книги / Теория линейных электрических цепей. Ч. 1
.pdf
|
R1 |
A |
R3 |
|
|
|
|
|
|
||
I1х |
|
+ |
|
Uхх |
|
|
|
|
|
||
E1 |
|
– |
|
J3 |
|
R4 |
|
|
|
||
|
|
C |
R5 |
+ |
|
|
I4х |
|
|||
|
|
|
|
B |
D |
|
R6 |
|
E6 |
R7 |
Рис. 2.37
Методом двух узлов определим
|
|
J + |
E6 |
|
|
|
|
|
|
|||||
U DB = |
|
R6 |
|
|
|
|
= 19,03 B, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
+ |
|
1 |
|
+ |
1 |
|
|
||||
|
|
R4 + R5 |
|
|
|
R6 |
|
R7 |
|
|
||||
I 4 x = |
|
U BD |
|
= |
−U DB |
|
= −1,56 A. |
|||||||
R4 + R5 |
R4 + R5 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
Тогда Uхх = – 1,408 В.
Для подсчета Rвх относительно зажимов ветви 2 необходимо из цепи, показанной на рис. 2.37, образовать пассивную цепь
(рис. 2.38).
R1 |
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
R |
A |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
+ |
R6 R7 |
|
|
||||
4 |
|
|
|
R4 R5 |
R6 |
|
|
|
||
|
C |
Rвх |
= RAC = R1 + |
|
|
+ R7 |
= 9,16 |
Ом. |
||
R6 |
R4 + R5 + |
R6 R7 |
||||||||
R5 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
R7 |
|
|
|
|
|
R6 + R7 |
|
|
||
|
Рис. 2.38 |
|
Окончательно получаем |
|
|
|||||
|
Рис. 2.38 |
|
|
|
|
|
|
|
|
81
I2 |
= |
U xx |
= −0,09 A, |
||
Rвх |
+ R2 |
||||
|
|
|
что совпадает с результатом, полученным при расчетах цепи методами контурных токов и узловых потенциалов.
Метод наложения
Определим ток I2 методом наложения.
Подлежащая расчету цепь представляет собой суперпозицию трех подсхем (рис. 2.39, а – в).
Рассчитаем составляющую тока второй ветви I2E1 от действия
источника ЭДС E1 (рис. 2.39, а), для чего воспользуемся законом Ома:
|
E1 |
|
E1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E1 |
|
|
|
= 1,25 A. |
|||
I |
2 |
= I1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
R R |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ R5 R4 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
R6 + R7 |
|
|
|
+ R1 |
+ R2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R6 R7 |
|
+ R5 + R4 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R6 + R7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Рассчитаем составляющую тока второй ветви I2E6 от действия источ- |
|||||||||||||||||||||
ника ЭДС E6 |
(рис. 2.39, б), для чего сначала определим ток I6E6 по |
||||||||||||||||||||
закону Ома: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
= |
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
= 3,892 A. |
||||||
|
|
|
I6 6 |
6 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
(R1 + R2 )R4 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ R5 R7 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 + R2 |
+ R4 |
|
+ R6 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(R1 + R2 )R4 |
|
+ R5 + R7 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 + R2 + R4 |
|
|
|
|
|||||||
По формуле токов в параллельных ветвях определим ток I5E 6 , |
|||||||||||||||||||||
|
|
E |
|
E |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
||||||||
|
|
I5 6 |
= I6 6 |
|
(R1 + R2 )R47 |
|
=1,386 A. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ R5 + R7 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 + R2 + R4 |
|
|
|
|
82
|
R1 |
A |
R3 |
|
R1 |
A |
R3 |
|
|
|
|
|
|
||
I1E1 |
I2E1 |
|
R2 |
|
I2E6 |
|
R2 |
E1 |
R4 |
|
R5 |
|
R4 |
|
R5 |
|
|
|
C |
||||
|
|
C |
|
|
|
I5E6 |
|
B |
|
|
D |
B |
|
|
D |
|
|
|
R6 |
|
E6 |
I6E6 |
R6 |
|
а |
R7 |
R1 |
A |
R3 |
R7 |
б |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
R4 |
J3 |
|
R5 |
||
|
||
|
C |
B |
D |
|
R6 |
|
в |
|
R7 |
|
R1 |
A |
