книги / Нечёткое, нейронное и гибридное управление

Рис. 1.20. Графическое задание терм-множеств с одним основанием: Н – низкий; НС – ниже среднего; С – средний; ВС – выше среднего; В – высокий

Тогда аналитические выражения терм-множества будут иметь

вид

41

Для настройки T (u) можно пользоваться операцией возведе-

ния в степень: u C , где показатель степени определяет измене-

ние формы ФП. Операции сжатия и растяжения можно применять для каждого отрезка ФП, как показано на рис. 1.21. Коэффициент С называется коэффициентом относительной важности. При различном числе термов ФП аппроксимируют треугольными термами, которые строятся с соблюдением следующих правил:

– основанием треугольника является универсум Ui 0, Li 1 , где Li – целое число, соответствующее количеству термов лингвистической переменной;

–термы нумеруются целыми числами от 1 до Li ;

–вершина треугольника соответствует номеру терма. Диапазон xнi , xвi изменения входного параметра xi отобра-

из которой получим

u* (Li 1)(xi* xнi ) .

Рис. 1.21. Влияние коэффициента относительной важности на линейную ФП

ФП терма с номером j, показанная на рис. 1.22, определяется прямыми линиями, которые проходят через точки с координатами

0,1 и Li 1,0 при u 0, Li 1

Рис. 1.22. К построению j-х терм с одним основанием

43

Полученные выражения могут быть использованы для выполнения задач принятия решения.

Наиболее часто используются две треугольные, симметричные относительно абсциссы u 0,5 на едином универсуме U 0,1 ФП в виде

1 (u) (1 u), 2 (u) u, 0 u 1.

Д) Фаззификация на базе нейронной сети показана в разд. 3 данного учебного пособия.

1.5. Расширение четкой логики И, ИЛИ, НЕ

Рассмотрим расширение четких логических операций И, ИЛИ, НЕ до нечетких операций: T-норма, S-норма (или T-конорма), дополнение. В нечетком пространстве число состояний неограниченно велико, поэтому невозможно описать эти операции с помощью таблиц истинности, как в случае двузначной логики [2, 13].

Логика И

Один из подходов к оператору пересечения является его определение в классе треугольных T-норм и S-конорм.

Четкий элемент И: y = x1 & x2 (бинарная форма); y x1 x2 . Его графическое изображение:

45

Треугольной нормой (T-нормой) (расширенная связка И) называется двуместная действительная функция T:[0,1] [0,1] [0,1], удовлетворяющая следующим условиям:

1.T(0,0) = 0; T(μA, 1) = μA; T(1, μA) = μA – граничное условие;

2.T(μA, μB) T(μC, μD), если μA μC , μB μD – монотонность;

3.T(μA, μB) = T(μB, μA) – коммутативность;

4.T(μA, T(μB, μC)) = T (T(μA, μB), μC) – ассоциативность.

Простым случаем треугольных норм являются:

а) min (μA, μB) (пересечение по Заде);

б) произведение μA×μB (умножение по Ларсену);

с) max (0, μA + μВ – 1) (пересечение по Лукашевичу).

Это действительная функция двух переменных, принимающая значение в единичном интервале [0,1], может быть описана следующими выражениями:

A3 (x) A1 A2 (x) A1 A2 A1 (x) A2 (x)

A1 (x)T A2 (x) T ( A1 (x), A2 (x)) min A1 , A2 ,

где A1 (x) 0,1 ; A2 (x) 0,1 ; A3 (x) 0,1 .

Рис. 1.23. Расширенный элемент И

46

Графическое изображение расширенного элемента «И» показано на рис. 1.23.

Логика ИЛИ

Один из подходов к оператору объединение является его определение в классе треугольных S-норм и T-конорм.

Четкий элемент ИЛИ: y x1 x2 (бинарная форма).

Треугольной нормой (S-нормой) (расширенная связка ИЛИ) называется двуместная действительная функция S:[0,1]×[0,1] [0,1] со свойствами:

1.S(1,1) = 1; S(μA ,0) = μA; S(0, μA) = μA – ограниченность;

2.S(μA, μB); S(μC, μD), если μA μC, μB μD – монотонность;

3.S(μA, μB) = S(μB, μA ) – коммутативность;

4.S(μA, S(μB, μC )) = S(S(μA, μB), μC ) – ассоциативность.

