книги / Теория линейных электрических цепей. Ч. 1
.pdfрешения можно только n – 1 уравнений, т.к. уравнение, записанное для n-го узла, окажется следствием всех предыдущих уравнений. По II закону Кирхгофа составляют число уравнений, равное числу ветвей m за вычетом числа уравнений, составленных по I закону Кирхгофа (n – 1), т.е. p = m – (n – 1) = m – n + 1, где p – количество независимых контуров.
Все эти рассуждения справедливы и для случая, когда в цепи содержатся источники тока. В этом случае уменьшается количество неизвестных токов, но появляется соответствующее число напряжений UJ, которые войдут в уравнения в качестве неизвестных величин.
Таким образом, алгоритм расчета методом уравнений Кирх-
гофа разветвленной цепи, не содержащей источники тока, следующий:
1.Обозначить токи ветвей и произвольно выбрать их положительное направление.
2.Произвольно выбрать опорный узел и совокупность p = m
–n + 1 независимых контуров.
3.Для всех узлов, кроме опорного, составить уравнения по I закону Кирхгофа. Таких уравнений должно быть n – 1.
4.Для каждого выбранного контура составить уравнения по II закону Кирхгофа. Таких уравнений должно быть p.
5.Систему m уравнений Кирхгофа с m неизвестными токами решить совместно и определить численные значения токов.
6.Если необходимо, рассчитать с помощью обобщенного закона Ома напряжения ветвей или разность потенциалов узлов.
7.Проверить баланс мощности.
Примечание. Если в цепи есть q источников тока, то при правильном выборе совокупности независимых контуров количество совместно решаемых уравнений в системе можно сократить на q. Если контуры выбирать таким образом, чтобы каждый источник тока вошел только в один контур, соответствующее UJ войдет только в одно уравнение по II закону Кирхгофа. Поскольку неизвестными являются только токи в m – q ветвях, количество уравнений по II закону Кирхгофа можно уменьшить до m – n + + 1 – q . В результате, вме-
41
сте с n – |
1 уравнением I закона Кирхгофа, получится система из m – q |
|||||
уравнений относительно неизвестных токов, после совместного ре- |
||||||
шения которых оставшиеся q уравнений используются для определе- |
||||||
ния U J . |
|
|
|
|
||
|
Пример. Рассмотрим цепь, изображенную на рис. 2.2. |
|||||
I1 |
|
|
|
1. Обозначим токи ветвей. |
||
|
b |
|
2. Выберем совокупность неза- |
|||
|
|
+ |
||||
|
I |
I2 |
висимых контуров (I, II, III) и опорный |
|||
E1 |
J3 |
узел с. |
|
|||
|
II |
|
||||
R1 |
|
R2 |
R3 |
3. Запишем уравнения по I зако- |
||
R4 |
d R5 |
ну Кирхгофа: |
|
|||
a |
c |
узел а: − I1 + I4 − I6 = 0, |
||||
I4 |
III I5 |
|||||
|
|
узел b: I1 − I2 + J3 |
= 0, |
|||
|
|
|
|
|||
I6 |
|
R6 |
|
узел d: I2 − I4 − I5 |
= 0. |
|
|
|
E6 |
|
|
|
|
|
Рис. 2.2 |
|
4. Запишем уравнения по II за- |
|||
кону Кирхгофа: |
|
|
|
I контур: I1R1 + I2 R2 + I4 R4 = E1 ,
IIконтур: I2 R2 + I5 R5 + J3 R3 = U J , III контур: − I4 R4 + I5 R5 − I6 R6 = E6 .
5.Совместно решим систему из m – q = 5 уравнений относи-
тельно неизвестных токов I1, I2, I4, I5, I6, в которую не войдет уравнение, составленное для II контура.
6.Определим UJ из уравнения для II контура.
7.Проверим баланс мощности
Pист = Pпотр E1I1 − E6 I6 +U J J3 =
= I12 R1 + I22 R2 + J32 R3 + I42 R4 + I52 R5 + I62 R6 .
42
2.3.2. Метод контурных токов
Метод контурных токов является одним из основных методов расчета сложных электрических цепей, которым широко пользуются на практике.
