

Уравнениям (5.20) соответствует электрическая цепь на рис. 5.11, в, в которой магнитные связи заменены на сопротивленияZ M в ветвях 1 и 2 и ± Z M в дополнительной третьей ветви, под-

ключенной в эквивалентной схеме к месту соединения двух ранее индуктивно связанных элементов.

Таким образом, при «развязывании» двух индуктивно связанных ветвей, подключаемых к одному и тому же узлу, в эти ветви последовательно включены сопротивления Z M = jX M = jω M , а

вветвь между общим узлом и остальной схемой – сопротивление

±Z M . Отсутствие магнитных связей дает возможность вести расчеты

вэквивалентной схеме всеми методами, основанными на законе Ома и законах Кирхгофа без каких-либо ограничений.

185

5.7.Трансформаторы

5.7.1.Уравнения трансформатора без ферромагнитного сердечника

Трансформатор – устройство для передачи энергии из одной цепи в другую посредством электрической индукции. Он предназначен для преобразования величин токов и напряжений, для гальванического разделения электрических цепей, для преобразования сопротивлений по величине и для других целей.

Трансформатор может состоять из двух и более обмоток. Мы будем рассматривать трансформатор из двух разделенных обмоток без ферромагнитного сердечника (воздушный трансформатор), схема которого представлена на рис. 5.12.

Обмотка с зажимами 1-1’, присоединенная к источнику питания, – первичная; обмотка, к которой подключается сопротивление нагрузки Z н = Rн + jX н , – вторичная. Сопротивление первичной об-

мотки определяется Z 1 = R1 + jX L1 , сопротивление вторичной –

Z 2 = R2 + jX L2 .

186

Этим уравнениям соответствует векторная диаграмма, приведенная на рис. 5.13. Ее построение велось относительно тока I2 , на-

правление которого было задано произвольно по действительной оси.

5.7.2. Входное сопротивление трансформатора

Обозначим R2 + Rн = R22 , X L2 + X Lн = X 22 , тогда уравнения (5.21) можно переписать

U1 = (R1 + jX L1 )I1 − jω MI2 , (5.22) 0 = (R22 + jX 22 )I2 − jω MI1.

I1

R1I1

Рис. 5.13

Рис. 5.13

лучим, что

187

стороны первичных зажимов состоит из двух слагаемых: Z1 – комплексное сопротивление первичной обмотки без учета явления взаимоиндукции и Z вн , которое «вносится» вторичной обмоткой за счет

явления взаимоиндукции и поэтому называется вносимым сопротивлением.

5.7.3. Входное сопротивление идеального трансформатора

Идеальным трансформатором (теоретическое понятие) на-

зывают такой трансформатор, в котором выполняются условия

стью такие условия можно выполнить в трансформаторе с сердечником с высокой магнитной проницаемостью, на который намотаны провода с малым активным сопротивлением.

Входное сопротивление этого трансформатора

Следовательно, идеальный трансформатор, включенный между нагрузкой и источником энергии, изменяет сопротивление нагрузки Z н пропорционально квадрату коэффициента трансформации

n.

Свойство трансформатора преобразовывать величины сопротивлений широко используется в различных областях электро-

188

техники, связи, радиотехники, автоматики и прежде всего с целью согласования сопротивлений источника и нагрузки.

5.7.4. Схема замещения трансформатора

Схема двухобмоточного трансформатора без ферромагнитного сердечника может быть изображена так, как это представлено на рис. 5.14. Токораспределение в ней такое же, что и в схеме на рис. 5.12 без общей точки между обмотками.

Произведем в схеме на рис. 5.14 развязку индуктивных связей. При этом получим схему замещения трансформатора (рис. 5.15), в которой отсутствуют магнитные связи.

5.7.5. Энергетические процессы в индуктивно связанных катушках

Дифференциальные уравнения воздушного трансформатора

(рис. 5.15):

189

Сложив эти уравнения, получим суммарную мгновенную мощность, которая потребляется от источника и расходуется в первичной и вторичной обмотках трансформатора и в нагрузке,

pт – мгновенная мощность, расходуемая на тепло в обмотках транс-

5.8. Задачи и вопросы

Типовые задачи

Задача 1.

Дано: параметры обмоток трансформатора (рис. 5.16): первичной – R1 = 5 Ом, X L1 = 6 Ом; вторичной – R2 = 1 Ом, X L2 = 6 Ом.

190