Варианты S-норм:

а) max(μA, μB) (объединение по Заде); б) μA + μB – μA× μB (вероятностное ИЛИ);

с) min(1, μA + μB) (объединение по Лукашевичу).

Рис. 1.24. Расширенный элемент ИЛИ

Расширение элемента ИЛИ называется S-норма. Это действительная функция двух переменных, принимающая значение в единичном интервале [0,1] и может быть описана следующими выражениями:

47

A3 (x) A1 A2 (x) A1 A2 A1 (x) A2 (x)

S( A1 (x), A2 (x)) max A1 A2 ,

где A1 (x) 0,1 ; A2 (x) 0,1 ; A3 (x) 0,1 .

Логика НЕ

1. Четкий элемент НЕ: y = x

Рис. 1.25. Расширенный элемент НЕ

Расширение элемента НЕ (нечеткое отрицание) (рис. 1.25) – дополнение или «вычитание из 1» – представляет собой унарную операцию отрицания в нечетком смысле, которая дает в ответе оценку [0,1] (рис. 1.26). Дополнение нечеткого множества во всех трех случаях определяется одинаково:

A (x) 1 A (x).

Рис. 1.26. Дополнение нечеткого множества

Другие варианты реализации операций пересечение и объеди-

нение.

Группа логических операций (max – min):

48

A B (x) max A (x), B (x) ,

A B (x) min A (x), B (x) .

Группа алгебраических операций:

µА B (x) µА(x) µB (x) –µА(x)µВ (x), µА B (x) µА(x) µB (x).

Группа ограничений:

µА B (x) min{1, µА(x) µB (x)},

µА B (x) max{0, µА(x) µB (x) –1}.

Связь между Т-нормой и S-нормой, или расширенными связками И и ИЛИ,

aT b 1 (1 a)S (1 b) a b a b.

Широкое использование Т- и S-норм обусловлено возможностью настройки параметров этих нечетких операторов, а также их хорошими алгебраическими свойствами, необходимыми для решения прикладных задач анализа и моделирования различных систем.

1.6. Нечеткие отношения. Операции с нечеткими множествами

Нечеткие отношения необходимы для организации нечетких выводов [9,14]. Предположим, что знание эксперта отражает нечеткое причинное отношение предпосылки A и заключения B, которое описывается нечетким R.

R A B,

где R – сила связи между элементами предпосылки и заключения. Почти все реально работающие прикладные системы, исполь-

зующие промежуточные нечеткие оценки, это системы, основанные на нечетких продукционных правилах. Нечеткое отношение R между двумя множествами Х и Y будем называть нечеткое множество, определенное на декартовом произведении Х·Y.

49

Пусть A1, A2,…, An – нечеткие подмножества универсальных множеств E1, E2,…, En. Тогда А = А1×А2×…×Аn – есть произведение подмножеств, лежащих в универсуме E = E1×E2×…×En c ФП.

µА(х1, х2,…, хn) = min{ µА1(х1), µА2(х2),…, µАn(хn)}.

Формы записи нечеткого отношения:

R X·Y = {(xRy): x X, y Y} = {(x, y), µR (x, y)}, где µR (x, y) 0,1 .

R R (x, y).

X Y

В случае когда X = Y, т.е. X и Y совпадают, нечеткое отношение R:(X·X) → [0,1] называется нечетким отношением на множестве Х.

Пусть X = x1, x2 , x3 , Y = y1, y2 , y3 .

Нечеткое отношение xRy может быть задано с помощью табл. 1.5.

Другие формы представления отношений

Пример 1.12. Найти отношение подмножеств X = {3, 4, 5} и

Y = {4, 5, 6}, где х1 = 3; х2 = 4; х3 = 5; у1 = 4; у2 = 5; у3 = 6. Их отноше-

ние «y примерно равен х».

Решение. Данное отношение можно записать в виде

R (4,14) (5,5)1 (3,0,84) (5,0,86) (3,5)0,6 (4,6)0,6 (3,6)0,4

или

50