При расчете методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре течет собственный контурный ток. Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего определяют токи ветвей по I закону Кирхгофа через контурные токи.
Таким образом, при расчете методом контурных токов искомыми величинами являются контурные токи. В этом случае число неизвестных равно числу уравнений, которые необходимо было бы составить для схемы по II закону Кирхгофа, т.е. p = m − n +1 . Следо-
вательно, метод контурных токов в сравнении с методом уравнений |
||||||
Кирхгофа отличается большей простотой расчета. |
|
|
|
|
||
Получим алгоритм расчета цепей |
|
I1 |
|
b |
I3 |
|
методом контурных токов на примере |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
I2 |
|
|
схемы с тремя независимыми контурами |
E1 |
|
I11 |
|
E3 |
|
(рис. 2.3). Предположим, что в каждом |
|
|
R2 |
|||
контуре протекает свой контурный ток в |
|
|
|
I22 |
||
R1 |
R4 |
|
|
R3 |
||
указанном направлении. Для каждого из |
|
|
||||
d |
R5 |
|||||
контуров составим уравнения по II зако- |
a |
|
|
I33 |
|
c |
ну Кирхгофа. При этом учтем, что по |
|
I4 |
I5 |
|||
|
|
|||||
смежной ветви для контурных токов I11 |
|
I6 |
E6 |
R6 |
||
и I22 (ветвь bd, содержащая сопротивле- |
|
|||||
|
|
Рис. 2.3 |
|
|||
ние R2 ) протекает ток I11 − I22 , по смеж- |
|
|
|
|||
ной ветви для контурных токов I33 и I22 |
(ветвь dс, содержащая со- |
|||||
противление R5 ) протекает ток − I22 − I33 , по смежной ветви для кон- |
||||||
турных токов I11 и I33 (ветвь аd, содержащая сопротивление R4 ) |
||||||
протекает ток I11 + I33 . |
|
|
|
|
|
|
Тогда уравнения по II закону Кирхгофа для каждого контура |
||||||
принимают следующий вид: |
|
|
|
|
|
|
43
R1I11 + R2 (I11 |
− I22 )+ R4 (I11 + I33 ) = E1 , |
|
|
− R2 (I11 − I22 )+ R3 I22 − R5 |
(− I22 − I33 ) = −E3 , |
(2.4) |
|
R4 (I11 + I33 )+ R5 (− I22 − I33 )− R6 I33 = −E6. |
|
||
Сгруппируем слагаемые при одноименных токах: |
|
||
(R1 + R2 + R4 )I11 + (− R2 )I22 + R4 I33 = E1 , |
|
||
(− R2 )I11 + (R2 + R3 + R5 )I |
22 + R5 I33 = −E3 , |
(2.5) |
|
|
+ (R4 + R5 + R6 )I33 = −E6 . |
|
|
R4 I11 + R5 I22 |
|
||
Введем обозначения: |
|
|
|
собственные сопротивления контуров |
|
||
R11 = R1 + R2 + R4 , R22 = R2 + R3 + R5 , R33 = R4 + R5 + R6 ; |
|
||
общие сопротивления контуров |
|
|
|
R12 = R21 = −R2 , R13 = R31 = R4 , |
R23 = R32 = R5 ; |
|
|
контурные ЭДС |
|
|
|
E11 = E1 , E22 = −E3 , |
E33 = −E6 . |
|
|
В окончательном виде система уравнений для контурных токов приобретает следующий вид:
R11I11 + R12 I22 + R13 I33 = E11 , |
|
|
|||||||||
R21I11 + R22 I22 + R23 I33 |
= E22 , |
(2.6) |
|||||||||
R31I11 + R32 I22 + R33 I33 |
|
= E33 . |
|
|
|||||||
в матричной форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
R |
R |
|
I |
|
|
|
|
E |
|
|
11 |
12 |
13 |
|
|
11 |
|
|
|
11 |
|
|
R21 |
R22 |
R23 |
I22 |
|
= E22 |
. |
(2.7) |
||||
R31 |
R32 |
R33 |
I33 |
|
|
E33 |
|
|
44
Собственное сопротивление контура (Rii) представляет со-
бой арифметическую сумму сопротивлений всех потребителей, принадлежащих в i-му контуру (обтекаемых контурным током Iii).