R3 |
|
|
|
R1 |
A |
R3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B R4
I2J3 I R2
R2 J3
C
C |
D |
|
R45 |
|
|
||
|
R5 |
|
|
|
г |
B |
д |
R67 |
R4,67 |
J3
D
R5,67
Рис. 2.39
83
Воспользовавшись формулой токов в параллельных ветвях, определим искомый ток I2E6 :
|
|
|
|
|
I2E6 = I1E6 |
= I5E6 |
|
R4 |
|
|
= 0,496 A. |
|||||||||
|
|
|
|
|
R1 + R2 + R4 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Для |
определения составляющей |
тока второй |
ветви I2J3 от |
|||||||||||||||||
действия источника тока J3 необходимо |
заменить |
параллельный |
||||||||||||||||||
участок R6 − R7 |
одним сопротивлением |
R67 |
= |
R6 R7 |
= 3 Ом, затем |
|||||||||||||||
R6 + R7 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
преобразовать |
треугольник |
сопротивлений |
R4 − R5 − R67 в эквива- |
|||||||||||||||||
лентную звезду (рис. 2.39, г) с сопротивлениями: |
|
|||||||||||||||||||
R45 = |
|
|
R4 R5 |
|
= 2,416 Ом, |
R4,67 |
= |
|
|
|
R4 R67 |
|
= 1,342 Ом, |
|||||||
R4 |
|
|
|
|
R4 + R5 + R67 |
|||||||||||||||
|
+ R5 + R67 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
R5,67 = |
|
R5 R67 |
|
|
= 1,006 Ом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
R4 + R5 + R67 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
После преобразований ток |
I2J3 |
определяется по формуле то- |
||||||||||||||||||
ков в параллельных ветвях: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
I2J3 = J3 |
|
R1 + R4,67 |
|
|
|
= 0,845 A. |
|
|||||||||
|
|
|
|
R1 + R4,67 + R2 + R45 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полный ток I2
I2 = −I2E1 + I2E6 + I2J3 = −0,09 A.
Полученный результат совпадает со значением, полученным другими методами.
84
3. ЦЕПИ С ИСТОЧНИКАМИ ГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ
3.1. Основные характеристики гармонических сигналов
Переменными токами i(t) и напряжениями u(t) называют токи и напряжения, изменяющиеся во времени.
Сигналы, мгновенные значения которых повторяются через определенный фиксированный промежуток времени, называются периодическими, а этот промежуток времени – периодом. Такие сигналы описываются следующим образом:
i = F (t) = F (t ± T ), |
(3.1) |
||
где Т – период, с. |
|
||
Величина, обратная периоду, называется частотой |
f , кото- |
||
рая численно равна числу периодов в единицу времени: |
|
||
f = |
1 |
[ f ]= с−1 = Гц. |
(3.2) |
|
|||
|
T |
|
Также существует понятие угловой частоты:
ω = |
2π |
= 2π f |
[ω ]= рад с. |
(3.3) |
|
T
В электроэнергетике нашли широкое применение синусоидальные сигналы, как наиболее экономичные. Для передачи информации в технике связи и радиотехнике используют различные модуляции синусоидальных сигналов: амплитудную, частотную, фазовую. В общем случае любой несинусоидальный периодический сигнал может быть представлен в виде суммы синусоидальных сигналов различной частоты с помощью разложения в ряд Фурье. И, таким образом, расчет подобных цепей может быть сведен к расчету цепей синусоидального напряжения и тока:
85
u(t) =Um sin(ω t + ψ u ), i(t) = Im sin(ω t + ψ i ) , |
(3.4) |
где u(t),i(t) – мгновенное значение; Um ,Im – амплитуда переменного сигнала – максимальная по модулю его величина; ω t + ψ u , ω t + ψ i –
фаза гармонического сигнала – аргумент синуса, отсчитываемый от ближайшей предыдущей точки перехода синусоидальной величины через нуль от отрицательных к положительным ее значениям, в каждый момент времени; ψ u , ψ i – начальная фаза – значение аргумента в
начальный момент времени (t = 0). Фаза измеряется в радианах или градусах.