Общее сопротивление контура (Rij = Rji) представляет собой алгебраическую сумму сопротивлений потребителей ветви (нескольких ветвей), одновременно принадлежащих i-му и j-му контурам (обтекаемых одновременно контурными токами Iii и Ijj). В эту сумму сопротивление входит со знаком «+», если контурные токи протекают через данное сопротивление в одном направлении (согласно), и знак «–», если они протекают встречно.
Контурные ЭДС представляют собой алгебраическую сумму ЭДС источников, входящих в контур. Со знаком «+» в эту сумму входят ЭДС источников, действующих согласно с направлением обхода контура (с соответствующего контурного тока), со знаком «–» входят ЭДС источников, действующих встречно.
Решение полученной системы можно выполнить методом Крамера:
|
|
|
|
I11 = |
|
∆ 1 |
|
, I |
22 = |
∆ 2 |
, |
|
|
|
I33 = |
|
∆ 3 |
|
, |
|
(2.8) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где ∆ , ∆ 1, ∆ 2, ∆ 3, – соответственно определители матриц: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
= |
|
R11 |
R12 |
|
R13 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R21 |
R22 |
|
R23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R31 |
R32 |
|
R33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∆ 1 = |
|
E11 |
R12 |
R13 |
|
, ∆ 2 |
= |
|
R11 |
E11 |
R13 |
|
, ∆ 3 = |
|
R11 |
R12 |
E11 |
|
. (2.9) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
E22 |
R22 |
R23 |
|
|
R21 |
E22 |
R23 |
|
|
R21 |
R22 |
E22 |
|
||||||||||||||
|
|
E33 |
R32 |
R33 |
|
|
|
|
|
R31 |
E33 |
R33 |
|
|
|
|
|
|
R31 |
R32 |
E33 |
|
|
По найденным контурным токам при помощи I закона Кирхгофа определяются токи ветвей.
Таким образом, алгоритм расчета методом контурных то-
ков следующий:
45
1.Обозначить токи всех ветвей и указать их положительное направление.
2.Произвольно выбрать совокупность p независимых контуров, нанести на схему положительное направление контурных токов, протекающих в выбранных контурах.
3.Определить собственные, общие сопротивления и контурные ЭДС по изложенным выше правилам и подставить их в систему уравнений вида (2.6).
4.Разрешить полученную систему уравнений относительно контурных токов, используя метод Крамера.
5.Определить токи ветвей через контурные токи по I закону Кирхгофа или как алгебраическую сумму контурных токов, создающих искомый ток ветви, при этом если направления контурного тока
итока ветви совпадают, то соответствующий контурный ток в сумму входит со знаком «+», в противном случае – со знаком «–».
6.В случае необходимости с помощью обобщенного закона Ома определить потенциалы узлов.
7.Проверить баланс мощности.
|
Примечание. Если в цепи содержится q источников тока, ко- |
||||||||||||
личество совместно рассматриваемых уравнений сокращается на q и |
|||||||||||||
становится равным р – q , поскольку токи в таких ветвях известны |
|||||||||||||
(для контуров с Iii = J уравнение можно не записывать). В этом слу- |
|||||||||||||
чае следует выбирать такую совокупность независимых контурных |
|||||||||||||
токов, при которой часть из них стала бы известной. Для этого необ- |
|||||||||||||
ходимо, чтобы каждый источник тока входил только в один контур. |
|||||||||||||
|
I1 |
|
I2 |
|
Напряжения UJ источников войдут в качест- |
||||||||
|
|
|
ве неизвестных в правые части уравнений, |
||||||||||
|
|
J3 |
|
т.е. в состав контурных ЭДС. |
|
|
|
||||||
E1 |
|
E2 |
|
Пример. Для схемы, представленной |
|||||||||
I |
|
|
|
||||||||||
+ |
|
на рис. 2.4, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
R1 |
R3 |
II |
|
R2 |
R = R + R ; |
R = R + R ; |
R = R = R ; |
||||||
|
|
|
|
11 |
1 |
3 |
22 |
1 |
2 |
12 |
21 |
1 |
|
|
Рис. 2.4 |
|
|
E11 = E1 +U J ; |
E22 |
= E1 − E2 . |
|
|
|
||||
|
Рис. 2.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
46 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда система уравнений по методу контурных токов примет следующий вид:
(R1 + R3 )I11 + R1I22 = E1 +U J , |
|||||||||
R I |
11 |
+ (R |
+ R |
)I |
22 |
= E |
− E |
. |
|
|
1 |
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
||
Причем I11 = J3 . |
Решив первое уравнение, можно получить |
||||||||
I22 . Далее I1 = −(I11 + I22 ); |
I2 = I22. |
|
|
|
|
|
UJ можно определить из первого уравнения системы или составить уравнение по II закону Кирхгофа для любого контура, в который входит источник тока.
Баланс мощности:
P = −E I |
1 |
− E |
I |
2 |
+ J U |
, |
P = I 2 R + I 2 R + J 2 R . |
||
ист |
1 |
2 |
|
3 J |
|
потр |
1 1 2 2 3 3 |
2.3.3. Метод узловых потенциалов
Метод расчета электрических цепей, в котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов. Метод основан на совместном решении уравнений для определения токов ветвей через потенциалы узлов, составленных по обобщенному закону Ома, и уравнений, связывающих эти токи по I закону Кирхгофа. Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно числу уравнений, которые необходимо составить для схемы по I закону Кирхгофа. Метод узловых потенциалов, как и метод контурных токов, – один из основных расчетных методов. В случае, когда п – 1 < p (n – количество узлов, p – количество независимых контуров), использование этого метода более рационально, чем использование метода контурных токов.
Проиллюстрируем на примере (рис. 2.5) получение алгоритма расчета электрической цепи методом узловых потенциалов:
1. Запишем (n – 1) уравнение по I закону Кирхгофа (при выбранном опорном узле 4, потенциал которого условно принимаем равным нулю):
47
I1 |
|
|
|
|
|
|
узел 1: – I 1 + I4 – I 6 = 0, |
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
узел 2: |
I1 – I 2 + J3 = 0, |
|
|||||||||||
|
|
|
|
+ |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
I2 |
|
|
узел 3: |
I2 |
– I 4 – I 5 = 0. |
|
|||||||||
E1 |
|
|
|
|
J3 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
R2 |
|
2. Для каждого из m токов запишем |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
R1 |
|
R4 |
3 |
R5 |
|
R3 выражение по обобщенному закону Ома для |
|||||||||||||
1 |
|
4 |
определения токов через потенциалы узлов с |
||||||||||||||||
|
|
|
I5 |
учетом того, что потенциал ϕ |
4 = 0: |
|
|||||||||||||
|
|
I4 |
|
|
|
||||||||||||||
I |
6 |
E6 |
R |
|
I |
= |
ϕ |
1 |
− ϕ |
2 |
+ E |
I |
|
= |
ϕ |
2 − ϕ 3 |
, |
||
|
6 |
|
|
|
|
1 , |
2 |
|
|
||||||||||
|
|
Рис. 2.5 |
|
1 |
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
R2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Рис. 2.5 |
|
|
= ϕ 3 − ϕ 1 , |
|
= ϕ 3 − ϕ 4 = ϕ 3 , |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
I4 |
I5 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R4 |
|
|
|
|
|
R5 |
R5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
I6 |
= ϕ 1 − ϕ 4 − E6 = ϕ 1 − E6 . |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R6 |
|
|
|
R6 |
|
|
3. Полученные в п. 2 выражения подставим в уравнения, составленные по I закону Кирхгофа
|
ϕ 1 − ϕ 2 + E1 |
|
|
ϕ |
3 |
− ϕ 1 |
|
|
ϕ 1 |
− E6 |
|
||||||||||
− |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
=0, |
||
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
R4 |
|
|
|
R6 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ϕ 1 − ϕ 2 + E1 |
|
ϕ |
2 − ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ J3 |
=0, |
|
||||
|
R1 |
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ϕ 2 − ϕ 3 |
|
|
ϕ |
3 − ϕ 1 |
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
− |
|
|
− |
3 |
=0. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|||
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
Приведем подобные слагаемые и получим каноническую систему уравнений:
48
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
E E |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
ϕ |
1+ − |
|
|
|
|
|
ϕ |
|
+ − |
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
3 =− |
|
|
1 |
+ |
6 |
, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
R4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
R1 |
|
|
|
|
R6 |
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R4 |
|
|
|
|
|
R1 |
R6 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
− |
|
|
|
|
|
ϕ 1 |
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
ϕ 2 |
+ |
− |