В дальнейшем под переменным сигналом будем понимать гармонический (синусоидальный) сигнал. На рис. 3.1 изображен синусоидальный ток. Обратим внимание на то, что положительные фазы ψ i > 0 должны откладываться от начала координат влево. По оси абс-
цисс можно откладывать или время t, или пропорциональную ему угловую величину ω t . Следовательно, периодом будет являться или T,
или 2π .
i |
|
i |
Im |
|
Im |
|
t |
t |
|
|
–Im |
шi > 0 |
T |
шi < 0 |
|
Рис. 3.1 |
|
О значениях периодических токов и напряжений обычно судят по их среднеквадратическим значениям за период, которые называют действующим значением напряжения и тока и обозначают U, I:
U = 1 |
T |
I = 1 |
T |
|
∫u 2 dt, |
∫i2 dt . |
(3.5) |
||
T |
0 |
T |
0 |
|
86
За период Т на резисторе с сопротивлением R при синусоидальном изменении тока выделится тепловая энергия:
|
T |
2 |
T |
T 2 |
1 |
T |
2 |
2 |
|
|
W = |
∫ |
Ri dt = R |
∫ |
|
i dt = RT |
|
∫ |
i dt = RI T . |
(3.6) |
|
T |
T |
|||||||||
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
Таким образом, действующий ток численно равен такому постоянному току, который за время t = T выделяет в том же сопротивлении такое же количество тепла, что и переменный.
В действующих величинах градуируются (тарируются) амперметры и вольтметры электродинамической и электромагнитной системы. Приборы магнитоэлектрической системы показывают постоянную составляющую тока или напряжения, или среднее значение за период:
Uср |
= |
1 |
T |
u(t)dt, |
Iср |
= |
1 |
T |
i(t)dt . |
(3.7) |
T |
∫ |
T |
∫ |
|||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
Установим связь между действующим и амплитудным значением гармонического сигнала на примере тока. Если ток изменяется
по закону |
i(t) = Im sin(ω t + ψ i ) , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
T |
|
1 |
T |
|
2 |
T |
|
|
|
|
|
|||
I 2 = |
∫i2 dt = |
∫ Im2 sin 2 (ω t + ψ )dt = |
Im |
∫sin 2 (ω t + ψ )dt = |
|
|
|
|
|||||||||
T |
T |
T |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
T |
|
|
|
2 |
T |
|
|
2 |
T |
2 |
2 |
|
|||
= |
Im |
|
∫(1 − cos(2ω t + 2ψ ))dt = |
Im |
∫ dt − |
Im |
∫cos(2ω t + 2ψ )dt = |
Im |
T = |
Im |
, |
||||||
2T |
|
2T |
2T |
2T |
|
||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = Im |
. |
|
|
|
(3.8) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
лучим |
Произведя аналогичные действия для сигнала напряжения, по- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
U = U m . |
|
|
|
(3.9) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
87
Введем понятие мощности переменного тока. Мгновенная мощность вычисляется как произведение мгновенных значений напряжения и тока p(t) = u(t)i(t). Тогда
|
p(t) = U m Im sin(ω t + ψ |
u )sin(ω |
t + ψ i ) = |
|
|
|
|||||||||||
|
= U m Im |
1 |
[cos (ω t + ψ |
u − ω t − ψ |
i )− cos (ω t + ψ u + ω t + ψ |
i )]= |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
U m Im cos (2ω |
|
|
|
i ) |
|
|
|
(3.10) |
|||
|
|
U m Im cos ϕ |
|
t + ψ |
u + ψ |
|
|
|
|||||||||
|
= |
− |
= |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
i ), |
|
|
|
|
|
|
|
= UI cos ϕ −UI cos (2ω |
t + ψ u |
+ ψ |
|
|
|
|
|
|||||||||
где ϕ – |
сдвиг фазы тока по отношению к напряжению, |
ϕ |
= ψ |
u − ψ i |
|||||||||||||
(при ϕ |
= 0 ток и напряжение совпадают по фазе, при ϕ |
= ±π |
– про- |
||||||||||||||
тивоположны по фазе, при |
ϕ = ± π |
2 – |
находятся в квадратуре); |
||||||||||||||
UI cos ϕ |
|
– |
постоянная |
составляющая |
мгновенной |
мощности; |
|||||||||||
UI cos(2ω t + ψ |
u + ψ i ) – гармоническая составляющая, которая изменя- |
ется с удвоенной угловой частотой по отношению к частоте питающей сети (рис. 3.2).