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
3 = |
|
|
|
1 |
|
+ J3 , |
(2.10) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
R1 |
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
− |
|
|
|
|
|
|
|
ϕ 1 |
+ |
− |
|
|
|
|
ϕ 2 + |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
ϕ 3 |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
R4 |
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
R2 |
|
|
|
|
R4 |
|
|
|
|
R5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Введем обозначения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
собственные проводимости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
G11 = |
1 |
+ |
1 |
|
+ |
1 |
, G22 |
|
= |
1 |
+ |
1 |
|
, G33 |
= |
1 |
+ |
1 |
+ |
|
1 |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
R4 |
|
|
R6 |
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
R4 R5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
общие проводимости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
G12 = G21 = − |
1 |
, G13 |
= G31 |
= − |
1 |
, G23 = G32 = − |
1 |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
||||||||||||
узловые токи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
J11 = − |
E1 |
+ |
E6 |
, |
|
|
J 22 = |
E1 |
+ J3 , |
|
|
|
|
J33 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
R6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
В окончательном виде система уравнений для узловых по- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тенциалов приобретает следующий вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G11ϕ 1 + G12ϕ 2 + G13ϕ 3 = J11 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G21ϕ 1 + G22ϕ 2 + G23ϕ 3 |
= J 22 , |
|
|
|
(2.11) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G31ϕ 1 + G32ϕ 2 + G33ϕ 3 = J33 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в матричной форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G11 |
|
G12 |
|
|
G13 ϕ 1 |
|
J11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G21 |
|
G22 |
|
|
G23 |
|
|
ϕ |
2 |
= J |
22 |
. |
(2.12) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G31 |
|
|
|
G33 ϕ |
3 |
|
J33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49
Собственная проводимость i-го узла (Gii) представляет собой арифметическую сумму проводимостей всех ветвей, соединенных в i-м узле.
Общая проводимость i-го и j-го узлов (Gij = Gji) представляет собой взятую со знаком «–» сумму проводимостей ветвей, присоединенных одновременно к i-му и j-му узлам.
Проводимости ветвей с источниками тока полагаются равными нулю и в собственные и общие проводимости не входят!
Узловой ток i-го узла (Jii) состоит из двух алгебраических сумм: первая включает токи источников тока, содержащиеся в ветвях, соединенных в i-м узле; вторая представляет собой произведение ЭДС источников напряжения на проводимости соответствующих ветвей, соединенных в i-м узле. Со знаком «+» в эту сумму входят E и J источников, действие которых направлено к узлу, со знаком «–» – остальные.
Jii = ∑ ± EG + ∑± J .
Решение системы уравнений по методу узловых потенциалов в общем случае выполняется методом Крамера при помощи определителей:
|
|
|
|
|
|
|
G11 |
G12 |
G13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ = |
G21 |
G22 |
G23 |
; |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
G31 |
G32 |
G33 |
|
|
|
|
(2.13) |
|
|
J11 |
G12 |
G13 |
|
|
G11 |
J11 |
G13 |
|
|
G11 |
G12 |
J11 |
||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∆ 1 = |
J22 |
G22 |
G23 |
; |
∆ 2 = |
G21 |
J22 |
G23 |
; |
∆ 3 = |
G21 |
G22 |
J22 |
. |
|
|
J33 |
G32 |
G33 |
|
|
G31 |
J33 |
G33 |
|
|
G31 |
G32 |
J33 |
|
Тогда неизвестные потенциалы могут быть вычислены следующим образом:
ϕ 1 = |
∆ 1 |
; |
ϕ 2 |
= |
∆ 2 |
; |
ϕ 3 = |
∆ 3 |
. |
(2.14) |
∆ |
∆ |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
50