p, u, i |
S = UI |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
p(t) |
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(t) |
|
t |
|
|
|
|
|
i(t) |
|
|
|
|
|
Рис. 3.2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|||
Средняя мощность за период называется активной мощно- |
|||||||
стью: |
|
|
|
|
|
|
|
|
P = |
|
T |
∫ |
p(t)dt = UI cos ϕ |
(3.11) |
|
|
P = 1 |
T |
|||||
|
|
ср |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
88
и измеряется в ваттах (Вт). Максимальная активная мощность, соответствующая случаю cos ϕ =1 , называется полной мощностью S = UI
и измеряется в ВА.
3.2. Элементы цепей гармонического тока
Электрическая цепь синусоидального тока кроме электротехнических устройств, назначение которых совпадает с назначением функционально аналогичных устройств цепи постоянного тока (источники энергии, измерительные приборы, коммутационные аппараты и др.), содержит также устройства, присущие только цепям синусоидального тока: конденсаторы, обладающие электрической емкостью, и катушки индуктивности.
Для расчета режима работы электротехнических устройств необходимо перейти от принципиальной схемы цепи к ее схеме замещения (математической модели).
Элементами схем замещения цепей синусоидального тока являются источники синусоидальных тока и ЭДС (j(t), e(t)), резистивные (R), индуктивные (L) и емкостные (C) элементы.
Рассмотрим картину распределения тока и напряжения на реальных элементах.
3.2.1. Гармонический ток в сопротивлении
Пусть u(t) = U m sin(ω t + ψ |
u ). |
|
|
|
i(t) |
R |
||||||||
Тогда ток в сопротивлении R (рис. 3.3) |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
u(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
можно определить по закону Ома: i(t) = |
, |
|
|
Рис. 3.3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
Рис. 3.3 |
|
|||||||||
R |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u(t) = U m sin(ω t + ψ u ) = e(t), |
i(t) = |
U m |
sin(ω |
t + ψ |
u ) = Im sin(ω t + ψ i ). |
|||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда Im = |
U m |
; ψ i |
= ψ |
u = ψ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
89
Сдвиг фаз между напряжением и током ψ u − ψ i = ϕ = 0 , т.е. ток и напряжение на сопротивлении совпадают по фазе.
Поскольку U m = U 2 , то для действующих значений справед-
ливо
U m = U |
2 = U = Z , |
(3.12) |
Im I |
2 I |
|
где Z – полное сопротивление цепи (импеданс), равное отношению действующих значений напряжения и тока.
Для цепи, представленной на рис. 3.3, полное сопротивление
Z = R .
Для определения мгновенной мощности, поступающей в сопротивление, воспользуемся полученным выше соотношением для мгновенной мощности (3.10):
p(t) = UI cos ϕ −UI cos(2ω t + ψ u + ψ i ) = |
|
(3.13) |
|||
= UI cos 0 −UI cos(2ω t + 2ψ |
) = I 2 R − I 2 R cos(2ω |
t + 2ψ |
|||
). |
|||||
Активная мощность, равная средней мощности за период, |
|||||
P = P = |
1 |
T p(t)dt =I 2 R. |
|
(3.14) |
|
T |
|
||||
ср |
∫ |
|
|
||
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
Графики изменения мгновенного напряжения, тока и мощности на резистивном элементе представлены на рис. 3.4.
p, u, i
p(t)
P i(t)
t
u(t)
Рис. 3.4
90